Kalkulator Waktu Paruh dan Peluruhan Radioaktif V.2026

Peluruhan radioaktif adalah proses spontan di mana inti atom yang tidak stabil melepaskan energi dalam bentuk radiasi untuk mencapai konfigurasi yang lebih stabil. Fenomena ini terjadi secara acak pada tingkat atom tunggal, namun ketika diamati pada sekumpulan atom dalam jumlah besar, laju peluruhan mengikuti pola matematis yang sangat konsisten dan dapat diprediksi dengan tepat.

Kalkulator ini dirancang untuk membantu siswa MA/SMA memahami dan menghitung berbagai besaran dalam peluruhan radioaktif secara interaktif. Dengan memasukkan data yang diketahui, kalkulator akan menghitung sisa jumlah zat radioaktif, waktu yang diperlukan hingga mencapai jumlah tertentu, waktu paruh, konstanta peluruhan, maupun aktivitas radiasi disertai langkah penyelesaian langkah demi langkah agar proses berpikir matematis tetap transparan dan mudah diikuti.

☢ Landasan Teori

1. Hukum Peluruhan Radioaktif

Peluruhan radioaktif mengikuti kinetika orde pertama. Laju peluruhan sebanding dengan jumlah inti radioaktif yang ada pada saat itu. Secara matematis, hubungan ini dinyatakan sebagai persamaan diferensial:

\[\frac{dN}{dt} = -\lambda N\]

di mana \(N\) adalah jumlah inti radioaktif pada waktu \(t\), dan \(\lambda\) adalah konstanta peluruhan (satuan s⁻¹). Tanda negatif menunjukkan bahwa \(N\) berkurang terhadap waktu. Penyelesaian persamaan diferensial ini menghasilkan hukum peluruhan eksponensial:

\[N_t = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

dengan \(N_0\) adalah jumlah inti pada \(t = 0\) (jumlah awal). Persamaan ini berlaku untuk semua besaran yang proporsional dengan jumlah inti: massa (g), jumlah mol, maupun jumlah atom.

2. Waktu Paruh (t½)

Waktu paruh adalah waktu yang dibutuhkan agar jumlah zat radioaktif berkurang menjadi setengah dari jumlah awalnya. Dengan substitusi \(N(t_{1/2}) = \tfrac{1}{2}N_0\) ke dalam hukum peluruhan:

\[\begin{aligned} \tfrac{1}{2}N_0 &= N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}} \\[4pt] \tfrac{1}{2} &= e^{-\lambda t_{1/2}} \\[4pt] \ln\tfrac{1}{2} &= -\lambda t_{1/2} \\[4pt] t_{1/2} &= \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}6931}{\lambda} \end{aligned}\]

Hubungan ini sangat penting: jika waktu paruh diketahui, konstanta peluruhan dapat diperoleh, dan sebaliknya. Setelah \(n\) kali waktu paruh berlalu, sisa zat dapat dihitung menggunakan bentuk sederhana:

\[N_t = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n, \quad \text{dengan } n = \frac{t}{t_{1/2}}\]

Catatan: Nilai \(n\) tidak harus bilangan bulat. Jika \(t = 1{,}5 \times t_{1/2}\), maka \(n = 1{,}5\) dan sisa zat adalah \(N_0 \times (0{,}5)^{1{,}5} \approx 35{,}4\%\ N_0\).

3. Konstanta Peluruhan (λ)

Konstanta peluruhan \(\lambda\) menyatakan peluang peluruhan per satuan waktu dari satu inti atom. Satuannya adalah s⁻¹ (per detik). Nilainya berbeda-beda untuk setiap isotop dan merupakan sifat intrinsik nuklida tersebut. Hubungannya dengan waktu paruh:

\[\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}6931}{t_{1/2}}\]

4. Waktu yang Diperlukan

Jika diketahui \(N_0\), \(N_t\), dan \(\lambda\) (atau \(t_{1/2}\)), waktu \(t\) dapat dihitung dengan mengisolasi \(t\) dari hukum peluruhan:

\[\begin{aligned} N_t &= N_0 \cdot e^{-\lambda t} \\[4pt] \frac{N_t}{N_0} &= e^{-\lambda t} \\[4pt] \ln\!\left(\frac{N_t}{N_0}\right) &= -\lambda t \\[4pt] t &= -\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N_t}{N_0}\right) = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N_0}{N_t}\right) \end{aligned}\]

5. Aktivitas Radioaktif

Aktivitas \(A_t\) menyatakan laju peluruhan, yaitu jumlah peluruhan per satuan waktu. Aktivitas berbanding lurus dengan jumlah inti yang ada:

\[A_t = \lambda \cdot N_t = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

Satuan aktivitas dalam SI adalah Becquerel (Bq), di mana 1 Bq = 1 peluruhan per detik. Satuan lama yang masih sering dipakai adalah Curie: 1 Ci = 3,7 × 10¹⁰ Bq.

