Simulasi Interaktif: Persamaan Lingkaran (Matematika SMA)

Lingkaran ada di roda, jam dinding, hingga jangkauan sinyal menara. Dengan koordinat, bentuk-bentuk ini bisa dituliskan sebagai persamaan dan dianalisis secara aljabar. Pada simulasi ini kamu menggeser parameter, mengamati gambar, lalu menemukan sendiri hubungan antara persamaan dan kedudukan lingkaran.

Klik di sini untuk melihat daftar semua simulasi matematika SMA
atau ketik s.id/simatama di browser.

Landasan Teori

Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama (r) dari satu titik tetap (pusat).

Pusat O(0,0):
Pusat P(a,b):
Bentuk umum: , pusat , (harus positif).

Titik (x₁,y₁) terhadap : nilai negatif berarti di dalam, nol berarti pada, positif berarti di luar.

Garis disubstitusi ke lingkaran menghasilkan persamaan kuadrat. Diskriminannya menentukan kedudukan: . Positif memotong di dua titik, nol menyinggung, negatif tidak memotong.

Garis singgung : di titik (x₁,y₁) pada lingkaran ; bergradien m ; dari titik di luar ada dua garis singgung.

Dua lingkaran dengan jarak pusat d: saling lepas, bersinggungan luar, berpotongan, bersinggungan dalam, yang satu di dalam yang lain.

Menyusun persamaan: dari tiga titik, substitusikan ketiganya ke sehingga diperoleh tiga persamaan untuk A, B, C. Pada diameter, pusat adalah titik tengah dan . Menyinggung sumbu x berarti , sumbu y berarti , dan menyinggung garis berarti (jarak pusat ke garis).

Untuk pusat (a,b): kedudukan titik dari ; kedudukan garis dari ; garis singgung di titik pada lingkaran .

Cara Penggunaan Simulasi

1. Pilih tab sesuai subtopik.
2. Geser slider di kanan (atau bawah pada layar sempit). Gambar dan persamaan berubah langsung.
3. Pada tab Garis Singgung, pilih jenis dulu, lalu slider yang relevan akan muncul.
4. Tombol "Atur ulang" mengembalikan nilai awal tab.
5. Tab 3 sampai 5 punya slider a dan b untuk menggeser pusat. Tab 7 untuk menyusun persamaan dari syarat tertentu. Tab 8 berisi contoh terapan beserta pembahasannya.
6. Kerjakan soal di bagian bawah dengan memakai tab yang sesuai, baru cocokkan dengan kunci.

Interpretasi Hasil

• Tanda a dan b pada selalu berkebalikan dengan posisi pusat. Pusat (2,−3) ditulis .
• Pada bentuk umum, jika r² ≤ 0 maka tidak terbentuk lingkaran. Cari nilai C yang membuatnya berubah.
• Garis menyinggung tepat saat D = 0: gambar menunjukkan satu titik temu. Garis singgung selalu tegak lurus jari-jari.
• Dua lingkaran bersinggungan ketika jarak pusat sama dengan jumlah atau selisih jari-jari. Amati titik pergantian status saat d digeser perlahan.

Simulator Persamaan Lingkaran
Dirancang oleh Urip.info

Soal Latihan (5 soal)

1. Lingkaran berpusat di P(2, −3) dengan jari-jari 4. Tentukan persamaannya. (Tab 1)
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. (Tab 2)
3. Diketahui lingkaran x² + y² = 25. (a) Tentukan kedudukan titik (3,3), (4,−3), dan (5,2). (b) Bagaimana kedudukan garis y = 5? (Tab 3 dan 4)
4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang bergradien 3/4. (Tab 5)
5. Dua lingkaran berjari-jari 3 dan 2. Berapa jarak pusat agar bersinggungan luar? Bersinggungan dalam? Berapa rentang d agar berpotongan? (Tab 6)

Kunci Jawaban

2. Pusat (3, −2), r² = 9 + 4 + 12 = 25 sehingga r = 5.
3. (a) (3,3): 18 − 25 < 0, di dalam. (4,−3): 25 − 25 = 0, pada lingkaran. (5,2): 29 − 25 > 0, di luar. (b) D/4 = 25(1) − 5² = 0, garis menyinggung.
4. k = 5√(1 + 9/16) = 25/4, sehingga
5. Bersinggungan luar d = 5, dalam d = 1, berpotongan jika 1 < d < 5.

Klik di sini untuk melihat daftar semua simulasi matematika SMA
atau ketik s.id/simatama di browser.