Pola Soal KPK FPB untuk SD, SMP, SMA

Pola soal kontekstual bahasan KPK dan FPB yang dapat dikembangkan dan dipelajari untuk menyusun soal yang lebih variatif, dari jenjang SD hingga SMA. Setiap pola diberi nomor urut 1–95 yang berlaku untuk seluruh bagian, jadi nomor dapat dipakai sebagai rujukan. Gunakan filter dan kotak cari untuk menemukan pola yang dibutuhkan.KPKFPBKPK–FPB

1. Pola Dasar sampai Pengembangan

Pola kontekstual klasik, variasi yang jarang masuk buku teks, dan gabungan KPK–FPB. Nomor 1–43.

No	Jenis	Pola	Contoh Soal	Petunjuk	Kunci	Jenjang
1	KPK	Waktu berikutnya (klasik)	Bus A datang setiap 12 menit, B setiap 18 menit, C setiap 24 menit. Jika ketiganya datang bersamaan pukul 08.00, pukul berapa ketiganya datang bersamaan lagi?	Cari KPK ketiga interval	09.12	SD
2	KPK	Pertemuan ke-n (bukan berikutnya)	Les A setiap 4 hari, B setiap 6 hari, C setiap 8 hari. Jika hari ini mereka les bersama, berapa hari lagi mereka les bersama untuk kedua kalinya setelah hari ini?	KPK, lalu kalikan 2	48 hari	SD
3	KPK	Modulo hari (hari apa)	Andi berenang setiap 3 hari, Bima setiap 4 hari, Cici setiap 6 hari. Mereka bertemu pertama kali hari Senin. Hari apa mereka bertemu lagi?	KPK lalu geser hari dari Senin	Sabtu	SD
4	KPK	Tanggal kalender lintas bulan	Jadwal ronda A setiap 5 hari, B setiap 6 hari, C setiap 8 hari. Mereka ronda bersama pada 10 Januari. Tanggal berapa mereka ronda bersama lagi?	KPK lalu hitung tanggal dengan jumlah hari bulan	10 Mei	SD
5	KPK	Sisa tetap	Sejumlah kelereng jika dimasukkan ke kantong isi 6, 8, atau 9 selalu tersisa 4. Berapa jumlah kelereng terkecil yang mungkin?	KPK lalu tambahkan sisa yang sama	76 kelereng	SD
6	KPK	Sisa dengan selisih konstan (KPK − k)	Sejumlah buku jika dibagi ke 5 rak sisa 3, ke 7 rak sisa 5, ke 9 rak sisa 7. Berapa jumlah buku terkecil yang mungkin?	Selisih pembagi dan sisa selalu 2	313 buku	SD
7	KPK	Batas bawah (minimal ≥ N)	Jumlah manik-manik lebih dari 150. Jika dimasukkan ke kantong isi 8, 12, atau 18 selalu habis. Berapa jumlah manik-manik terkecil yang mungkin?	KPK lalu pilih kelipatan di atas 150	216 manik-manik	SD
8	KPK	Berapa kali dalam rentang waktu	Mesin A berbunyi setiap 15 menit, B setiap 20 menit, C setiap 30 menit. Jika berbunyi bersama pukul 08.00 dan berhenti pukul 10.00, berapa kali ketiganya berbunyi bersama dalam rentang itu?	KPK lalu hitung kemunculan dalam rentang	2 kali	SD
9	KPK	Titik awal (offset) bukan nol	Lampu A menyala pertama pada detik ke-3 lalu setiap 6 detik. Lampu B menyala pertama pada detik ke-3 lalu setiap 10 detik. Setelah menyala pertama, kapan keduanya menyala bersamaan lagi?	Bilangan yang memenuhi dua pola offset	Detik ke-33	SD
10	KPK	Selisih satu putaran	Dua pelari start bersamaan. Pelari A satu putaran 4 menit, B 6 menit. Setelah berapa menit A tepat satu putaran di depan B?	KPK lalu periksa selisih putaran	12 menit	SD
11	KPK	Salah satu jadwal berhenti di tengah	Lampu A menyala setiap 4 menit, B setiap 6 menit, C setiap 8 menit. C hanya menyala sampai menit ke-30. Berapa kali ketiganya menyala bersama lagi?	KPK lalu bandingkan dengan batas berhenti	1 kali (menit ke-24)	SD