6. Ringkasan Variabel dan Satuan

Simbol	Nama Besaran	Satuan Umum	Keterangan
\(N_0\)	Jumlah zat awal	gram, mol, atom	Jumlah pada \(t = 0\)
\(N_t\)	Sisa zat pada waktu \(t\)	sama dengan \(N_0\)	Selalu < \(N_0\)
\(\lambda\)	Konstanta peluruhan	s−¹	Sifat intrinsik isotop
\(t_{1/2}\)	Waktu paruh	s, menit, jam, hari, tahun	Waktu saat \(N = \tfrac{1}{2}N_0\)
\(t\)	Waktu yang telah berlalu	sama dengan \(t_{1/2}\)	Harus unit konsisten dengan \(t_{1/2}\)
\(A_t\)	Aktivitas	Bq atau Ci	1 Bq = 1 peluruhan/s
\(n\)	Jumlah waktu paruh	- (tak berdimensi)	\(n = t / t_{1/2}\)

☢ Contoh Perhitungan Manual

Contoh 1: Menghitung Sisa Zat (C-14, Penanggalan Radiokarbon)

📋 Soal

Sebuah sampel arkeologi mengandung 1,00 gram C-14 pada saat organisme mati. Waktu paruh C-14 adalah 5.730 tahun. Berapa gram C-14 yang tersisa setelah 11.460 tahun?

✅ Penyelesaian

Diketahui: \(N_0 = 1{,}00\ \text{g}\), \(t_{1/2} = 5.730\ \text{tahun}\), \(t = 11.460\ \text{tahun}\)

Langkah 1: Hitung jumlah waktu paruh (\(n\))

\[\begin{aligned} n &= \frac{t}{t_{1/2}} \\[6pt] &= \frac{11.460\ \text{tahun}}{5.730\ \text{tahun}} \\[6pt] &= 2 \end{aligned}\]

Waktu yang berlalu tepat 2 kali waktu paruh.

Langkah 2: Hitung konstanta peluruhan (\(\lambda\))

\[\begin{aligned} \lambda &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \\[6pt] &= \frac{0{,}6931}{5.730\ \text{tahun}} \\[6pt] &= 1{,}2097 \times 10^{-4}\ \text{tahun}^{-1} \end{aligned}\]

Langkah 3: Hitung sisa zat dengan hukum peluruhan

\[\begin{aligned} N_t &= N_0 \cdot e^{-\lambda t} \\[6pt] &= 1{,}00 \times e^{-(1{,}2097 \times 10^{-4}) \times 11.460} \\[6pt] &= 1{,}00 \times e^{-1{,}3863} \\[6pt] &= 1{,}00 \times 0{,}2500 \\[6pt] &= 0{,}250\ \text{g} \end{aligned}\]

Verifikasi dengan rumus \((1/2)^n\)

\[\begin{aligned} N_t &= N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \\[6pt] &= 1{,}00 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\[6pt] &= 1{,}00 \times 0{,}25 \\[6pt] &= 0{,}250\ \text{g} \end{aligned}\]

Kesimpulan: Setelah 11.460 tahun (2 waktu paruh), sisa C-14 adalah 0,250 gram, yaitu 25,00% dari jumlah awal. Hasil kedua cara perhitungan konsisten.

Contoh 2: Menghitung Waktu yang Diperlukan (I-131, Kedokteran Nuklir)

📋 Soal

Sebuah rumah sakit menerima sampel I-131 sebanyak 200 mg untuk terapi tiroid. Waktu paruh I-131 adalah 8,02 hari. Setelah berapa hari aktivitas sampel tersebut berkurang sehingga hanya tersisa 25 mg?

