Kapasitas Panas Gas Ideal (C_p, C_v)

Kapasitas Panas Gas Ideal, C_p dan C_v: Hubungan, Teori Kinetik, dan Aplikasi Termodinamika

Kapasitas panas suatu zat adalah jumlah energi yang dibutuhkan untuk menaikkan suhunya sebesar satu derajat. Untuk gas, terdapat dua kapasitas panas molar penting: pada volume konstan (\(C_v\)) dan pada tekanan konstan (\(C_p\)).

Artikel ini membahas definisi termodinamika keduanya, penurunan hubungan \(C_p - C_v = R\) untuk gas ideal, serta kaitannya dengan derajat kebebasan molekul melalui prinsip ekuipartisi energi.

Dilengkapi dengan empat contoh soal setara olimpiade yang mencakup perhitungan perubahan energi dalam, entalpi, proses adiabatik, dan campuran gas. Setiap soal disertai pembahasan mendalam yang mengasah pemahaman konseptual dan keterampilan komputasi.

1.

Pendahuluan

Dalam termodinamika, kapasitas panas (\(C\)) didefinisikan sebagai jumlah panas (\(q\)) yang diperlukan untuk menaikkan suhu suatu sistem sebesar satu derajat.

Secara matematis, \(C = \dfrac{dq}{dT}\).

Karena panas bukan fungsi keadaan, kapasitas panas bergantung pada lintasan proses. Dua lintasan yang paling umum adalah volume konstan (isokhorik) dan tekanan konstan (isobarik).

2.

Definisi Termodinamika C_v dan C_p

2.1 Kapasitas Panas pada Volume Konstan (\(C_v\))

Pada volume konstan, tidak ada kerja ekspansi (\(dw = -P\,dV = 0\)). Berdasarkan hukum pertama termodinamika:

\[ dU = dq_v \quad \Rightarrow \quad C_v = \left( \dfrac{\partial U}{\partial T} \right)_V \]

Untuk gas ideal, energi dalam hanya bergantung pada suhu, sehingga \(C_v = \dfrac{dU}{dT}\). Untuk \(n\) mol, kapasitas panas molar \(\bar{C}_v = C_v / n\).

2.2 Kapasitas Panas pada Tekanan Konstan (\(C_p\))

Pada tekanan konstan, sistem melakukan kerja ekspansi. Panas yang ditambahkan tidak hanya meningkatkan energi dalam tetapi juga melakukan kerja. Entalpi (\(H = U + PV\)) adalah fungsi keadaan yang sesuai:

\[ dH = dq_p \quad \Rightarrow \quad C_p = \left( \dfrac{\partial H}{\partial T} \right)_P \]

Untuk gas ideal, entalpi juga hanya fungsi suhu, sehingga \(C_p = \dfrac{dH}{dT}\).

3.

Hubungan \(C_p - C_v = R\) untuk Gas Ideal

Untuk gas ideal, \(H = U + PV = U + nRT\). Diferensiasi terhadap suhu menghasilkan:

\[ \dfrac{dH}{dT} = \dfrac{dU}{dT} + nR \quad \Rightarrow \quad C_p = C_v + nR \]

Dalam bentuk molar:

\[ \bar{C}_p - \bar{C}_v = R \quad \text{atau} \quad C_p - C_v = nR \]

Hubungan ini hanya berlaku untuk gas ideal. Untuk zat lain, selisihnya lebih besar dan bergantung pada koefisien muai dan kompresibilitas.

Mengapa \(C_p > C_v\)?
Pada tekanan konstan, sebagian energi panas digunakan untuk melakukan kerja ekspansi melawan atmosfer, sehingga diperlukan lebih banyak panas untuk menaikkan suhu sebesar 1 K dibandingkan pada volume konstan di mana semua panas masuk ke energi dalam.

4.

Teori Kinetik dan Derajat Kebebasan

Prinsip ekuipartisi energi menyatakan bahwa setiap derajat kebebasan kuadratik menyumbang \(\dfrac{1}{2}RT\) per mol terhadap energi dalam. Untuk gas ideal monoatomik (3 derajat translasi):

\[ \bar{C}_v = \dfrac{3}{2}R \approx 12,47 \text{ J/(mol.K)}; \quad \bar{C}_p = \dfrac{5}{2}R \approx 20,79 \text{ J/(mol.K)} \]

Untuk gas diatomik pada suhu kamar (3 translasi + 2 rotasi = 5 derajat):

\[ \bar{C}_v = \dfrac{5}{2}R \approx 20,79; \quad \bar{C}_p = \dfrac{7}{2}R \approx 29,10 \]

Rasio kapasitas panas (indeks adiabatik) didefinisikan sebagai:

\[ \gamma = \dfrac{C_p}{C_v} = \dfrac{\bar{C}_p}{\bar{C}_v} \]

Nilai \(\gamma\) adalah 5/3 ≈ 1,67 untuk monoatomik, 7/5 = 1,4 untuk diatomik, dan menurun untuk gas poliatomik.