12	KPK	Menyamakan penyebut (konteks resep)	Sebuah resep membutuhkan 2/3 cangkir susu, 3/4 cangkir tepung, dan 5/6 cangkir gula. Berapa total bahan yang dibutuhkan?	KPK penyebut lalu jumlahkan pembilang	2¼ cangkir (27/12)	SD
13	KPK	Siklus tahunan	Sebuah festival digelar tiap 4 tahun, 6 tahun, dan 8 tahun. Jika tahun ini ketiganya digelar bersama, berapa tahun lagi ketiganya digelar bersama?	KPK dalam satuan tahun	24 tahun	SD
14	FPB	Paket terbanyak (klasik)	Ibu memiliki 84 kue dan 126 donat. Keduanya dimasukkan ke paket sebanyak mungkin dengan isi sama banyak tiap jenis. Berapa paket terbanyak?	FPB dari kedua bilangan	42 paket	SD
15	FPB	Ukuran potongan terbesar	Dua tali berukuran 96 cm dan 144 cm dipotong sama panjang sepanjang mungkin. Berapa panjang tiap potongan?	FPB dari kedua panjang	48 cm	SD
16	FPB	Isi tiap paket (pertanyaan dibalik)	180 pensil dan 240 buku akan dimasukkan ke paket sebanyak mungkin dengan isi sama. Berapa isi pensil dan buku tiap paket?	FPB dulu, lalu bagi	3 pensil dan 4 buku	SD
17	FPB	Banyak potongan total (pertanyaan dibalik)	Kayu 210 cm dan 280 cm dipotong sama panjang dengan ukuran terbesar, tiap potongan jadi satu bingkai. Berapa bingkai yang dapat dibuat seluruhnya?	FPB lalu jumlahkan hasil bagi	7 bingkai	SD
18	FPB	FPB dengan sisa	95 permen dan 125 cokelat dibagi ke beberapa kantong sama banyak. Tersisa 5 permen dan 5 cokelat. Berapa kantong terbanyak?	Kurangi sisa dulu, baru FPB	30 kantong	SD
19	FPB	FPB dengan batas interval	84 buku dan 60 pensil dibagi ke beberapa siswa sama banyak. Jumlah siswa lebih dari 10 tetapi kurang dari 20. Berapa siswa?	FPB lalu pilih yang masuk rentang	12 siswa	SD
20	FPB	FPB dengan syarat selisih isi	84 kelereng merah dan 108 kelereng biru dimasukkan ke kantong sama banyak per jenis. Selisih merah dan biru tiap kantong 2. Berapa kantong terbanyak?	Selisih total dibagi selisih per kantong	12 kantong	SD
21	FPB	Perbandingan tetap / menyederhanakan rasio	Sebuah sekolah memiliki 144 siswa laki-laki dan 180 siswa perempuan. Tuliskan perbandingan paling sederhana laki-laki terhadap perempuan.	Bagi keduanya dengan FPB	4 : 5	SD
22	FPB	Hasil bagi harus bilangan prima	Tentukan FPB dari 42 dan 70, lalu tunjukkan bahwa hasil bagi keduanya merupakan bilangan prima.	FPB lalu periksa hasil bagi	14 (hasil bagi 3 dan 5)	SD
23	FPB	Hasil bagi berurutan (n dan n+1)	Dua bilangan 60 dan 72 dibagi dengan faktor terbesar sehingga hasil baginya dua bilangan berurutan. Berapa faktor tersebut?	FPB lalu cek selisih hasil bagi = 1	12 (hasil bagi 5 dan 6)	SD
24	FPB	Grid/kisi: jumlah kotak	Papan berukuran 84 mm × 126 mm dibagi menjadi kotak persegi sama besar dengan sisi terbesar. Berapa jumlah kotak seluruhnya?	FPB sisi, lalu hitung banyak kotak	6 kotak (2 × 3)	SD
25	FPB	Jarak tanam keliling taman	Taman berukuran 48 m × 36 m ditanami pohon di sekelilingnya dengan jarak sama dan sebesar mungkin, pohon di tiap sudut. Berapa banyak pohon yang diperlukan?	FPB untuk jarak, lalu bagi keliling	14 pohon	SD
