Dalam silabus olimpiade kimia, topik "Persamaan Schrödinger paling sederhana", ini merujuk pada sistem partikel dalam kotak 1 dimensi. Model ini menjadi fondasi memahami kuantisasi energi, fungsi gelombang, dan aturan transisi tanpa kalkulus berat. Berikut penjelasan lengkap disertai analogi dan contoh soal (setingkat SMA).
⚛️ Visualisasi analogi: Partikel dalam "kotak" 1 dimensi
Bayangkan sebuah elektron terperangkap dalam kawat nano sepanjang \(L\) dengan dinding keras di kedua ujungnya, sehingga elektron tidak bisa keluar. Partikel (misalnya elektron) hanya bisa bergerak ke kiri-kanan sepanjang garis lurus, tidak bisa ke atas/bawah, inilah “kotak 1D”.
Karena partikel hanya bergerak di sepanjang garis horizontal (sumbu \(x\)). Gambar di atas sengaja menggunakan bidang 2D agar kita bisa melihat dinding dan partikel, tetapi secara fisis, partikel tidak memiliki kebebasan ke arah vertikal. Grafik fungsi gelombang \(\psi(x)\) yang bergelombang (puncak & lembah) adalah nilai probabilitas, bukan lintasan partikel.
⚛️ Persamaan Schrödinger waktu-independent (1D)
Persamaan energi total partikel kuantum dapat ditulis:
Bentuk umum untuk partikel bermassa m dalam energi potensial V(x):
Dengan \(\hbar = \dfrac{h}{2\pi}\).
Untuk kotak 1D: \(V(x)=0\) di dalam
\((0 < x < L)\) dan \(V(x)=\infty\) di luar → syarat batas
\(\psi(0)=\psi(L)=0\).
$$ -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi $$
Penurunan persamaan Schrödinger ke rumus energi \( E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8mL^2} \)
Di daerah \(0 < x < L\), potensial \(V(x)=0\). Persamaan Schrödinger bebas waktu:
$ -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi $
Kalikan kedua ruas dengan \(-\dfrac{2m}{\hbar^2}\):
$ \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = -\dfrac{2mE}{\hbar^2} \psi $
$ \dfrac{d^2\psi}{dx^2} + \dfrac{2mE}{\hbar^2} \psi = 0 $
Definisikan \( k^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2} \), maka diperoleh persamaan osilator harmonik:
$ \dfrac{d^2\psi}{dx^2} + k^2 \psi = 0 $
Persamaan \(\psi'' + k^2\psi = 0\) memiliki solusi:
$ \psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) $
dengan \(A\) dan \(B\) konstanta yang akan ditentukan dari syarat batas.
Karena \(V=\infty\) di \(x=0\) dan \(x=L\), fungsi gelombang harus nol di kedua ujung:
• \(\psi(0)=0\) → \(A\sin(0)+B\cos(0)=B=0\) → \(B=0\).
Jadi \(\psi(x)=A\sin(kx)\).
• \(\psi(L)=0\) → \(A\sin(kL)=0\).
Agar A ≠ 0 (solusi tak trivial), harus \(\sin(kL)=0\), sehingga:
$ kL = n\pi,\quad n=1,2,3,\dots $
Nilai \(n=0\) menghasilkan \(\psi(x)=0\) (tidak bermakna). Diperoleh:
$ k_n = \dfrac{n\pi}{L} $
Dari definisi \(k^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2}\), substitusi \(k_n = \dfrac{n\pi}{L}\):
$ \dfrac{n^2\pi^2}{L^2} = \dfrac{2mE_n}{\hbar^2} $
Selesaikan untuk \(E_n\):
$ E_n = \dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} $
Ingat \(\hbar = \dfrac{h}{2\pi}\), maka \(\hbar^2 = \dfrac{h^2}{4\pi^2}\).
Substitusikan:
$\begin{aligned} E_n &= \dfrac{n^2\pi^2}{2mL^2} \cdot \dfrac{h^2}{4\pi^2} \\&= \dfrac{n^2 h^2}{8mL^2} \end{aligned}$
Selesai. ✅
📦 Dua rumus wajib hafal (partikel dalam kotak 1D)
① Fungsi gelombang (bentuk & normalisasi)
$$ \psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \, \sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right), \quad n = 1,2,3,\dots $$
Makna fisis: \(|\psi_n(x)|^2 dx\) adalah peluang
menemukan partikel antara \(x\) dan \(x+dx\).