Jenis Gas	Derajat Kebebasan (f)	\(\bar{C}_v\)	\(\bar{C}_p\)	\(\gamma = \dfrac{C_p}{C_v}\)
Monoatomik (He, Ar)	3	\(\dfrac{3}{2}R\)	\(\dfrac{5}{2}R\)	1,67
Diatomik (N2, O2)	5 (suhu kamar)	\(\dfrac{5}{2}R\)	\(\dfrac{7}{2}R\)	1,40
Poliatomik nonlinier (CH4)	6 (3T + 3R)	\(3R\)	\(4R\)	1,33

5.

Contoh Soal Olimpiade

Soal 1:
Penentuan Jenis Gas dari Data Kalorimetri

Suatu sampel gas ideal murni sebanyak 2,0 mol dipanaskan dari 300 K menjadi 400 K. Pada proses volume konstan, dibutuhkan kalor 4157 J. Pada proses tekanan konstan, dibutuhkan kalor 5819 J. Tentukan:

1. Kapasitas panas molar \(C_v\) dan \(C_p\) gas tersebut (dalam J/(mol·K)).
2. Jenis gas (monoatomik, diatomik, atau poliatomik) berdasarkan derajat kebebasannya.
3. Nilai \(\gamma\) untuk gas ini.

Pembahasan:

(a) Menghitung \(C_v\) dan \(C_p\).

Pada volume konstan, \(q_v = nC_v\Delta T\), sehingga: \[ \begin{aligned} C_v &= \frac{q_v}{n\,\Delta T} \\[6pt] &= \frac{4157}{2{,}0 \times 100} \\[6pt] &= 20{,}79 \text{ J/(mol.K)} \end{aligned} \] Pada tekanan konstan, \(q_p = nC_p\Delta T\), sehingga: \[ \begin{aligned} C_p &= \frac{q_p}{n\,\Delta T} \\[6pt] &= \frac{5819}{2{,}0 \times 100} \\[6pt] &= 29{,}10 \text{ J/(mol.K)} \end{aligned} \]

(b) Menentukan jenis gas.

Uji hubungan Mayer: \[ \begin{aligned} C_p - C_v &= 29{,}10 - 20{,}79 \\ &= 8{,}31 \text{ J/(mol.K)} \approx R \checkmark \end{aligned} \] Bandingkan \(C_v\) dengan nilai teoritis: \[ \begin{aligned} C_v &\approx 20{,}79 \text{ J/(mol.K)} \\ &\approx \tfrac{5}{2}R = 20{,}79 \text{ J/(mol.K)} \end{aligned} \] Gas memiliki 5 derajat kebebasan (3 translasi + 2 rotasi) → gas diatomik (pada suhu kamar, vibrasi belum aktif).

(c) Rasio \(\gamma\).

\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{C_p}{C_v} \\[6pt] &= \frac{29{,}10}{20{,}79} \\[6pt] &\approx \mathbf{1{,}40} \end{aligned} \]

---

Soal 2:
Proses Adiabatik dan Perubahan Energi Dalam

Sebanyak 1,0 mol gas ideal monoatomik (\(C_v = \tfrac{3}{2}R\)) pada 300 K dan 1,0 atm dimampatkan secara adiabatik reversibel hingga volumenya menjadi setengah volume awal. Hitung:

1. Suhu akhir gas.
2. Perubahan energi dalam (\(\Delta U\)).
3. Kerja yang dilakukan pada gas (\(W\)).

Pembahasan:

(a) Suhu akhir.

Hitung \(\gamma\) terlebih dahulu: \[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{C_p}{C_v} = \frac{\tfrac{5}{2}R}{\tfrac{3}{2}R} = \frac{5}{3} \\[4pt] \gamma - 1 &= \frac{2}{3} \end{aligned} \] Untuk proses adiabatik reversibel, berlaku \(TV^{\gamma-1} = \text{konstan}\): \[ \begin{aligned} T_1 V_1^{2/3} &= T_2 V_2^{2/3} \\[6pt] T_2 &= T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{2/3} \\[6pt] &= 300 \times 2^{2/3} \\[6pt] &= 300 \times 1{,}587 \\[6pt] &\approx \mathbf{476 \text{ K}} \end{aligned} \]

(b) Perubahan energi dalam.

\[ \begin{aligned} \Delta U &= nC_v\,\Delta T \\[6pt] &= 1{,}0 \times \tfrac{3}{2}(8{,}314) \times (476 - 300) \\[6pt] &= 12{,}471 \times 176 \\[6pt] &\approx \mathbf{2195 \text{ J}} \end{aligned} \]

(c) Kerja yang dilakukan pada gas.