26	KPK	Satuan berbeda (konversi dulu)	Lampu A menyala tiap 2 menit, B tiap 90 detik, C tiap 45 detik. Kapan ketiganya menyala bersamaan lagi?	Samakan satuan ke detik dulu	360 detik (6 menit)	SD – SMP
27	KPK	Prediksi ya/tidak (batas eksklusif)	Bus A tiap 15 menit, B tiap 20 menit, bersamaan pukul 07.00. Apakah mereka bersamaan lagi sebelum pukul 08.00?	KPK, lalu bandingkan dengan batas	Tidak (tepat 08.00)	SD – SMP
28	KPK	Nominal uang / koin	Koin Rp750 dan Rp500. Berapa jumlah uang terkecil yang dapat dibentuk dari kelipatan keduanya?	KPK nominal	Rp1.500	SD – SMP
29	KPK	Siklus mekanik (roda gigi)	Gear A 12 gigi, B 18 gigi. Setelah berapa gigi kedua gear kembali ke posisi awal bersamaan?	KPK jumlah gigi	36 gigi (A 3 putaran, B 2 putaran)	SD – SMP
30	KPK	Kasus trivial (salah satu kelipatan)	Tiga lampu menyala tiap 8 detik, 12 detik, 24 detik. Kapan ketiganya menyala bersamaan lagi?	Jika salah satu kelipatan yang lain, KPK = bilangan terbesar	24 detik	SD – SMP
31	KPK	Rumus gabungan a × b = KPK × FPB	KPK dua bilangan 72 dan FPB-nya 12. Salah satu bilangan 24. Tentukan bilangan lainnya.	Gunakan a × b = KPK × FPB	36	SD – SMP
32	FPB	Kebalikan (diketahui FPB + hasil bagi)	FPB dua bilangan 8. Hasil bagi berturut-turut 3 dan 5. Tentukan kedua bilangan.	Kalikan FPB dengan hasil bagi	24 dan 40	SD – SMP
33	FPB	Menyederhanakan pecahan	Sederhanakan pecahan 84/126.	Bagi pembilang dan penyebut dengan FPB	2/3	SD – SMP
34	FPB	Sisa berbeda tiap jenis	100 permen dan 150 cokelat dibagi ke beberapa anak. Permen sisa 4, cokelat sisa 6. Berapa anak terbanyak?	Kurangi sisa masing-masing, lalu cari FPB	48 anak	SD – SMP
35	FPB	Kasus khusus a membagi b	Tentukan FPB dari 15 dan 45.	Jika a membagi b, FPB = a	15	SD – SMP
36	FPB	Dua bilangan berurutan (konsep)	Tentukan FPB dari 23 dan 24. Pola apa yang terlihat?	Bilangan berurutan selalu koprima	1 (selalu 1)	SD – SMP
37	FPB	Cek koprima	Apakah 35 dan 36 koprima? Buktikan dengan FPB.	Hitung FPB; jika 1, berarti koprima	Ya, FPB = 1	SD – SMP
38	KPK–FPB	Diketahui KPK & FPB, cari bilangan	KPK = 60, FPB = 10, salah satu bilangan 20. Tentukan bilangan lainnya.	a × b = KPK × FPB	30	SMP
39	KPK–FPB	Diketahui KPK, cari FPB	KPK dua bilangan 48. Salah satunya 16. Bilangan lain lebih dari 16, kurang dari 48, dan kelipatan 3. Tentukan FPB-nya.	Cari bilangan lain dulu, lalu FPB	Bilangan lain 24; FPB = 8	SMP
40	KPK–FPB	Bandingkan KPK vs FPB	Untuk 24 dan 36, mana yang lebih besar: KPK atau FPB? Berapa selisihnya?	Hitung keduanya	KPK = 72, FPB = 12, selisih 60	SMP
41	KPK–FPB	Buktikan KPK ≥ FPB	Mengapa KPK selalu ≥ FPB? Beri contoh.	Definisi KPK dan FPB	Karena FPB membagi kedua bilangan, sedangkan KPK adalah kelipatan keduanya	SMP
42	KPK–FPB	Tiga bilangan sekaligus	Tentukan KPK dan FPB dari 12, 18, dan 24.	Faktorisasi prima ketiganya	FPB = 6, KPK = 72	SMP
43	KPK–FPB	Satu konteks, dua pertanyaan	Bus A lewat tiap 15 menit, B tiap 20 menit. (a) Jika start pukul 07.00, kapan bersamaan lagi? (b) Jika 120 penumpang A dan 180 penumpang B dibagi ke shelter sama banyak, berapa shelter maksimal?	(a) KPK, (b) FPB	(a) 08.00, (b) 60 shelter	SMP

