Pada banyak soal laju reaksi, penentuan orde reaksi dilakukan dengan cara memilih pasangan percobaan di mana salah satu konsentrasi pereaksi dibuat tetap, sehingga pengaruh satu pereaksi dapat diisolasi. Cara ini praktis, tetapi hanya berlaku jika data percobaan memang dirancang demikian.
Ketika semua konsentrasi berubah pada setiap percobaan, cara tersebut tidak dapat digunakan. Artikel ini menurunkan rumus umum yang berlaku untuk semua kondisi, termasuk kasus di atas sebagai kasus khusus. Rumus ini juga digunakan dalam konstruksi kalkulator laju reaksi di weblog ini.
1. Titik Awal: Persamaan Laju Reaksi
Untuk reaksi dengan dua pereaksi:
\[ v = k[A]^m[B]^n \]
dengan \(m\) dan \(n\) adalah orde reaksi yang ingin ditentukan, dan \(k\) adalah konstanta laju yang nilainya sama di semua percobaan (pada suhu yang sama).
2. Linearisasi dengan Logaritma
Karena \(v = k[A]^m[B]^n\), maka:
\[ \log v = \log k + m\log[A] + n\log[B] \]
Persamaan ini kini linear terhadap \(m\) dan \(n\).
| Perc. | [A] (mol/L) |
[B] (mol/L) |
v (mol L-1 s-1) |
|---|---|---|---|
| 1 | [A]1 | [B]1 | v1 |
| 2 | [A]2 | [B]2 | v2 |
| 3 | [A]3 | [B]3 | v3 |
Dengan tiga data percobaan, diperoleh tiga persamaan:
\[ \log v_1 = \log k + m\log[A]_1 + n\log[B]_1 \quad \cdots (1)\]
\[ \log v_2 = \log k + m\log[A]_2 + n\log[B]_2 \quad \cdots (2)\]
\[ \log v_3 = \log k + m\log[A]_3 + n\log[B]_3 \quad \cdots (3)\]
Kurangkan persamaan (1) dari (2) untuk menghilangkan \(\log k\):
\[ \log v_2 - \log v_1 = m(\log[A]_2 - \log[A]_1) + n(\log[B]_2 - \log[B]_1) \]
Gunakan sifat logaritma \(\log a - \log b = \log(a/b)\):
\[ \log\frac{v_2}{v_1} = m\log\frac{[A]_2}{[A]_1} + n\log\frac{[B]_2}{[B]_1} \quad \cdots (I) \]
Lakukan hal yang sama: kurangkan persamaan (1) dari (3):
\[ \log\frac{v_3}{v_1} = m\log\frac{[A]_3}{[A]_1} + n\log\frac{[B]_3}{[B]_1} \quad \cdots (II) \]
Konstanta \(k\) telah hilang. Tersisa dua persamaan dengan dua bilangan yang tak diketahui, yaitu \(m\) dan \(n\).
3. Sistem Persamaan Linier dalam m dan n
Untuk menyederhanakan penulisan, definisikan notasi berikut:
\[ P = \log\frac{v_2}{v_1}, \quad Q = \log\frac{v_3}{v_1} \] \[ \alpha = \log\frac{[A]_2}{[A]_1}, \quad \beta = \log\frac{[A]_3}{[A]_1} \] \[ \gamma = \log\frac{[B]_2}{[B]_1}, \quad \delta = \log\frac{[B]_3}{[B]_1} \]
Sistem persamaan (I) dan (II) menjadi:
\[ \alpha\, m + \gamma\, n = P \quad \cdots (I) \] \[ \beta\, m + \delta\, n = Q \quad \cdots (II) \]
atau dalam bentuk matriks:
\[ \begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P \\ Q \end{pmatrix} \]
4. Penyelesaian dengan Aturan Cramer
Untuk sistem persamaan \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) berukuran 2×2:
\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \]
Aturan Cramer menyatakan bahwa solusinya adalah:
\[ x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}, \quad x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} \]
di mana \(\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\), dan \(A_1\), \(A_2\) adalah matriks \(A\) dengan kolom pertama dan kedua diganti oleh \(\mathbf{b}\) secara bergantian:
\[ \det(A_1) = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1 a_{22} - a_{12} b_2 \] \[ \det(A_2) = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11} b_2 - b_1 a_{21} \]
Determinan matriks koefisien:
\[ D = \det\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix} = \alpha\delta - \gamma\beta \]
Determinan untuk \(m\) (kolom pertama diganti oleh \(\mathbf{b}\)):
\[ D_m = \det\begin{pmatrix} P & \gamma \\ Q & \delta \end{pmatrix} = P\delta - \gamma Q \]
Determinan untuk \(n\) (kolom kedua diganti oleh \(\mathbf{b}\)):
\[ D_n = \det\begin{pmatrix} \alpha & P \\ \beta & Q \end{pmatrix} = \alpha Q - P\beta \]
Sehingga:
\[ m = \frac{D_m}{D} = \frac{P\delta - \gamma Q}{\alpha\delta - \gamma\beta} \] \[ n = \frac{D_n}{D} = \frac{\alpha Q - P\beta}{\alpha\delta - \gamma\beta} \]
5. Rumus Lengkap (Substitusi Kembali Notasi Asli)
Substitusikan kembali definisi \(P, Q, \alpha, \beta, \gamma, \delta\):
\[ m = \frac{ \log\dfrac{v_2}{v_1} \cdot \log\dfrac{[B]_3}{[B]_1} - \log\dfrac{v_3}{v_1} \cdot \log\dfrac{[B]_2}{[B]_1} }{ \log\dfrac{[A]_2}{[A]_1} \cdot \log\dfrac{[B]_3}{[B]_1} - \log\dfrac{[A]_3}{[A]_1} \cdot \log\dfrac{[B]_2}{[B]_1} } \]
\[ n = \frac{ \log\dfrac{[A]_2}{[A]_1} \cdot \log\dfrac{v_3}{v_1} - \log\dfrac{[A]_3}{[A]_1} \cdot \log\dfrac{v_2}{v_1} }{ \log\dfrac{[A]_2}{[A]_1} \cdot \log\dfrac{[B]_3}{[B]_1} - \log\dfrac{[A]_3}{[A]_1} \cdot \log\dfrac{[B]_2}{[B]_1} } \]
6. Rumus Khusus sebagai Kasus Istimewa
Rumus umum di atas mencakup semua kondisi data. Bila data percobaan dirancang khusus sehingga antara percobaan 1 dan 2 konsentrasi [B] tidak berubah (\([B]_2 = [B]_1\)), maka:
\[ \log\frac{[B]_2}{[B]_1} = \log 1 = 0 \]
Substitusikan ke rumus \(m\), suku yang mengandung nol gugur:
\[ m = \frac{ \log\dfrac{v_2}{v_1} \cdot \log\dfrac{[B]_3}{[B]_1} - \log\dfrac{v_3}{v_1} \cdot 0 }{ \log\dfrac{[A]_2}{[A]_1} \cdot \log\dfrac{[B]_3}{[B]_1} - \log\dfrac{[A]_3}{[A]_1} \cdot 0 } = \frac{\log\dfrac{v_2}{v_1}}{\log\dfrac{[A]_2}{[A]_1}} \]
Dengan cara serupa, bila antara percobaan 1 dan 3 konsentrasi [A] tidak berubah, rumus \(n\) menyederhanakan menjadi:
\[ n = \frac{\log\dfrac{v_3}{v_1}}{\log\dfrac{[B]_3}{[B]_1}} \]
Contoh 1 — Konsentrasi salah satu pereaksi ada yang tetap
| Perc. | [A] (mol/L) | [B] (mol/L) | v (mol L−1 s−1) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,10 | 0,20 | 4,0 × 10−3 |
| 2 | 0,20 | 0,20 | 8,0 × 10−3 |
| 3 | 0,20 | 0,40 | 3,2 × 10−2 |
Penyelesaian
Hitung nilai-nilai logaritma yang diperlukan:
\[ \log\frac{v_2}{v_1} = \log\frac{4{,}0\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{-3}} = \log 2 = 0{,}3010 \] \[ \log\frac{v_3}{v_1} = \log\frac{1{,}6\times10^{-2}}{2{,}0\times10^{-3}} = \log 8 = 0{,}9031 \] \[ \log\frac{[A]_2}{[A]_1} = \log\frac{0{,}20}{0{,}10} = \log 2 = 0{,}3010 \] \[ \log\frac{[A]_3}{[A]_1} = \log\frac{0{,}20}{0{,}10} = \log 2 = 0{,}3010 \] \[ \log\frac{[B]_2}{[B]_1} = \log\frac{0{,}20}{0{,}20} = \log 1 = 0 \] \[ \log\frac{[B]_3}{[B]_1} = \log\frac{0{,}40}{0{,}20} = \log 2 = 0{,}3010 \]
Hitung penyebut \(D\):
\[ D = (0{,}3010)(0{,}3010) - (0)(0{,}3010) = 0{,}09060 - 0 = 0{,}09060 \]Hitung \(m\):
\[ m = \frac{(0{,}3010)(0{,}3010) - (0{,}9031)(0)}{0{,}09060} = \frac{0{,}09060}{0{,}09060} = 1 \]Hitung \(n\):
\[ n = \frac{(0{,}3010)(0{,}9031) - (0{,}3010)(0{,}3010)}{0{,}09060} = \frac{0{,}27183 - 0{,}09060}{0{,}09060} = \frac{0{,}18123}{0{,}09060} = 2 \]Orde total \(= m + n = 1 + 2 = \mathbf{3}\)
\(\begin{aligned} k &= \dfrac{v}{[A]^m[B]^n}\\& = \dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{(0{,}10)^1(0{,}20)^2} \text{ (dari perc. 1)}\\&= \dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{-3}} \\&= 1{,}00 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} k &= \dfrac{8{,}0\times10^{-3}}{(0{,}20)^1(0{,}20)^2} \text{ (dari perc. 2)}\\&= \dfrac{4{,}0\times10^{-3}}{8{,}0\times10^{-3}} \\&= 1{,}00 \end{aligned}\)
Ketiga percobaan menghasilkan nilai \(k\) yang identik, membuktikan bahwa hasil \(m\) dan \(n\) yang diperoleh secara matematis sempurna konsisten dengan seluruh data.