Pada proses adiabatik, \(q = 0\), sehingga hukum pertama memberikan: \[ \begin{aligned} \Delta U &= q + W = W \\[6pt] W &= \Delta U \approx \mathbf{+2195 \text{ J}} \end{aligned} \] Tanda positif menunjukkan kerja dilakukan pada gas (pemampatan), konsisten dengan kenaikan suhu.

---

Soal 3:
Pemanasan Campuran Gas

Sebuah wadah bervolume tetap 10,0 L berisi campuran 4,0 g helium (mM = 4,0 g/mol) dan 28,0 g nitrogen (mM = 28,0 g/mol) pada suhu 300 K. Campuran dipanaskan hingga 400 K. Hitung:

1. Kapasitas panas total campuran pada volume konstan (\(C_{v,\text{total}}\)).
2. Kalor yang diserap sistem.
3. Tekanan akhir campuran.

Pembahasan:

(a) Kapasitas panas total.

Jumlah mol masing-masing komponen: \[ \begin{aligned} n_{\text{He}} &= \frac{4{,}0}{4{,}0} = 1{,}0 \text{ mol} \\[4pt] n_{\text{N}_2} &= \frac{28{,}0}{28{,}0} = 1{,}0 \text{ mol} \end{aligned} \] Kapasitas panas molar (gas ideal): \(C_{v,\text{He}} = \tfrac{3}{2}R\) (monoatomik), \(C_{v,\text{N}_2} = \tfrac{5}{2}R\) (diatomik). \[ \begin{aligned} C_{v,\text{total}} &= n_{\text{He}}\,C_{v,\text{He}} + n_{\text{N}_2}\,C_{v,\text{N}_2} \\[6pt] &= 1{,}0 \times \tfrac{3}{2}R \;+\; 1{,}0 \times \tfrac{5}{2}R \\[6pt] &= 4R \\[6pt] &= 4 \times 8{,}314 \\[6pt] &= 33{,}26 \text{ J/K} \end{aligned} \]

(b) Kalor yang diserap (proses volume tetap).

\[ \begin{aligned} q_v &= C_{v,\text{total}}\,\Delta T \\[6pt] &= 33{,}26 \times (400 - 300) \\[6pt] &= \mathbf{3326 \text{ J}} \end{aligned} \]

(c) Tekanan akhir.

Jumlah mol total \(n = 1{,}0 + 1{,}0 = 2{,}0\) mol. Volume tetap, sehingga tekanan sebanding dengan suhu mutlak: \[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{nRT_1}{V} = \frac{2{,}0 \times 0{,}08206 \times 300}{10{,}0} = 4{,}92 \text{ atm} \\[8pt] P_2 &= P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 4{,}92 \times \frac{400}{300} = \mathbf{6{,}56 \text{ atm}} \end{aligned} \]

---

Soal 4:
Ekspansi Irreversibel dan Pemanasan Isobarik

Dua mol gas ideal monoatomik pada 300 K dan 5,0 atm diekspansi secara irreversibel melawan tekanan luar tetap 1,0 atm hingga sistem mencapai kesetimbangan mekanik dengan lingkungan (adiabatik). Kemudian gas dipanaskan secara isobarik pada 1,0 atm hingga suhunya kembali ke 300 K. Tentukan:

1. Perubahan energi dalam total (\(\Delta U_{\text{total}}\)).
2. Kalor total yang diserap sistem (\(q_{\text{total}}\)).
3. Perubahan entropi total sistem (\(\Delta S_{\text{total}}\)).

Pembahasan:

Data awal: \(n = 2{,}0\) mol, \(T_1 = 300\) K, \(P_1 = 5{,}0\) atm.

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{nRT_1}{P_1} = \frac{2{,}0 \times 0{,}08206 \times 300}{5{,}0} = 9{,}85 \text{ L} \end{aligned} \]