Catatan

• Nomor 26–30 adalah pengembangan KPK yang jarang masuk buku teks SD.
• Nomor 32, 35, 36, 37 menggeser fokus ke konsep/kebalikan, bukan hitungan kontekstual.
• Nomor 38–43 adalah gabungan KPK–FPB, paling jarang diajarkan namun sering muncul di soal olimpiade.
• Nomor 27, 30, 35 berpotensi “jebakan” karena terlihat seperti soal biasa tapi punya twist.

2. Pola HOTS / Olimpiade

Rekonstruksi bilangan, sisa berselisih konstan, sifat aljabar FPB, dan pembuktian. Nomor 44–61.

No	Jenis	Pola	Contoh Soal	Petunjuk	Kunci	Jenjang
44	KPK–FPB	Rekonstruksi dari FPB + KPK + jumlah	Diketahui FPB(a,b)=6, KPK(a,b)=180, dan a+b=66. Tentukan a dan b.	Gunakan a·b = FPB·KPK, lalu bentuk persamaan kuadrat	a=30, b=36	SMP – SMA
45	KPK–FPB	Rekonstruksi dari FPB + hasil kali	FPB(a,b)=12 dan a·b=4.320. Tentukan KPK dan semua pasangan (a,b) dengan a<b.	KPK = a·b ÷ FPB, lalu a=12m, b=12n, FPB(m,n)=1	KPK=360; pasangan (12,360), (24,180), (36,120), (60,72)	SMP – SMA
46	KPK–FPB	Rekonstruksi dari KPK + FPB	KPK(a,b)=120 dan FPB(a,b)=4. Tentukan semua pasangan (a,b) dengan a<b.	a=4m, b=4n, mn=30, FPB(m,n)=1	(4,120), (8,60), (12,40), (20,24)	SMP – SMA
47	KPK	Sisa berselisih konstan (CRT sederhana)	Bilangan terkecil yang jika dibagi 5 sisa 3, dibagi 7 sisa 5, dibagi 9 sisa 7.	Selisih pembagi−sisa selalu 2, jadi tambah 2 agar habis dibagi	313	SMP – SMA
48	KPK	Titik awal bersama ≠ nol	Tiga lampu menyala tiap 6, 8, dan 10 detik. Ketiganya menyala bersama pertama kali pada detik ke-6. Kapan menyala bersama berikutnya?	n−6 harus habis dibagi KPK(6,8,10)	Detik ke-126	SMP – SMA
49	KPK	Selisih pembagi−sisa sama	Bilangan terkecil yang jika dibagi 4, 6, 8 berturut-turut bersisa 3, 5, 7.	n+1 habis dibagi 4, 6, dan 8	23	SMP – SMA
50	KPK	Rentang tahunan + hitung frekuensi	Ani les tiap 7 hari, Budi tiap 10 hari, Cici tiap 14 hari. Jika hari ini ketiganya les bersama, berapa kali mereka les bersama lagi dalam 365 hari ke depan?	Hitung floor(365 ÷ KPK)	5 kali (hari ke-70, 140, 210, 280, 350)	SMP – SMA
51	KPK	KPK bertingkat (KPK(1..n))	Berapa n terkecil sehingga KPK(1, 2, 3, …, n) > 10.000?	Hitung KPK bertahap sampai melewati 10.000	n = 11 (KPK = 27.720)	SMP – SMA
52	FPB	Repunit / bilangan berpola	Tentukan FPB dari bilangan 111…1 (100 angka 1) dan 111…1 (60 angka 1).	FPB(Rₘ, Rₙ) = R_FPB(m,n)	Bilangan 111…1 dengan 20 angka 1	SMP – SMA
