Delapan Metode untuk Penyelesaian Soal Waktu Paruh Reaksi Orde Satu

Berikut ini soal OSN Kab/Kota tahun 2025 yang di beberapa kalagan bisa menimbulkan ketidaksamaan hasil hitung akhir. Dengan mengapai pola tiap metode siapapun akan bisa memilih alternatif yang dianggap terbaik.

Laju reaksi berikut diketahui hanya bergantung pada NO₂ dan merupakan reaksi orde 1.

NO₂(g) + CO(g) → NO(g) + CO₂(g)

Data eksperimen adalah sebagai berikut.

Waktu (s)	[NO2] (mol.L-1)
0	0,500
1000	0,435
2000	0,379

Waktu paruh t_½ reaksi tersebut adalah ....

1. 4987 detik
2. 5000 detik
3. 5400 detik
4. 6635 detik
5. 9000 detik

---

Sebelum menerapkan data ke masing-masing metode lebih dahulu dihitung nilai ln[NO₂]

Waktu (s)	[NO2] (mol L-1)	ln[NO2]
0	0,500	−0,6931
1000	0,435	−0,8337
2000	0,379	−0,9698

*Nilai ln[NO₂] dihitung: ln(0,500)=−0,6931; ln(0,435)=−0,8337; ln(0,379)=−0,9698

1

Persamaan Laju Terintegrasi (Langsung)

Untuk reaksi orde 1, persamaan terintegrasi adalah:

\[\begin{aligned} \ln[\text{A}]_t &= \ln[\text{A}]_0 - kt \end{aligned}\]

Gunakan data t = 0 dan t = 1000 s:

\[\begin{aligned} \ln(0{,}435) &= \ln(0{,}500) - k \times 1000 \\ -0{,}8337 &= -0{,}6931 - 1000k \\ k &= \dfrac{-0{,}6931 + 0{,}8337}{1000} \\ k &= 1{,}406 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

---

Verifikasi dengan interval t = 0 → 2000 s:

\[\begin{aligned} k &= \dfrac{\ln(0{,}500) - \ln(0{,}379)}{2000} \\ &= \dfrac{-0{,}6931 - (-0{,}9698)}{2000} \\ &= \dfrac{0{,}2767}{2000} = 1{,}384 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

Rata-rata: \(k \approx 1{,}39 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}\)

---

Hitung waktu paruh:

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{0{,}6931}{1{,}39 \times 10^{-4}} \\ &\approx 4988\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 4988 s ≈ 5000 s

2

Rasio Konsentrasi + Logaritma

Bentuk setara persamaan orde 1 menggunakan rasio:

\[\begin{aligned} \ln\dfrac{[\text{A}]_0}{[\text{A}]_t} &= kt \end{aligned}\]

Dari t = 0 ke t = 1000 s:

\[\begin{aligned} k &= \dfrac{1}{1000}\ln\dfrac{0{,}500}{0{,}435} \\ &= \dfrac{\ln(1{,}1494)}{1000} \\ &= \dfrac{0{,}13926}{1000} = 1{,}393 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

Dari t = 1000 ke t = 2000 s:

\[\begin{aligned} k &= \dfrac{1}{1000}\ln\dfrac{0{,}435}{0{,}379} \\ &= \dfrac{\ln(1{,}1477)}{1000} = 1{,}376 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

Rata-rata \(k = \dfrac{1{,}393 + 1{,}376}{2} \times 10^{-4} = 1{,}385 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}\)

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{0{,}6931}{1{,}385 \times 10^{-4}} \approx 5004\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 5004 s ≈ 5000 s

3

Regresi Linier ln[A] vs t

Plot ln[NO₂] terhadap waktu menghasilkan garis lurus dengan kemiringan \(-k\):

\[\begin{aligned} \ln[\text{A}]_t &= \underbrace{-k}_{\text{slope}} \cdot t + \ln[\text{A}]_0 \end{aligned}\]

Hitung kemiringan menggunakan titik paling jauh agar akurasi maksimum:

\[\begin{aligned} \text{slope} &= \dfrac{\Delta\ln[\text{A}]}{\Delta t} \\ &= \dfrac{(-0{,}9698) - (-0{,}6931)}{2000 - 0} \\ &= \dfrac{-0{,}2767}{2000} \\ &= -1{,}384 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

Sehingga \(k = 1{,}384 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}\)

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{0{,}6931}{1{,}384 \times 10^{-4}} \approx 5008\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 5008 s ≈ 5000 s

Metode ini menggunakan seluruh data sekaligus, paling akurat di antara metode berbasis dua titik.

4

Regresi Kuadrat Terkecil (Least Squares)

Regresi linier sejati \(y = a + bx\) dengan \(y = \ln[\text{NO}_2]\), \(x = t\). Slope \(b\) dihitung melalui rumus least squares yang melibatkan semua titik data:

\[\begin{aligned} b &= \dfrac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2} \end{aligned}\]

Hitung setiap komponen \((n = 3)\):

\[\begin{aligned} \sum x &= 0 + 1000 + 2000 = 3000 \\ \sum y &= -0{,}6931 + (-0{,}8338) + (-0{,}9700) = -2{,}4969 \\ \sum x^2 &= 0^2 + 1000^2 + 2000^2 = 5{.}000{.}000 \\ \sum xy &= (0)(-0{,}6931) + (1000)(-0{,}8338) + (2000)(-0{,}9700) \\ &= 0 - 833{,}8 - 1940{,}0 = -2773{,}8 \end{aligned}\]

Substitusi ke rumus slope:

\[\begin{aligned} b &= \dfrac{3(-2773{,}8) - (3000)(-2{,}4969)}{3(5{.}000{.}000) - (3000)^2} \\ &= \dfrac{-8321{,}4 + 7490{,}7}{15{.}000{.}000 - 9{.}000{.}000} \\ &= \dfrac{-830{,}7}{6{.}000{.}000} \\ &= -1{,}3845 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

Karena slope \(= -k\), maka \(k = 1{,}3845 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}\)

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{0{,}6931}{1{,}3845 \times 10^{-4}} \approx 5006\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 5006 s ≈ 5000 s

Berbeda dengan Metode 3 yang hanya memakai dua titik ekstrem, least squares memperhitungkan kontribusi semua titik secara proporsional, lebih andal bila data mengandung noise.

5

Substitusi Langsung per Interval

Hitung k dari setiap interval secara terpisah, langsung substitusi ke rumus t½, tanpa perlu mencari rata-rata terlebih dahulu:

Interval I (t = 0 → 1000 s):

\[\begin{aligned} k_1 &= \dfrac{\ln(0{,}500/0{,}435)}{1000} = 1{,}393 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \\ t_{1/2}^{(1)} &= \dfrac{\ln 2}{k_1} = \dfrac{0{,}6931}{1{,}393 \times 10^{-4}} = 4975\ \text{s} \end{aligned}\]

Interval II (t = 1000 → 2000 s):

\[\begin{aligned} k_2 &= \dfrac{\ln(0{,}435/0{,}379)}{1000} = 1{,}376 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \\ t_{1/2}^{(2)} &= \dfrac{\ln 2}{k_2} = \dfrac{0{,}6931}{1{,}376 \times 10^{-4}} = 5036\ \text{s} \end{aligned}\]

---

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{4975 + 5036}{2} \approx 5006\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 4975–5036 s ≈ 5000 s

Selisih kecil antara dua interval mengonfirmasi data konsisten dengan orde 1.

6

Rasio Fungsi Eksponensial

Dari persamaan \([\text{A}]_t = [\text{A}]_0\,e^{-kt}\), bagi dua persamaan untuk mengeliminasi \([\text{A}]_0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{[\text{A}]_{t_1}}{[\text{A}]_{t_2}} &= \dfrac{[\text{A}]_0\,e^{-kt_1}}{[\text{A}]_0\,e^{-kt_2}} = e^{k(t_2-t_1)} \end{aligned}\]

Substitusi data t₁ = 1000 s dan t₂ = 2000 s:

\[\begin{aligned} \dfrac{0{,}435}{0{,}379} &= e^{k \times 1000} \\ 1{,}1477 &= e^{1000k} \\ k &= \dfrac{\ln(1{,}1477)}{1000} \\ &= \dfrac{0{,}13762}{1000} = 1{,}376 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{0{,}6931}{1{,}376 \times 10^{-4}} \approx 5037\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 5037 s ≈ 5000 s

Kelebihan: tidak memerlukan nilai [A]₀, cukup dua konsentrasi di sembarang dua waktu.

7

Interpolasi — Cari t saat [A] = ½[A]₀

Secara definisi, \(t_{1/2}\) adalah waktu ketika \([\text{NO}_2] = \dfrac{0{,}500}{2} = 0{,}250\ \text{mol\,L}^{-1}\). Gunakan persamaan eksponensial dengan k yang diketahui:

\[\begin{aligned} 0{,}250 &= 0{,}500\cdot e^{-k\,t_{1/2}} \\ \dfrac{0{,}250}{0{,}500} &= e^{-k\,t_{1/2}} \\ 0{,}5 &= e^{-k\,t_{1/2}} \\ \ln(0{,}5) &= -k\,t_{1/2} \\ t_{1/2} &= \dfrac{-\ln(0{,}5)}{k} = \dfrac{\ln 2}{k} \end{aligned}\]

Dengan \(k = 1{,}3845 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}\) (dari Metode 4):

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{0{,}6931}{1{,}3845 \times 10^{-4}} \approx 5006\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 5006 s ≈ 5000 s

Metode paling intuitif secara konseptual, langsung dari definisi waktu paruh tanpa rumus hafalan.

8

Perbandingan Interval Waktu Sama (Uji Orde 1)

Untuk orde 1, rasio \([\text{A}]_{t+\Delta t}/[\text{A}]_t\) konstan untuk \(\Delta t\) yang sama. Hitung rasio tiap 1000 s:

Interval	[A]ₐᵥₐₗ	[A]ₐₖₕᵢᵣ	Rasio
0→1000 s	0,500	0,435	0,870
1000→2000 s	0,435	0,379	0,871

Rasio sangat konstan → reaksi terbukti orde 1. Rasio ini sama dengan \(e^{-k\Delta t}\):

\[\begin{aligned} e^{-k\times 1000} &= 0{,}8705 \quad (\text{rata-rata}) \\ -1000k &= \ln(0{,}8705) = -0{,}1385 \\ k &= 1{,}385 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}\]

Atau langsung dari rasio tanpa menghitung k secara eksplisit:

\[\begin{aligned} t_{1/2} &= \dfrac{\Delta t \cdot \ln 2}{\ln(1/\text{rasio})} \\ &= \dfrac{1000 \times 0{,}6931}{\ln(1/0{,}8705)} \\ &= \dfrac{693{,}1}{0{,}1385} \approx 5004\ \text{s} \end{aligned}\]

t½ ≈ 5004 s ≈ 5000 s

Istimewa: satu langkah sekaligus memverifikasi orde reaksi dan menghitung t½.

Ringkasan Hasil Semua Metode

#	Metode	k (s⁻¹)	t½ (s)
1	Persamaan terintegrasi	1,39×10⁻⁴	≈ 4988
2	Rasio konsentrasi + ln	1,385×10⁻⁴	≈ 5004
3	Regresi linier (2 titik)	1,384×10⁻⁴	≈ 5008
4	Least squares (semua titik)	1,3845×10⁻⁴	≈ 5006
5	Substitusi tiap interval	1,384×10⁻⁴	4975–5036
6	Rasio eksponensial	1,376×10⁻⁴	≈ 5037
7	Interpolasi [A]=½[A]₀	1,3845×10⁻⁴	≈ 5006
8	Perbandingan interval	1,385×10⁻⁴	≈ 5004

Jawaban
t½ ≈ 5000 s
Ketujuh metode konvergen pada nilai yang sama

Kinetika Kimia · Reaksi Orde 1 · NO₂(g) + CO(g) → NO(g) + CO₂(g)