Tahap 1 — Ekspansi irreversibel adiabatik melawan \(P_{\text{ext}} = 1{,}0\) atm

Ekspansi berhenti saat \(P_2 = P_{\text{ext}} = 1{,}0\) atm. Karena adiabatik (\(q_1 = 0\)), hukum pertama memberikan \(\Delta U_1 = W_1\). Substitusi \(V_2 = nRT_2/P_2\) ke persamaan kerja: \[ \begin{aligned} nC_v(T_2 - T_1) &= -P_{\text{ext}}\!\left(\frac{nRT_2}{P_2} - V_1\right) \\[6pt] \tfrac{3}{2}(T_2 - 300) &= -T_2 + \frac{300 \times 1{,}0}{5{,}0} \\[6pt] \tfrac{3}{2}T_2 - 450 &= -T_2 + 60 \\[6pt] \tfrac{5}{2}T_2 &= 510 \\[6pt] T_2 &= 204 \text{ K} \end{aligned} \] Volume setelah ekspansi: \[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{nRT_2}{P_2} = \frac{2{,}0 \times 0{,}08206 \times 204}{1{,}0} = 33{,}48 \text{ L} \end{aligned} \] Kerja dan perubahan energi dalam tahap 1: \[ \begin{aligned} W_1 &= -P_{\text{ext}}(V_2 - V_1) = -1{,}0 \times (33{,}48 - 9{,}85) = -23{,}63 \text{ L.atm} \\ &= -23{,}63 \times 101{,}325 \approx -2394 \text{ J} \\[8pt] \Delta U_1 &= nC_v(T_2-T_1) = 2{,}0 \times \tfrac{3}{2}(8{,}314)(204-300) \approx -2394 \text{ J} \\[4pt] q_1 &= 0 \text{ J (adiabatik)} \end{aligned} \]

Tahap 2 — Pemanasan isobarik pada \(P_2 = 1{,}0\) atm dari \(T_2 = 204\) K ke \(T_3 = 300\) K

Volume akhir: \[ \begin{aligned} V_3 &= \frac{nRT_3}{P_2} = \frac{2{,}0 \times 0{,}08206 \times 300}{1{,}0} = 49{,}24 \text{ L} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} W_2 &= -P_2(V_3 - V_2) = -nR(T_3 - T_2) = -2{,}0 \times 8{,}314 \times (300 - 204) \\ &\approx -1596 \text{ J} \\[8pt] \Delta U_2 &= nC_v(T_3 - T_2) = 2{,}0 \times \tfrac{3}{2}(8{,}314)(300-204) \approx +2394 \text{ J} \\[8pt] q_2 &= \Delta U_2 - W_2 = 2394 - (-1596) = +3990 \text{ J} \end{aligned} \]

(a) \(\Delta U_{\text{total}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{total}} &= \Delta U_1 + \Delta U_2 \\ &= -2394 + 2394 \\ &= \mathbf{0 \text{ J}} \end{aligned} \] Konsisten: \(T_3 = T_1 = 300\) K, dan energi dalam gas ideal hanya bergantung pada suhu.

(b) \(q_{\text{total}}\)

\[ \begin{aligned} q_{\text{total}} &= q_1 + q_2 \\ &= 0 + 3990 \\ &= \mathbf{+3990 \text{ J}} \end{aligned} \]

(c) \(\Delta S_{\text{total}}\)

Entropi adalah fungsi keadaan. Keadaan awal: \((T_1 = 300\text{ K},\ P_1 = 5{,}0\text{ atm})\); keadaan akhir: \((T_3 = 300\text{ K},\ P_3 = 1{,}0\text{ atm})\). Karena \(T_3 = T_1\), suku yang mengandung \(\ln(T)\) gugur dan: \[ \begin{aligned} \Delta S &= nR\ln\frac{V_3}{V_1} = nR\ln\frac{P_1}{P_3} \\[8pt] &= 2{,}0 \times 8{,}314 \times \ln\!\frac{5{,}0}{1{,}0} \\[6pt] &= 16{,}628 \times 1{,}6094 \\[6pt] &\approx \mathbf{26{,}8 \text{ J/K}} \end{aligned} \]

Kesimpulan:
\(\Delta U_{\text{total}} = 0\text{ J}\),  \(q_{\text{total}} = +3{,}99\text{ kJ}\),  \(\Delta S_{\text{total}} = +26{,}8\text{ J/K}\).

---

6.

Kesimpulan

Kapasitas panas \(C_p\) dan \(C_v\) adalah properti termodinamika kunci yang membedakan perilaku gas ideal pada kondisi berbeda. Hubungan \(C_p - C_v = R\) merupakan konsekuensi langsung dari hukum gas ideal dan hukum pertama termodinamika.

Pemahaman tentang derajat kebebasan memungkinkan kita memprediksi nilai numerik kapasitas panas untuk berbagai jenis gas.

Soal-soal olimpiade yang disajikan menunjukkan aplikasi konsep ini dalam perhitungan proses termodinamika, termasuk adiabatik, isobarik, dan isokhorik, serta analisis campuran gas.

Disusun untuk keperluan pembelajaran persiapan singkat OSN Kimia • 2026
Referensi: Atkins, Physical Chemistry; Castellan, Physical Chemistry.