Simulasi Interaktif untuk Integral (Matematika SMA)

Integral menjawab pertanyaan: berapa luas daerah di bawah kurva $y=f(x)$ dari $x=a$ sampai $x=b$? Pada simulasi ini kamu dapat membagi daerah menjadi persegi panjang, menambah jumlahnya, melihat hampirannya mendekati nilai integral, lalu menghubungkannya dengan antiturunan melalui Teorema Dasar Kalkulus.

Guru juga dapat memakainya untuk demonstrasi di kelas, lengkap dengan mode proyektor, mode sembunyikan jawaban, dan soal latihan acak beserta pembahasannya.

Simulasi Interaktif Integral
Dirancang oleh Urip.info

Mode proyektor Sembunyikan jawaban

Landasan teori

Luas di bawah kurva dan jumlah Riemann

Bagi selang $[a,b]$ menjadi $n$ bagian sama lebar. Lebar tiap bagian $\Delta x$, dan jumlah luas persegi panjangnya disebut jumlah Riemann $S_n$:

\begin{aligned}\Delta x&=\dfrac{b-a}{n}\\ S_n&=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\,\Delta x\end{aligned}

Titik $x_i^*$ dapat diambil di ujung kiri, ujung kanan, atau tengah tiap bagian. Makin besar $n$, makin dekat $S_n$ ke nilai integral tentu:

\begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx&=\lim_{n\to\infty}S_n\end{aligned}

Antiturunan dan integral tak tentu

$F$ disebut antiturunan $f$ jika $F'(x)=f(x)$. Karena turunan konstanta sama dengan 0, antiturunan selalu memuat konstanta $C$:

\begin{aligned}\int x^n\,dx&=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne-1\\ \int k\,dx&=kx+C\end{aligned}

Teorema Dasar Kalkulus

\begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx&=F(b)-F(a)\\ \dfrac{d}{dt}\int_a^t f(x)\,dx&=f(t)\end{aligned}

Rumus pertama memberi cara menghitung integral tanpa menjumlahkan persegi panjang. Rumus kedua berarti fungsi akumulasi luas $A(t)$ punya kemiringan sama dengan tinggi kurva $f$ di titik itu.

Luas daerah di antara dua kurva

\begin{aligned}L&=\int_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx,\quad f(x)\ge g(x)\end{aligned}

Jika kurva bertukar posisi di titik potong, pecah selang di titik potong itu lalu jumlahkan nilai mutlak tiap bagian:

\begin{aligned}L&=\int_a^b\left|f(x)-g(x)\right|dx\end{aligned}

Volume benda putar mengelilingi sumbu $x$

\begin{aligned}V_{\text{cakram}}&=\pi\int_a^b\left[f(x)\right]^2dx\\ V_{\text{cincin}}&=\pi\int_a^b\left(\left[f(x)\right]^2-\left[g(x)\right]^2\right)dx\end{aligned}

Irisan tegak lurus sumbu $x$ berupa lingkaran berjari-jari $f(x)$ dengan luas $\pi\,[f(x)]^2$. Volume diperoleh dengan menumpuk (mengintegralkan) semua irisan itu. Pada cincin, lubang berjari-jari $g(x)$ dikurangkan.

Contoh perhitungan

\begin{aligned}\int_0^3 x^2\,dx&=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3\\ &=\dfrac{27}{3}-\dfrac{0}{3}\\ &=9\end{aligned}

Cara menggunakan simulasi

1. Jelajah. Pilih fungsi contoh, lalu atur batas $a$ dan $b$. Geser penggeser $n$ atau tekan Animasi untuk menambah jumlah persegi panjang.
2. Untuk fungsimu sendiri, tekan Fungsi sendiri, ketik rumus (misalnya x*sin(x) atau cos(2*x)), lalu tekan Terapkan.
3. Pilih titik tinjau: Kiri, Kanan, Tengah, atau Trapesium, lalu bandingkan mana yang paling cepat mendekati nilai eksak.
4. Baca tabel di samping grafik. Baris kuning adalah nilai $n$ yang sedang dipakai. Perhatikan kolom selisih yang mengecil.
5. Pada fungsi yang sebagian grafiknya di bawah sumbu $x$, persegi panjang berwarna merah dihitung negatif. Itu sebabnya integral bisa berbeda dari luas total.
6. Akumulasi. Geser $t$ dan amati luas $A(t)$ bertambah pada grafik kiri, sambil kemiringan garis singgung pada grafik kanan mengikuti tinggi kurva $f(t)$.
7. Luas 2 Kurva. Pilih pasangan kurva, atur batas, dan lihat daerah di antaranya. Hijau berarti $f$ di atas $g$, oranye berarti sebaliknya. Tombol "Batas di titik potong" memasang batas otomatis.
8. Volume. Geser $n$ untuk melihat tumpukan cakram mendekati benda putar, dan geser $t$ untuk melihat penampang lingkaran atau cincin di $x=t$.
9. Tebak. Duga nilai integral dari grafik dan tabel hampiran, pilih jawaban, lalu baca pembahasannya.
10. Latihan. Kerjakan soal acak, lalu baca pembahasannya. Skor dihitung otomatis.
11. Untuk guru. Centang "Mode proyektor" untuk huruf besar dan "Sembunyikan jawaban" agar siswa menduga nilai integral sebelum nilai eksak ditampilkan.