53	FPB	Eksponen besar (bentuk 2ⁿ−1)	Tentukan FPB dari 2¹⁰⁰−1 dan 2⁶⁰−1.	FPB(2ᵃ−1, 2ᵇ−1) = 2^FPB(a,b) − 1	2²⁰ − 1 = 1.048.575	SMP – SMA
54	KPK	Batas bawah dengan sisa tetap	Bilangan terkecil lebih dari 1.000 yang jika dibagi 12, 15, dan 18 selalu bersisa 7.	n = KPK·k + 7, pilih k terkecil yang melewati 1.000	1.087	SMP – SMA
55	FPB	Bukti sifat FPB(a+b, a−b)	Jika FPB(a,b)=5 dan a, b keduanya ganjil, tentukan FPB(a+b, a−b).	a=5m, b=5n dengan m, n ganjil koprima; FPB(m+n, m−n)=2	10	SMP – SMA
56	FPB	Persamaan FPB(n²+1, n+1)	Tentukan semua n asli sehingga FPB(n²+1, n+1) = 2.	n²+1 = (n+1)(n−1)+2, jadi FPB = FPB(n+1, 2)	Semua n ganjil	SMP – SMA
57	FPB	Cari n dengan FPB tertentu	Tentukan semua bilangan asli n < 30 sehingga FPB(n, 24) = 4.	n = 4m dengan m ganjil dan tidak habis dibagi 3	n = 4, 20, 28	SMP – SMA
58	FPB	Euler totient (hitung koprima)	Berapa banyak bilangan asli ≤ 100 yang koprima dengan 100?	Gunakan φ(100) = 100 × (1−1/2) × (1−1/5)	40 bilangan	SMP – SMA
59	KPK–FPB	KPK−FPB diketahui selisihnya	Tentukan semua pasangan (a,b) dengan a<b sehingga KPK(a,b) − FPB(a,b) = 57.	Misal FPB=f, a=fm, b=fn, FPB(m,n)=1, maka KPK = f·m·n. Dari f·m·n − f = 57 diperoleh f(mn−1) = 57, jadi f ∈ {1, 3, 19, 57}	f=1: (1,58), (2,29); f=3: (3,60), (12,15); f=19: (19,76); f=57: (57,114)	SMP – SMA
60	KPK–FPB	Dua bilangan koprima dengan jumlah diketahui	Dua bilangan koprima memiliki jumlah 25 dan KPK 84. Tentukan kedua bilangan tersebut.	Karena koprima, a·b = KPK = 84; gunakan a+b dan a·b	a=4, b=21	SMP – SMA
61	KPK–FPB	Satu cerita, dua pertanyaan (KPK + FPB)	Bus A lewat tiap 15 menit, bus B tiap 20 menit. (a) Jika start pukul 07.00, kapan bersamaan lagi? (b) Jika 120 penumpang A dan 180 penumpang B dibagi ke shelter sama banyak, berapa shelter maksimum?	(a) pakai KPK, (b) pakai FPB	(a) 08.00, (b) 60 shelter	SMP – SMA

Catatan level

• No. 44–46 melatih rekonstruksi dari informasi KPK/FPB (jarang di SD, sering di olimpiade).
• No. 47–50, 54 melatih modular/CRT sederhana dengan twist (sisa yang berbeda-beda).
• No. 52–53, 56 melatih sifat aljabar FPB (repunit, eksponen, bentuk polinomial).
• No. 55, 58, 59 melatih pembuktian & enumerasi pasangan.
• No. 51, 57, 60 butuh penalaran bertahap, bukan sekadar hitung.

3. Pola OSN/KSN SD

Tipe soal yang menggabungkan KPK–FPB dengan teori bilangan dasar (sisa, paritas, modulo). Nomor 62–79.