✅ Penyelesaian

Diketahui: \(N_0 = 200\ \text{mg}\), \(N_t = 25\ \text{mg}\), \(t_{1/2} = 8{,}02\ \text{hari}\)

Langkah 1: Hitung konstanta peluruhan (\(\lambda\))

\[\begin{aligned} \lambda &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \\[6pt] &= \frac{0{,}6931}{8{,}02\ \text{hari}} \\[6pt] &= 0{,}08642\ \text{hari}^{-1} \end{aligned}\]

Langkah 2: Hitung waktu \(t\)

\[\begin{aligned} t &= \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N_0}{N_t}\right) \\[6pt] &= \frac{1}{0{,}08642}\ln\!\left(\frac{200}{25}\right) \\[6pt] &= \frac{1}{0{,}08642}\ln(8) \\[6pt] &= \frac{2{,}0794}{0{,}08642} \\[6pt] &= 24{,}06\ \text{hari} \end{aligned}\]

Verifikasi, cek jumlah waktu paruh

\[\begin{aligned} n &= \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{24{,}06}{8{,}02} \approx 3 \\[6pt] N_t &= 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 200 \times 0{,}125 = 25\ \text{mg} \checkmark \end{aligned}\]

Kesimpulan: Sampel I-131 membutuhkan waktu 24,06 hari (tepat 3 waktu paruh) untuk berkurang dari 200 mg menjadi 25 mg, atau tersisa 12,5% dari jumlah awal.

☢ Petunjuk Penggunaan Kalkulator

Kalkulator ini memiliki 5 mode perhitungan. Pilih mode sesuai dengan besaran yang ingin dicari, lalu isi kolom masukan yang tersedia.

Mode Perhitungan

Mode	Yang Dicari	Data yang Diperlukan
Sisa Zat N_t	Berapa sisa zat setelah waktu \(t\)	\(N_0\), \(t\), dan \(t_{1/2}\) atau \(\lambda\)
Waktu t	Berapa lama hingga tersisa \(N_t\)	\(N_0\), \(N_t\), dan \(t_{1/2}\) atau \(\lambda\)
Waktu Paruh t½	Waktu paruh suatu isotop	\(\lambda\) saja
Kons. Peluruhan λ	Nilai \(\lambda\) dari waktu paruh	\(t_{1/2}\) saja
Aktivitas At	Laju peluruhan dalam Bq	\(N_t\) dalam atom, dan \(t_{1/2}\) atau \(\lambda\)

Langkah-langkah

1. Pilih mode perhitungan dengan mengklik salah satu tombol di bagian “Yang Ingin Dicari”. Kolom yang sedang dicari akan otomatis dinonaktifkan.
2. Jika isotop yang digunakan ada di daftar Pilih Isotop Cepat, klik pill isotop tersebut. Waktu paruh akan terisi otomatis.
3. Isi kolom masukan yang tersedia. Untuk waktu dan waktu paruh, pilih satuan yang sesuai (detik, menit, jam, hari, atau tahun) di menu tarik sebelahnya.
4. Klik tombol ⚡ Hitung. Hasil akan muncul di bawah beserta informasi pelengkap.
5. Klik Lihat Langkah Penyelesaian untuk melihat proses perhitungan secara lengkap, berguna untuk memahami cara kerja rumus atau untuk menyalin ke lembar kerja.
6. Jika ingin menghitung ulang dengan data berbeda, klik ↻ Reset untuk mengosongkan semua kolom.

Tips: Untuk masukan, satuan \(N_0\) dan \(N_t\) harus sama (misalnya keduanya dalam gram, atau keduanya dalam mol). Satuan waktu \(t\) dan \(t_{1/2}\) tidak harus sama, kalkulator akan mengonversi ke detik secara internal sebelum menghitung.

Catatan mode Aktivitas: Hasil dalam Bq hanya valid jika \(N_t\) dimasukkan dalam satuan jumlah atom. Jika \(N_t\) dalam mol, kalikan terlebih dahulu dengan bilangan Avogadro (\(6{,}022 \times 10^{23}\)) sebelum memasukkan ke kalkulator.

☢ Interpretasi Hasil

Setelah kalkulator menampilkan hasil, perhatikan informasi pelengkap yang ditampilkan dalam chip di bawah nilai utama. Berikut panduan membaca dan menginterpretasikan setiap keluaran.

⚛️ Sisa Zat \(N_t\)

Nilai dalam satuan yang sama dengan \(N_0\). Chip \(N_t\)/N₀ menunjukkan persentase zat yang tersisa. Chip n menunjukkan berapa kali waktu paruh telah berlalu, bilangan bulat berarti perhitungan “bersih”, bilangan pecahan berarti waktu tidak tepat kelipatan waktu paruh.

⏱️ Waktu t

Hasil ditampilkan dalam satuan yang paling tepat secara otomatis (detik untuk waktu singkat, hingga tahun untuk waktu sangat panjang). Chip satuan detik memungkinkan konversi manual jika diperlukan. Nilai \(n\) mengkonfirmasi berapa waktu paruh yang dilewati.

⌛ Waktu Paruh

Dihitung murni dari \(\lambda\) yang dimasukkan. Nilai ini adalah sifat intrinsik isotop dan tidak bergantung pada jumlah zat. Hasil otomatis dikonversi ke satuan yang paling mudah dibaca (tidak ditampilkan dalam detik jika nilainya sangat besar).

λ Kons. Peluruhan

Selalu dalam satuan s⁻¹. Nilainya sangat kecil untuk isotop berumur panjang (mis. U-238: \(\lambda \approx 4{,}9 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}\)) dan relatif besar untuk isotop berumur pendek (mis. Tc-99m: \(\lambda \approx 3{,}2 \times 10^{-5}\ \text{s}^{-1}\)).

⚡ Aktivitas A_t

Dalam Bq (peluruhan per detik), dengan syarat \(N_t\) dimasukkan dalam jumlah atom. Aktivitas yang tinggi berarti bahan sangat radioaktif dan berbahaya. Aktivitas 1 MBq = 10⁶ peluruhan/detik, sedangkan 1 GBq = 10⁹ peluruhan/detik.

📈 Grafik Peluruhan

Kurva berwarna hijau menunjukkan peluruhan eksponensial. Titik oranye menandai nilai \(N_t\) yang dihitung. Garis putus-putus vertikal menandai setiap kelipatan waktu paruh, perhatikan bahwa di setiap garis tersebut, kurva turun ke setengah nilai sebelumnya.

Makna Fisis Penting

Peluruhan radioaktif bersifat eksponensial murni: zat tidak pernah benar-benar mencapai nol secara matematis. Namun dalam praktik, setelah 10 waktu paruh tersisa hanya \((1/2)^{10} \approx 0{,}1\%\) dari jumlah awal, dan setelah 20 waktu paruh hanya \(\approx 10^{-6}\%\) secara praktis sudah tidak terdeteksi.

Persentase sisa zat \(N_t/N_0\) tidak bergantung pada jumlah awal \(N_0\). Artinya, 1 gram atau 1 ton isotop yang sama akan memiliki persentase sisa yang identik pada waktu yang sama, hanya massa absolutnya yang berbeda.

☢ Kimia Inti · MA/SMA

Kalkulator Peluruhan Radioaktif
Dirancang oleh Urip.info

Hitung sisa zat, waktu, waktu paruh, konstanta peluruhan, atau aktivitas - lengkap dengan langkah penyelesaian

N_t = N₀·e^−λt  |  λ = \(\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}\)  |  A_t = λ·N_t

🎯 Yang Ingin Dicari

Pilih Isotop Cepat (opsional - mengisi waktu paruh otomatis)

* Klik isotop untuk mengisi waktu paruh secara otomatis.

📝 Data Masukan

Jumlah Awal N₀

Satuan bebas: gram, mol, atom, dll.

Sisa Zat N_t

Satuan sama seperti N₀

Waktu (t)

detik menit jam hari tahun

Waktu Paruh (t½)

detik menit jam hari tahun

Kons. Peluruhan λ (s⁻¹)

Dalam satuan per detik (s⁻¹)

💡 Masukkan waktu paruh atau konstanta peluruhan, salah satu sudah cukup.

---

✅ Hasil Perhitungan

📈 Grafik Peluruhan

📐 Referensi Rumus

Variabel	Rumus	Keterangan
Sisa zat	Nt = N₀·e−λt	Hukum peluruhan eksponensial
Waktu	t = \(\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)\)·\(\ln \dfrac{N_0}{N_t}\)	Dari rumus di atas
Waktu paruh	t½ = \(\dfrac{\ln 2}{\lambda}\) ≈ \(\dfrac{0,693}{\lambda}\)	Waktu saat Nt = ½ N₀
Kons. peluruhan	λ = \(\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}\)	Dalam satuan s−1
Aktivitas	At = λ·Nt	1 Bq = 1 peluruhan/detik
Sisa (n paruh)	Nt = N₀·\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)n	n = \(\dfrac{t}{t_{1/2}}\)