Interpretasi hasil

Membaca hampiran

Jika selisih $|S_n-I|$ makin kecil saat $n$ membesar, hampiran konvergen ke nilai integral $I$. Untuk fungsi naik, titik kiri selalu memberi hampiran terlalu kecil dan titik kanan terlalu besar. Titik tengah dan trapesium biasanya jauh lebih teliti.

Integral bertanda dan luas total

\begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx&=(\text{luas di atas sumbu }x)-(\text{luas di bawah sumbu }x)\\ \text{Luas total}&=\int_a^b |f(x)|\,dx\end{aligned}

Pada $f(x)=x^3-3x$ di $[-2,2]$, integralnya 0 tetapi luas daerahnya tidak 0. Bagian positif dan negatif saling meniadakan.

Catatan penting

• Tabel dan grafik memberi gambaran, sedangkan nilai eksak dihitung dengan antiturunan: $F(b)-F(a)$.
• Luas selalu bernilai positif, tetapi integral tentu boleh negatif.
• Menukar batas mengubah tanda: $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.

f(x) =

Boleh memakai: + - * / ^ ( ), x, sqrt(), sin(), cos(), tan(), abs(), ln(), exp(), pi. Atur batas $a$ dan $b$ pada kotak di bawah. Nilai integralnya dihitung secara numerik (aturan Simpson), bukan dengan antiturunan eksak.

Batas bawah $a$ Batas atas $b$

di atas sumbu x (positif)di bawah sumbu x (negatif)

Jumlah bagian $n$

Tabel hampiran

Luas terkumpul sampai $x=t$

Fungsi akumulasi $A(t)$ dan garis singgungnya

Geser $t$

Kemiringan garis singgung pada grafik kanan sama dengan tinggi kurva $f$ di $x=t$ pada grafik kiri. Itulah isi Teorema Dasar Kalkulus.

f(x) = g(x) =

Aturan penulisan sama seperti pada tab Jelajah. Hasil dihitung numerik.

kurva fkurva gf di atas gg di atas ftitik potong

Batas bawah $a$ Batas atas $b$

Jumlah cakram $n$

Daerah diputar mengelilingi sumbu $x$. Tiap irisan tipis berupa cakram (atau cincin jika ada kurva dalam).

Penampang di $x=t$

Geser $t$

Tiga hal yang sering tertukar

Bentuk	Hasil dan artinya
$\int f(x)\,dx$	Integral tak tentu: keluarga fungsi $F(x)+C$ (antiturunan).
$\int_a^b f(x)\,dx$	Integral tentu: sebuah bilangan, boleh negatif.
Luas daerah	Selalu positif: $\int_a^b |f(x)|\,dx$.

Rumus dasar

• $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, dengan $n\ne-1$
• $\int k\,f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$
• $\int [f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
• $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$ dan $\int \cos x\,dx=\sin x+C$
• $\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$

Sifat integral tentu

• $\int_a^a f(x)\,dx=0$
• $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$
• $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$

Peta keputusan: menghitung integral tentu

1. Cari antiturunan $F(x)$ dengan aturan pangkat.
2. Hitung $F(b)-F(a)$. Konstanta $C$ saling meniadakan, jadi tidak perlu ditulis.
3. Jika diminta luas, cek apakah grafik memotong sumbu $x$ di dalam $[a,b]$. Jika ya, pisahkan selangnya dan jumlahkan nilai mutlaknya.

Luas antara dua kurva dan volume benda putar

• Luas: $L=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$. Cari titik potong dengan menyelesaikan $f(x)=g(x)$.
• Cakram: $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$
• Cincin: $V=\pi\int_a^b \left([f(x)]^2-[g(x)]^2\right)dx$, dengan $f$ kurva luar dan $g$ kurva dalam.
• Kuadratkan dulu, baru kurangkan: $[f(x)]^2-[g(x)]^2\ne [f(x)-g(x)]^2$.

Awas, miskonsepsi yang sering muncul

• "Integral tentu sama dengan luas." Tidak selalu: bagian di bawah sumbu $x$ bernilai negatif.
• "Integral tak tentu boleh tanpa $C$." Tidak: tanpa $C$ jawabannya hanya satu dari banyak antiturunan.
• "$\int x^2\,dx=\dfrac{x^2}{2}+C$." Salah: pangkatnya naik satu menjadi $\dfrac{x^3}{3}$.
• "$F(a)-F(b)$ sama saja dengan $F(b)-F(a)$." Tidak: urutannya menentukan tanda.