No	Jenis	Pola	Contoh Soal	Petunjuk	Kunci	Jenjang
62	FPB–Enumerasi	Karakterisasi FPB(n, 100) = 4	Berapa banyak bilangan asli n ≤ 50 sehingga FPB(n, 100) = 4?	4 | n, tetapi 5 ∤ n; tulis n = 4m	10 bilangan (n = 4, 8, 12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 48)	OSN/KSN SD
63	KPK–FPB	Rekonstruksi dua bilangan dari FPB dan KPK	Tentukan semua pasangan bilangan asli (a, b) dengan a < b yang memiliki FPB = 18 dan KPK = 216.	a = 18m, b = 18n, mn = 12, FPB(m,n) = 1	(18, 216) dan (54, 72)	OSN/KSN SD
64	KPK–Modular	CRT sederhana (sisa berbeda)	Bilangan asli terkecil n sehingga n ≡ 2 (mod 3), n ≡ 3 (mod 5), dan n ≡ 5 (mod 7).	Gabungkan dua kongruensi dulu, lalu uji ke-7	68	OSN/KSN SD
65	KPK	Batas minimal bilangan 4-angka	Tentukan bilangan 4-angka terkecil yang habis dibagi 6, 8, dan 9 sekaligus.	KPK(6,8,9) = 72; cari kelipatan ≥ 1000	1.008	OSN/KSN SD
66	KPK–FPB	Optimasi a + b	Dua bilangan memiliki FPB = 9 dan KPK = 180. Tentukan pasangan (a, b) yang membuat a + b sekecil mungkin.	a = 9m, b = 9n, mn = 20, FPB(m,n) = 1	(36, 45), a + b = 81	OSN/KSN SD
67	FPB–Faktorial	Sifat FPB dua faktorial berurutan	Tentukan FPB(n!, (n+1)!) untuk n bilangan asli.	(n+1)! = (n+1) · n!	n! (selalu)	OSN/KSN SD
68	FPB–Eksponen	FPB(pᵃ, pᵇ) = p^min(a,b)	Tentukan FPB(3¹⁰⁰, 3⁶⁰).	Ambil pangkat terkecil	3⁶⁰	OSN/KSN SD
69	FPB–Inklusi–Eksklusi	Hitung bilangan koprima	Berapa banyak bilangan di antara 1 sampai 100 yang koprima dengan 30?	30 = 2 × 3 × 5; pakai inklusi–eksklusi	26 bilangan	OSN/KSN SD
70	KPK–FPB	Hubungan KPK = 6 × FPB	Dua bilangan asli a < b memenuhi KPK(a,b) = 6 × FPB(a,b) dan a · b = 216. Tentukan (a, b).	a · b = FPB × KPK = 6 · FPB²	(6, 36) dan (12, 18)	OSN/KSN SD
71	KPK–Modular	Triple kongruensi via “+3”	Berapa banyak bilangan 3-angka n sehingga n ≡ 1 (mod 4), n ≡ 2 (mod 5), dan n ≡ 3 (mod 6)?	Perhatikan bahwa n + 3 habis dibagi 4, 5, dan 6	15 bilangan (117, 177, …, 957)	OSN/KSN SD
72	FPB–Sifat	FPB(a², b²) = FPB(a,b)²	Buktikan bahwa FPB(a², b²) = (FPB(a,b))². Beri contoh dengan a = 6, b = 10.	Bandingkan pangkat prima di kedua sisi	Benar; contoh FPB(36, 100) = 4 = 2²	OSN/KSN SD
73	KPK–Enumerasi	KPK(n, 30) = 60	Tentukan semua bilangan asli n ≤ 200 sehingga KPK(n, 30) = 60.	n harus membagi 60; uji satu per satu	n = 4, 12, 20, 60	OSN/KSN SD
74	FPB–Identitas	FPB(n, n+k) = FPB(n, k)	Tentukan semua nilai yang mungkin dari FPB(n, n+6) untuk n bilangan asli.	FPB(n, n+6) = FPB(n, 6)	{1, 2, 3, 6}	OSN/KSN SD
75	KPK–FPB	Kesamaan KPK = FPB	Jika KPK(a, b) = FPB(a, b), apa yang dapat disimpulkan tentang a dan b? Buktikan.	Gunakan FPB ≤ min(a,b) ≤ max(a,b) ≤ KPK	a = b	OSN/KSN SD
76	FPB–Diophantine	FPB(a,b) = 6, a + b = 60	Tentukan semua pasangan (a, b) dengan a < b, a + b = 60, dan FPB(a,b) = 6.	a = 6m, b = 6n, m + n = 10, FPB(m,n) = 1	(6, 54) dan (18, 42)	OSN/KSN SD
77	FPB–Eksponen	FPB(2ᵐ−1, 2ⁿ−1) = 2^FPB(m,n) − 1	Hitung FPB(2¹² − 1, 2¹⁸ − 1).	FPB(12, 18) = 6	2⁶ − 1 = 63	OSN/KSN SD
78	KPK bertingkat	KPK(1, 2, …, n) melewati batas	Tentukan n asli terkecil sehingga KPK(1, 2, 3, …, n) > 2.024.	Hitung KPK bertahap: 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2.520, …	n = 9 (karena KPK(1..9) = 2.520)	OSN/KSN SD
79	FPB–KPK tiga bilangan	Optimasi a + b + c	Tiga bilangan asli a < b < c memenuhi FPB(a, b, c) = 6 dan KPK(a, b, c) = 360. Tentukan nilai minimum a + b + c.	Tulis a = 6m, b = 6n, c = 6p; FPB(m,n,p) = 1, KPK(m,n,p) = 60	(18, 24, 30), jumlah = 72	OSN/KSN SD