Puncak sinus menunjukkan
daerah dengan peluang maksimum.
② Tingkat energi terkuantisasi
$$ E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8mL^2} $$
Energi sebanding dengan \(n^2\) dan berbanding terbalik dengan kuadrat
panjang kotak.
Semakin sempit kotak, semakin besar energi (efek kuantum).
📊 Diagram tingkat energi (dalam satuan \(E_1\))
Perhatikan: jarak antar level makin renggang ke atas karena \(E_n \propto n^2\).
📋 Tabel ringkasan simbol
| Simbol | Nama | Nilai / Satuan |
|---|---|---|
| \(h\) | Konstanta Planck | \(6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{J.s}\) |
| \(\hbar\) | Planck tereduksi (\(h/2\pi\)) | \(1{,}055 \times 10^{-34}\ \text{J.s}\) |
| \(m\) | Massa partikel | mis. elektron: \(9{,}109 \times 10^{-31}\ \text{kg}\) |
| \(L\) | Panjang kotak | meter (m) |
| \(n\) | Bilangan kuantum | \(1, 2, 3, \ldots\) (bulat positif) |
| \(\psi_n(x)\) | Fungsi gelombang | satuan: \(\text{m}^{-1/2}\) |
| \(E_n\) | Energi tingkat ke-\(n\) | Joule (J) atau eV |
⚛️ Contoh soal dari rumus fungsi gelombang (makna probabilitas & momen transisi)
(Probabilitas dari fungsi gelombang)
Sebuah elektron terperangkap dalam kotak 1D dengan panjang \(L = 1,0\ \text{nm}\). Hitunglah peluang menemukan elektron pada keadaan dasar (\(n=1\)) di daerah \( \dfrac{L}{3} \le x \le \dfrac{2L}{3} \).
Peluang \(P = \int_{L/3}^{2L/3} |\psi_1(x)|^2 dx\)
dengan \(\psi_1(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin(\pi x/L)\).
\[ P = \dfrac{2}{L} \int_{L/3}^{2L/3} \sin^2\left(\dfrac{\pi x}{L}\right) dx \] Gunakan \(\sin^2\theta = \dfrac{1-\cos2\theta}{2}\): \[\begin{aligned} P &= \dfrac{2}{L} \cdot \dfrac{1}{2} \int_{L/3}^{2L/3} \left[1 - \cos\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)\right] dx\\&= \dfrac{1}{L} \left[ x - \dfrac{L}{2\pi}\sin\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right) \right]_{L/3}^{2L/3} \end{aligned}\] Hitung batas: \[ \left. x \right|_{L/3}^{2L/3} = \dfrac{L}{3}; \\ \sin\left(\dfrac{2\pi (2L/3)}{L}\right)=\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)= -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin\left(\dfrac{2\pi (L/3)}{L}\right)=\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
\[\begin{aligned} \left[ -\dfrac{L}{2\pi}\sin\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right) \right]_{L/3}^{2L/3} &= -\dfrac{L}{2\pi}\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\&= -\dfrac{L}{2\pi}\left( -\sqrt{3} \right) \\&= \dfrac{L\sqrt{3}}{2\pi} \end{aligned}\] Maka: \[ \begin{aligned}P &= \dfrac{1}{L}\left( \dfrac{L}{3} + \dfrac{L\sqrt{3}}{2\pi} \right)\\&= \dfrac{1}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2\pi} \\&\approx 0,3333 + 0,2757 \\&= 0,6090 \end{aligned}\] Jadi peluang ≈ 0,609 (60,9%). Nilai ini > 1/3 karena puncak fungsi peluang berada di tengah kotak.
(Momen transisi dipol, aturan seleksi)
Diketahui fungsi gelombang
\(\psi_n(x)=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)\).
Hitung integral momen transisi
\(\langle x \rangle_{1\to 3} = \int_0^L
\psi_1(x)\, x\, \psi_3(x) dx\).