Contoh 2 — Semua Konsentrasi Berubah
| Perc. | [A] (mol/L) | [B] (mol/L) | v (mol L−1 s−1) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,10 | 0,20 | 2,0 × 10−3 |
| 2 | 0,20 | 0,30 | 8,0 × 10−3 |
| 3 | 0,30 | 0,10 | 6,0 × 10−3 |
Penyelesaian
Karena semua konsentrasi berubah di setiap percobaan, rumus khusus tidak dapat digunakan. Gunakan rumus umum Cramer.
Langkah 1 — Hitung semua nilai logaritma
\[ P = \log\frac{v_2}{v_1} = \log\frac{8{,}0\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{-3}} = \log 4 = 0{,}6021 \] \[ Q = \log\frac{v_3}{v_1} = \log\frac{6{,}0\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{-3}} = \log 3 = 0{,}4771 \] \[ \alpha = \log\frac{[A]_2}{[A]_1} = \log\frac{0{,}20}{0{,}10} = \log 2 = 0{,}3010 \] \[ \beta = \log\frac{[A]_3}{[A]_1} = \log\frac{0{,}30}{0{,}10} = \log 3 = 0{,}4771 \] \[ \gamma = \log\frac{[B]_2}{[B]_1} = \log\frac{0{,}30}{0{,}20} = \log 1{,}5 = 0{,}1761 \] \[ \delta = \log\frac{[B]_3}{[B]_1} = \log\frac{0{,}10}{0{,}20} = \log 0{,}5 = -0{,}3010 \]
Langkah 2 — Hitung penyebut \(D\)
\[ \begin{aligned} D &= \alpha\delta - \gamma\beta\\ &= (0{,}3010)(-0{,}3010) - (0{,}1761)(0{,}4771)\\ &= -0{,}09060 - 0{,}08402 \\ &= -0{,}17462 \end{aligned} \]
Langkah 3 — Hitung \(m\)
\[ \begin{aligned} D_m &= P\delta - \gamma Q\\ &= (0{,}6021)(-0{,}3010) - (0{,}1761)(0{,}4771)\\ &= -0{,}18123 - 0{,}08402 \\ &= -0{,}26525\\ \\ m &= \frac{D_m}{D}\\ &= \frac{-0{,}26525}{-0{,}17462}\\ &\approx 1{,}52 \end{aligned} \]
Langkah 4 — Hitung \(n\)
\[ \begin{aligned} D_n &= \alpha Q - P\beta\\ &= ({,}3010)(0{,}4771) - (0{,}6021)(0{,}4771)\\ &= 0{,}14361 - 0{,}28726 = -0{,}14365\\ \\ n &= \frac{D_n}{D}\\ &= \frac{-0{,}14365}{-0{,}17462}\\ &\approx 0{,}82 \end{aligned} \]
Langkah 5 — Orde total
\[ m + n \approx 1{,}52 + 0{,}82 = 2{,}34 \]
\[ k_1 = \frac{2{,}0\times10^{-3}}{(0{,}10)^{1{,}52}(0{,}20)^{0{,}82}} \approx 0{,}248 \] \[ k_2 = \frac{8{,}0\times10^{-3}}{(0{,}20)^{1{,}52}(0{,}30)^{0{,}82}} \approx 0{,}248 \] \[ k_3 = \frac{6{,}0\times10^{-3}}{(0{,}30)^{1{,}52}(0{,}10)^{0{,}82}} \approx 0{,}248 \]
Ketiga percobaan menghasilkan nilai \(k\) yang identik, membuktikan bahwa hasil \(m\) dan \(n\) yang diperoleh secara matematis sempurna konsisten dengan seluruh data.
Ringkasan Alur Penurunan
Secara ringkas, penurunan rumus ini mengikuti alur berikut:
- Ambil logaritma persamaan laju → bentuk linear
- Tulis untuk tiga percobaan → tiga persamaan
- Kurangkan percobaan 1 dari 2, dan 1 dari 3 → eliminasi \(\log k\), sisa dua persamaan
- Susun sebagai sistem persamaan linier 2×2 dalam \(m\) dan \(n\)
- Terapkan Aturan Cramer → rumus eksplisit untuk \(m\) dan \(n\)
- Rumus khusus (satu konsentrasi tetap) adalah kasus istimewa ketika salah satu log konsentrasi bernilai nol
Tidak ada komentar:
Posting Komentar