Karakteristik level ini

• No. 62, 69, 73, 76 → enumerasi terstruktur (uji satu per satu dengan karakterisasi).
• No. 64, 71 → modular/CRT sederhana dengan pola “+k” untuk menyederhanakan.
• No. 67, 68, 72, 74, 75, 77 → pembuktian sifat, bukan sekadar hitung (khas olimpiade).
• No. 66, 79 → optimasi (bukan jawaban tunggal, tapi “pilih yang minimum”).
• No. 78 → barisan bertingkat, melatih ketelitian tanpa rumus khusus.

4. Pola Tambahan Lintas Jenjang (SD–SMA)

Pola yang belum tercakup di tiga bagian sebelumnya, ditandai jenjang yang sesuai. Nomor 80–95.

No	Jenis	Pola	Contoh Soal	Petunjuk	Kunci	Jenjang
80	KPK–FPB	Faktorisasi prima (pohon faktor)	Dengan faktorisasi prima, tentukan FPB dan KPK dari 84 dan 126.	84 = 2² × 3 × 7 dan 126 = 2 × 3² × 7. FPB: pangkat terkecil; KPK: pangkat terbesar	FPB = 42, KPK = 252	SD
81	KPK	Ubin persegi panjang menjadi persegi terkecil	Ubin berukuran 12 cm × 18 cm disusun rapat tanpa celah membentuk persegi sekecil mungkin. Berapa ubin yang diperlukan?	Sisi persegi = KPK(12, 18), lalu bagi per sisi dan kalikan	6 ubin (sisi 36 cm, 3 × 2)	SD
82	KPK	Titik berimpit sepanjang jalan (awal dihitung)	Sepanjang jalan 120 m dipasang lampu tiap 6 m dan bendera tiap 8 m, keduanya mulai dari titik 0 m. Berapa titik yang memuat lampu sekaligus bendera, termasuk titik awal?	KPK(6, 8) = 24 m; hitung 0, 24, 48, ... sampai 120. Jangan lupa titik 0	6 titik	SD
83	KPK	Banyak bilangan dalam rentang yang habis dibagi beberapa bilangan	Berapa bilangan asli sampai 100 yang habis dibagi 4 sekaligus habis dibagi 6?	Habis dibagi keduanya berarti kelipatan KPK(4, 6) = 12, lalu hitung 100 ÷ 12	8 bilangan	SD
84	KPK	Balok disusun menjadi kubus terkecil (tiga dimensi)	Balok kayu berukuran 12 cm × 18 cm × 30 cm disusun rapat membentuk kubus sekecil mungkin. Berapa balok yang diperlukan?	Rusuk kubus = KPK(12, 18, 30) = 180; hitung banyak balok tiap arah, lalu kalikan	900 balok (15 × 10 × 6)	SD – SMP
85	FPB	Banyak faktor persekutuan	Berapa banyak faktor persekutuan dari 48 dan 72?	Faktor persekutuan = faktor dari FPB. Cari FPB, lalu daftar faktornya	8 (FPB = 24)	SMP
86	KPK–FPB	Faktorisasi bentuk pangkat	Diketahui A = 2³ × 3² × 5 dan B = 2² × 3⁴ × 7. Tentukan FPB dan KPK dari A dan B (tanpa dikalikan dulu).	FPB: pangkat terkecil faktor yang sama; KPK: pangkat terbesar semua faktor	FPB = 2² × 3² = 36; KPK = 2³ × 3⁴ × 5 × 7 = 22.680	SMP