Apakah transisi \(n=1 \to n=3\)
diperbolehkan?
\[ \langle x \rangle_{1\to3} = \dfrac{2}{L} \int_0^L x \sin\left(\dfrac{\pi x}{L}\right) \sin\left(\dfrac{3\pi x}{L}\right) dx \]
Gunakan \(\sin A \sin B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]\) dengan \(A=\pi x/L,\ B=3\pi x/L\): \[ = \dfrac{1}{L} \int_0^L x \left[ \cos\left(-\dfrac{2\pi x}{L}\right) - \cos\left(\dfrac{4\pi x}{L}\right) \right] dx \\= \dfrac{1}{L} \int_0^L x \left[ \cos\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right) - \cos\left(\dfrac{4\pi x}{L}\right) \right] dx \]
Integral \(\int_0^L x \cos(k\pi x/L) dx\) untuk \(k=2\) dan \(k=4\) : hasilnya nol untuk \(k\) genap?
Mari hitung satu per satu:
Rumus umum
\(\int_0^L x\cos\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right) dx = \dfrac{L^2}{m^2\pi^2}[\cos(m\pi)-1]\) untuk \(m \ge 1\). (dapat diturunkan).
Untuk \(m=2\):
\(\cos(2\pi)-1=1-1=0\) → integral = 0.
Untuk \(m=4\):
\(\cos(4\pi)-1=1-1=0\) → integral = 0.
Maka \(\langle x \rangle_{1\to3}=0\).
Karena momen transisi nol, transisi \(1\to3\) dilarang
(aturan seleksi partikel dalam kotak 1D:
\(\Delta n\) ganjil → diperbolehkan;
\(\Delta n = 2\) (genap) → dilarang).
Untuk \(1\to3\) , \(\Delta n = 2\) genap → terlarang, sesuai hasil nol.
Transisi dipol listrik diperbolehkan hanya jika \(\Delta n\) = ganjil (1, 3, 5, ...).
Δn = 1 ✓
Δn = 2 ✗
Δn = 3 ✓
Δn = 2 ✗
Karena \(\Delta n = 3-1 = 2\) (genap), transisi \(1\to3\) dilarang — konsisten dengan hasil integral = 0.
🔋 Contoh soal dari rumus energi \(E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8mL^2}\)
(Energi dasar & transisi foton)
Suatu elektron terperangkap dalam kotak 1D dengan lebar \(L = 0,50\
\text{nm}\).
Hitung energi keadaan dasar (\(n=1\)) dalam eV, serta panjang
gelombang foton yang dipancarkan saat elektron turun dari \(n=2\) ke
\(n=1\).
Gunakan:
\(h=6,626\times10^{-34}\ \text{J.s}\),
\(m_e=9,109\times10^{-31}\ \text{kg}\),
\(1\\text{eV}=1,602\times10^{-19}\ \text{J}\).
\( E_1 = \dfrac{1^2 \cdot h^2}{8 m L^2} \)
Hitung numerik:
\(\begin{aligned} h^2 & = (6,626\times10^{-34})^2 \\&= 4,390\times10^{-67}\ \text{J}^2\text{s}^2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 8 m L^2 &= 8 \times (9,109\times10^{-31}) \times (0,50\times10^{-9})^2\\& = 8 \times 9,109\times10^{-31} \times 2,5\times10^{-19} \\&= 8 \times 2,27725\times10^{-49} \\&= 1,8218\times10^{-48}\ \text{kg.m}^2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} E_1 &= \dfrac{4,390\times10^{-67}}{1,8218\times10^{-48}} \\&= 2,410\times10^{-19}\ \text{J} \end{aligned}\)
Konversi ke eV:
\( E_1 = \dfrac{2,410\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}} \approx 1,504\ \text{eV} \)
Selisih energi
\(\begin{aligned} \Delta E &= E_2 - E_1 \\&= (4-1)E_1 \\&= 3E_1 \\&= 3 \times 2,410\times10^{-19} \\&= 7,230\times10^{-19}\ \text{J}\end{aligned}\).
Panjang gelombang:
\(\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E}\) dengan \(c=3,00\times10^8\ \text{m/s}\).
\(\begin{aligned} \lambda &= \dfrac{6,626\times10^{-34} \times 3,00\times10^8}{7,230\times10^{-19}}\\& = \dfrac{1,9878\times10^{-25}}{7,230\times10^{-19}} \\&\approx 2,749\times10^{-7}\ \text{m} \\&= 274,9\ \text{nm} \end{aligned}\)
Hasil: \(E_1 \approx 1,50\ \text{eV}\), \(\lambda \approx 275\ \text{nm}\) (daerah ultraviolet).