87	FPB	Algoritma Euclid	Tentukan FPB dari 1.001 dan 1.547 dengan pengurangan atau pembagian berulang.	FPB(a, b) = FPB(b, a − b); ulangi sampai salah satu habis dibagi yang lain	91	SMP
88	KPK–FPB	FPB dan KPK suku aljabar	Tentukan FPB dan KPK dari 12a²b dan 18ab³.	Koefisien: FPB/KPK biasa. Variabel: pangkat terkecil untuk FPB, pangkat terbesar untuk KPK	FPB = 6ab; KPK = 36a²b³	SMP
89	KPK	KPK pecahan	Seutas pita dipotong tanpa sisa menjadi potongan sepanjang 3/4 m atau potongan sepanjang 5/6 m. Berapa panjang pita terpendek yang mungkin?	KPK pecahan = KPK(pembilang) ÷ FPB(penyebut) = KPK(3, 5) ÷ FPB(4, 6)	15/2 m = 7,5 m	SMP
90	KPK	Bilangan terkecil habis dibagi 1 sampai n	Tentukan bilangan asli terkecil yang habis dibagi semua bilangan 1, 2, 3, ..., 10.	Ambil pangkat prima terbesar yang muncul: 2³, 3², 5, 7	2.520	SMP
91	FPB	Takaran: kapan ukuran tertentu dapat dicapai	Tersedia dua ember bertanda 6 liter dan 9 liter. Dapatkah diperoleh tepat 4 liter? Bagaimana jika ember 5 liter dan 8 liter?	Ukuran yang dapat dicapai selalu kelipatan FPB kedua ember	6 dan 9: tidak (FPB 3 tidak membagi 4). 5 dan 8: ya (FPB 1)	SMP – SMA
92	FPB	Diagonal pada kisi persegi panjang	Sebuah diagonal ditarik pada papan kisi 12 × 18 kotak. Berapa kotak yang dilalui diagonal tersebut?	Banyak kotak = m + n − FPB(m, n)	24 kotak	SMA / OSN
93	FPB	Pembuktian koprima untuk semua n	Buktikan bahwa FPB(3n + 2, 5n + 3) = 1 untuk setiap bilangan asli n.	Jika d membagi keduanya, d membagi 5(3n + 2) − 3(5n + 3)	Selisihnya 1, sehingga d = 1	SMA
94	KPK–FPB	Menghitung banyak pasangan dengan KPK tertentu	Berapa banyak pasangan terurut bilangan asli (a, b) dengan KPK(a, b) = 12? Berapa pasangan jika dipersyaratkan a ≤ b?	12 = 2² × 3. Pada tiap prima, pasangkan pangkat sehingga maksimumnya sesuai: 5 cara untuk 2², 3 cara untuk 3	15 pasangan terurut; 8 pasangan jika a ≤ b	SMA / OSN
95	KPK–FPB	Nominal terbesar yang tidak dapat dibentuk	Hanya tersedia koin Rp3 dan Rp5. Berapa nilai terbesar yang tidak dapat dibayar secara pas?	Untuk dua bilangan koprima a dan b, nilai terbesar yang tidak terbentuk = ab − a − b	Rp7	SMA / OSN

Catatan

• No. 80–83 cocok untuk SD, No. 84–91 untuk SMP, No. 92–95 untuk SMA dan persiapan olimpiade.
• No. 82 melatih ketelitian “titik awal ikut dihitung”; No. 91 dan 95 menekankan makna FPB sebagai syarat keterukuran.