(Efek ukuran kotak terhadap energi)
Jika panjang kotak diperkecil menjadi \(L' = 0,25\ \text{nm}\) (setengah dari soal sebelumnya), berapa kali lipat energi keadaan dasar \(E_1'\) dibandingkan \(E_1\) semula? Berapa panjang gelombang serapan untuk transisi \(n=1\to2\) pada kotak baru ini?
Karena \(E_n \propto 1/L^2\), maka
\(\begin{aligned} \dfrac{E_1'}{E_1} &= \left(\dfrac{L}{L'}\right)^2 \\&= \left(\dfrac{0,50}{0,25}\right)^2 \\&= (2)^2 \\&= 4 \end{aligned}\)
Energi dasar menjadi 4 kali lebih besar:
\(E_1' = 4 \times 1,504\ \text{eV} = 6,016\ \text{eV}\).
Transisi \(1\to2\) :
\(\begin{aligned}\Delta E' &= E_2'-E_1' \\&= (4-1)E_1' \\&= 3E_1' \\&= 3 \times 4 E_1 \\&= 12 E_1\end{aligned}\).
Karena \(E_1 = 2,410\times10^{-19}\ \text{J}\), maka
\(\begin{aligned}\Delta E' &= 12 \times 2,410\times10^{-19} \\&= 2,892\times10^{-18}\ \text{J}\end{aligned}\) .
\(\begin{aligned} \lambda' &= \dfrac{hc}{\Delta E'} \\&= \dfrac{1,9878\times10^{-25}}{2,892\times10^{-18}} \\&\approx 6,873\times10^{-8}\ \text{m} \\&= 68,73\ \text{nm} \end{aligned}\)
(lebih pendek dari sebelumnya, karena energi celah membesar).
⚛️ Sekali lagi analogi & pemahaman konsep “1 dimensi” dan “puncak sinus”
❓ “Kotak 1D kok gambarnya bergelombang (puncak & lembah) bukankah itu
2D?”
Puncak dan lembah pada grafik \(\psi(x)\) adalah
nilai fungsi gelombang, bukan posisi partikel. Partikel
hanya bergerak di sepanjang sumbu \(x\).
Analogi: suhu sepanjang batang logam 1D, suhu bisa tinggi (puncak) dan rendah (lembah) di berbagai titik, tetapi batang tetap 1 dimensi.
Demikian pula \(|\psi(x)|^2\) menunjukkan peluang, bukan dimensi ruang baru.
📌 Realitas fisis: Molekul poliena (rantai karbon panjang) atau kawat kuantum mendekati sistem 1D.
Elektron π terdelokalisasi sepanjang rantai, gerak ke arah tegak lurus sangat terbatas.
Model partikel dalam kotak 1D berhasil memprediksi warna serapan molekul tersebut.
📈 Lebih Detail visual fungsi gelombang \(\psi(x)\) dan peluang \(|\psi(x)|^2\)
Puncak dan lembah pada grafik fungsi gelombang bukan berarti partikel bergerak naik-turun. Partikel tetap berada di sumbu \(x\). Yang digambarkan adalah amplitudo probabilitas – daerah dengan \(|\psi|^2\) besar berarti peluang menemukan partikel di sana tinggi.
- Garis biru putus-putus = fungsi gelombang \(\psi(x)\) (bisa positif/negatif).
- Area oranye = \(|\psi(x)|^2\), peluang menemukan partikel di posisi \(x\).
- Partikel (lingkaran merah) tetap berada di sumbu \(x\), tidak pernah naik ke puncak kurva.
- Daerah dengan \(|\psi|^2\) tinggi (misal tengah kotak untuk \(n=1\)) adalah tempat partikel paling mungkin ditemukan.
📌 Kesimpulan: Puncak dan lembah adalah nilai matematis, bukan lintasan fisik. Partikel dalam kotak 1D hanya bergerak kiri-kanan.
Rangkuman untuk siswa olimpiade
-
Rumus fungsi gelombang
→ \(\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) \)
Digunakan untuk menghitung probabilitas, momen transisi, dan aturan seleksi (\(\Delta n\) ganjil).
-
Rumus energi
→ \( E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8mL^2} \)
Digunakan untuk menghitung energi tingkat, panjang gelombang serapan/emisi, efek ukuran kotak.
- Persamaan Schrödinger paling sederhana = partikel dalam kotak 1D. Pahami syarat batas dan kuantisasi energi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar