Pembahasan 25 Soal Teorema Pythagoras (Matematika SMP)

Berikut 25 soal dan pembahasannya pokok bahasan Teorema Pythagoras matematika SMP. Soal-soal ini memerlukan berpikir sedikit lebih tinggi dari biasanya dengan memanfaat teori yang sudah dipelajari di kelas sebelumnya, seperti bangun ruang sisi datar, dan segitiga.

Keterangan gambar: garis putus-putus biru adalah rusuk yang tersembunyi atau garis bantu. Garis merah adalah unsur yang ditanyakan. Garis hijau adalah unsur pendukung lain. Tanda kotak kecil menunjukkan sudut siku-siku.

1 Sisi Tegak dan Sisi Miring

Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi tegak \(a\) dan \(b\), serta panjang sisi miring \(13\). Jika diketahui \(a + b = 17\), tentukan luas segitiga tersebut.

Lihat Penyelesaian

Gunakan teorema Pythagoras terlebih dahulu, lalu kuadratkan bentuk \(a+b\).

\[ \begin{aligned} a^{2}+b^{2} &= 13^{2} = 169 \\[2pt] (a+b)^{2} &= 17^{2} = 289 \\[2pt] a^{2}+2ab+b^{2} &= 289 \\[2pt] 169+2ab &= 289 \\[2pt] 2ab &= 120 \\[2pt] ab &= 60 \\[2pt] L &= \tfrac{1}{2}\,ab \\[2pt] L &= \tfrac{1}{2}\cdot 60 = 30 \end{aligned} \]

Luas segitiga \(= 30\) satuan luas. (Sisi tegaknya \(5\) dan \(12\).)

2 Garis Tinggi pada Sisi Miring

Diketahui segitiga \(ABC\) siku-siku di \(C\) dengan \(AC = 8\) dan \(BC = 6\). Titik \(D\) terletak pada \(AB\) sehingga \(CD \perp AB\). Tentukan panjang \(CD\).

Lihat Penyelesaian

Hitung \(AB\) dengan Pythagoras, lalu bandingkan dua cara menghitung luas segitiga \(ABC\).

\[ \begin{aligned} AB^{2} &= AC^{2}+BC^{2} = 8^{2}+6^{2} = 100 \\[2pt] AB &= 10 \\[2pt] L &= \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BC = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6 = 24 \\[2pt] L &= \tfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CD \\[2pt] 24 &= \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot CD \\[2pt] 24 &= 5\,CD \\[2pt] CD &= 4{,}8 \end{aligned} \]

Panjang \(CD = 4{,}8\) satuan.

3 Titik di Dalam Persegi Panjang

Titik \(P\) berada di dalam persegi panjang \(ABCD\). Diketahui \(PA = 3\), \(PB = 4\), dan \(PC = 5\). Tentukan panjang \(PD\).

Lihat Penyelesaian

Letakkan \(A(0,0)\), \(B(w,0)\), \(C(w,h)\), \(D(0,h)\), dan \(P(x,y)\). Nyatakan setiap jarak dengan Pythagoras, lalu jumlahkan secara berpasangan.

\[ \begin{aligned} PA^{2}+PC^{2} &= \big[x^{2}+y^{2}\big]+\big[(w-x)^{2}+(h-y)^{2}\big] \\[2pt] PB^{2}+PD^{2} &= \big[(w-x)^{2}+y^{2}\big]+\big[x^{2}+(h-y)^{2}\big] \end{aligned} \]

Kedua jumlah memuat suku-suku yang sama, sehingga \(PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}\). Dengan demikian:

\[ \begin{aligned} PA^{2}+PC^{2} &= PB^{2}+PD^{2} \\[2pt] 9+25 &= 16+PD^{2} \\[2pt] 34 &= 16+PD^{2} \\[2pt] PD^{2} &= 18 \\[2pt] PD &= 3\sqrt{2} \end{aligned} \]

Panjang \(PD = 3\sqrt{2}\) satuan.

4 Segitiga 13 – 14 – 15

Segitiga \(ABC\) memiliki panjang sisi \(AB=13\), \(BC=14\), dan \(AC=15\). Titik \(H\) terletak pada \(BC\) sehingga \(AH \perp BC\). Tentukan luas segitiga \(ABC\) dan panjang \(AH\).

Lihat Penyelesaian

Misalkan \(BH = x\) dan \(AH = h\). Terapkan Pythagoras pada kedua segitiga siku-siku \(ABH\) dan \(ACH\), lalu kurangkan.

\[ \begin{aligned} x^{2}+h^{2} &= 13^{2} = 169 \\[2pt] (14-x)^{2}+h^{2} &= 15^{2} = 225 \\[2pt] (14-x)^{2}-x^{2} &= 225-169 \\[2pt] 196-28x &= 56 \\[2pt] 28x &= 140 \\[2pt] x &= 5 \\[2pt] h^{2} &= 169-5^{2} = 144 \\[2pt] h &= 12 \\[2pt] L &= \tfrac{1}{2}\cdot 14\cdot 12 \\[2pt] L &= 84 \end{aligned} \]

Luas \(= 84\) satuan luas dan \(AH = 12\) satuan.

5 Dua Garis Tinggi pada Segitiga Sama Kaki

Pada segitiga \(ABC\), diketahui \(AB = AC = 13\) dan \(BC = 10\). Titik \(D\) adalah titik tengah \(BC\) dan titik \(E\) pada \(AB\) sehingga \(CE \perp AB\). Tentukan panjang \(CE\).

Lihat Penyelesaian

Karena \(AB = AC\), garis tinggi \(AD\) juga membagi \(BC\) menjadi dua bagian sama panjang. Hitung \(AD\), lalu gunakan dua cara menghitung luas segitiga \(ABC\).

\[ \begin{aligned} BD &= \tfrac{1}{2}\cdot BC = \tfrac{1}{2}\cdot 10 = 5 \\[2pt] AD^{2} &= AB^{2}-BD^{2} = 13^{2}-5^{2} \\[2pt] AD^{2} &= 169-25 = 144 \\[2pt] AD &= 12 \\[2pt] L &= \tfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AD = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12 \\[2pt] L &= 60 \\[2pt] L &= \tfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CE \\[2pt] 60 &= \tfrac{1}{2}\cdot 13\cdot CE \\[2pt] 120 &= 13\,CE \\[2pt] CE &= \tfrac{120}{13} \end{aligned} \]

Panjang \(CE = \dfrac{120}{13}\) satuan.

6 Titik pada Diagonal Ruang Kubus

Kubus \(ABCD.EFGH\) memiliki panjang rusuk \(6\). Titik \(P\) terletak pada diagonal ruang \(AG\) sehingga \(AP:PG = 1:2\). Tentukan jarak titik \(P\) ke titik \(C\).

Lihat Penyelesaian

Letakkan kubus pada sistem koordinat dengan \(A(0,0,0)\), \(C(6,6,0)\), dan \(G(6,6,6)\). Karena \(AP:PG=1:2\), maka \(AP=\tfrac{1}{3}AG\), sehingga koordinat \(P\) sepertiga koordinat \(G\).

\[ \begin{aligned} P &= \tfrac{1}{3}(6,6,6) = (2,2,2) \\[2pt] PC^{2} &= (6-2)^{2}+(6-2)^{2}+(0-2)^{2} \\[2pt] &= 4^{2}+4^{2}+(-2)^{2} \\[2pt] &= 16+16+4 = 36 \\[2pt] PC &= 6 \end{aligned} \]

Jarak titik \(P\) ke titik \(C\) adalah \(6\) satuan.

7 Tinggi dan Volume Limas Persegi

Limas beraturan \(T.ABCD\) memiliki alas persegi dengan \(AB = 8\). Jika \(TA=TB=TC=TD=9\), tentukan tinggi limas dan volume limas tersebut.

Lihat Penyelesaian

Misalkan \(O\) adalah pusat alas. Karena alas persegi, \(O\) adalah titik tengah diagonal \(AC\). Hitung \(AO\), lalu gunakan segitiga siku-siku \(TOA\).

\[ \begin{aligned} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} = 8^{2}+8^{2} = 128 \\[2pt] AO &= \tfrac{1}{2}AC = \tfrac{1}{2}\sqrt{128} = 4\sqrt2 \\[2pt] TO^{2} &= TA^{2}-AO^{2} \\[2pt] &= 9^{2}-(4\sqrt2)^{2} \\[2pt] &= 81-32 = 49 \\[2pt] TO &= 7 \\[2pt] V &= \tfrac{1}{3}\cdot [ABCD]\cdot TO \\[2pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot 8^{2}\cdot 7 \\[2pt] &= \tfrac{448}{3} \end{aligned} \]

Tinggi limas \(=7\) satuan dan volume \(=\dfrac{448}{3}\) satuan volume.

8 Rusuk Tegak Tegak Lurus Alas

Diketahui limas \(T.ABC\) dengan \(TA \perp\) bidang \(ABC\). Panjang \(AB=AC=5\), \(BC=6\), dan \(TA=12\). Titik \(E\) adalah titik tengah \(BC\). Tentukan panjang \(TE\).

Lihat Penyelesaian

Karena \(AB=AC\) dan \(E\) titik tengah \(BC\), maka \(AE \perp BC\). Selanjutnya \(TA \perp\) bidang \(ABC\), sehingga \(TA \perp AE\).

\[ \begin{aligned} BE &= \tfrac{1}{2}BC = \tfrac{1}{2}\cdot 6 = 3 \\[2pt] AE^{2} &= AB^{2}-BE^{2} \\[2pt] &= 5^{2}-3^{2} = 25-9 = 16 \\[2pt] AE &= 4 \\[2pt] TE^{2} &= TA^{2}+AE^{2} \\[2pt] &= 12^{2}+4^{2} \\[2pt] &= 144+16 = 160 \\[2pt] TE &= 4\sqrt{10} \end{aligned} \]

Panjang \(TE = 4\sqrt{10}\) satuan.

9 Titik pada Rusuk Tegak Balok

Balok \(ABCD.EFGH\) memiliki \(AB=3\), \(BC=4\), dan \(AE=12\). Titik \(P\) terletak pada rusuk \(CG\) sehingga \(CP:PG=1:2\). Tentukan panjang \(AP\).

Lihat Penyelesaian

Karena \(CG\) tegak lurus bidang alas \(ABCD\), maka \(CP \perp AC\). Hitung \(CP\) dari perbandingan, lalu gunakan Pythagoras pada segitiga \(ACP\).

\[ \begin{aligned} CP &= \tfrac{1}{1+2}\cdot CG \\[2pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot 12 = 4 \\[2pt] AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\[2pt] &= 3^{2}+4^{2} = 9+16 = 25 \\[2pt] AP^{2} &= AC^{2}+CP^{2} \\[2pt] &= 25+4^{2} = 25+16 = 41 \\[2pt] AP &= \sqrt{41} \end{aligned} \]

Panjang \(AP = \sqrt{41}\) satuan.

10 Segitiga pada Bidang Tengah Kubus

Kubus \(ABCD.EFGH\) memiliki panjang rusuk \(6\). Titik \(P\), \(R\), dan \(Q\) berturut-turut adalah titik tengah rusuk \(AE\), \(BF\), dan \(CG\). Tentukan panjang \(PQ\) dan luas segitiga \(PQR\).

Lihat Penyelesaian

Titik \(P,R,Q\) terletak pada bidang yang sejajar dengan alas dan berada di tengah-tengah tinggi kubus. Akibatnya \(PR \parallel AB\) dan \(RQ \parallel BC\), dengan panjang masing-masing \(6\). Karena \(AB \perp BC\), maka \(PR \perp RQ\).

\[ \begin{aligned} PR &= AB = 6 \\[2pt] RQ &= BC = 6 \\[2pt] PQ^{2} &= PR^{2}+RQ^{2} \\[2pt] &= 6^{2}+6^{2} = 72 \\[2pt] PQ &= 6\sqrt2 \\[2pt] [PQR] &= \tfrac{1}{2}\cdot PR\cdot RQ \\[2pt] &= \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6 = 18 \end{aligned} \]

Panjang \(PQ=6\sqrt2\) satuan dan luas \(\triangle PQR=18\) satuan luas.

11 Jarak Dua Titik pada Balok

Balok \(ABCD.EFGH\) memiliki \(AB=8\), \(BC=6\), dan \(AE=5\). Titik \(P\) adalah titik tengah rusuk \(EF\) dan titik \(Q\) adalah titik tengah rusuk \(GH\). Tentukan panjang \(AP\) dan \(AQ\), kemudian tentukan mana yang lebih panjang.

Lihat Penyelesaian

Gunakan koordinat: \(A(0,0,0)\), \(B(8,0,0)\), \(D(0,6,0)\), \(E(0,0,5)\), \(F(8,0,5)\), \(G(8,6,5)\), \(H(0,6,5)\). Karena \(P\) titik tengah \(EF\), maka \(P(4,0,5)\). Karena \(Q\) titik tengah \(GH\), maka \(Q(4,6,5)\).

\[ \begin{aligned} AP^{2} &= (4-0)^{2}+(0-0)^{2}+(5-0)^{2} \\[2pt] &= 16+0+25 = 41 \\[2pt] AP &= \sqrt{41} \\[2pt] AQ^{2} &= (4-0)^{2}+(6-0)^{2}+(5-0)^{2} \\[2pt] &= 16+36+25 = 77 \\[2pt] AQ &= \sqrt{77} \end{aligned} \]

Panjang \(AP=\sqrt{41}\) satuan dan \(AQ=\sqrt{77}\) satuan, sehingga \(AQ\) lebih panjang.

12 Jarak Titik ke Bidang pada Kubus

Kubus \(ABCD.EFGH\) memiliki panjang rusuk \(4\). Tentukan jarak titik \(A\) ke bidang \(BDE\).

Lihat Penyelesaian

Tetrahedron \(ABDE\) memiliki rusuk \(AB\), \(AD\), \(AE\) yang saling tegak lurus di \(A\). Hitung volumenya, lalu hitung luas segitiga \(BDE\) yang ketiga sisinya adalah diagonal sisi kubus. Jarak \(A\) ke bidang \(BDE\) adalah tinggi \(t\) tetrahedron dengan alas \(BDE\).

\[ \begin{aligned} V_{ABDE} &= \tfrac{1}{6}\cdot AB\cdot AD\cdot AE = \tfrac{1}{6}\cdot 4\cdot 4\cdot 4 = \tfrac{32}{3} \\[2pt] BD &= DE = EB = 4\sqrt2 \\[2pt] [BDE] &= \tfrac{\sqrt3}{4}\cdot (4\sqrt2)^{2} = \tfrac{\sqrt3}{4}\cdot 32 = 8\sqrt3 \\[2pt] V_{ABDE} &= \tfrac{1}{3}\cdot [BDE]\cdot t \\[2pt] \tfrac{32}{3} &= \tfrac{1}{3}\cdot 8\sqrt3\cdot t \\[2pt] 32 &= 8\sqrt3\,t \\[2pt] t &= \tfrac{4}{\sqrt3} = \tfrac{4\sqrt3}{3} \end{aligned} \]

Jarak titik \(A\) ke bidang \(BDE\) adalah \(\dfrac{4\sqrt3}{3}\) satuan.

13 Prisma Segitiga Siku-Siku

Prisma tegak \(ABC.DEF\) memiliki alas segitiga siku-siku di \(B\) dengan \(AB=6\), \(BC=8\), dan tinggi prisma \(AD=10\). Tentukan panjang diagonal \(AE\) pada sisi \(ABED\) dan panjang ruas garis \(CD\).

Lihat Penyelesaian

Karena prisma tegak, \(AD\) dan \(BE\) tegak lurus bidang alas \(ABC\). Untuk \(AE\), gunakan segitiga \(ABE\) yang siku-siku di \(B\). Untuk \(CD\), hitung dahulu \(AC\) pada alas, lalu gunakan segitiga \(ACD\) yang siku-siku di \(A\).

\[ \begin{aligned} AE^{2} &= AB^{2}+BE^{2} = 6^{2}+10^{2} = 136 \\[2pt] AE &= 2\sqrt{34} \\[2pt] AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} = 6^{2}+8^{2} = 100 \\[2pt] AC &= 10 \\[2pt] CD^{2} &= AC^{2}+AD^{2} = 10^{2}+10^{2} = 200 \\[2pt] CD &= 10\sqrt{2} \end{aligned} \]

Panjang \(AE=2\sqrt{34}\) satuan dan \(CD=10\sqrt{2}\) satuan.

14 Limas dengan Rusuk Tegak Tidak Sama

Limas \(T.ABCD\) memiliki alas persegi \(ABCD\) dengan \(AB=6\). Rusuk \(TA\) tegak lurus bidang alas dan \(TA=8\). Tentukan panjang \(TC\) dan jarak titik \(A\) ke garis \(TC\).

Lihat Penyelesaian

Karena \(TA \perp\) bidang alas, maka \(TA \perp AC\). Segitiga \(TAC\) siku-siku di \(A\). Jarak \(A\) ke \(TC\) adalah garis tinggi dari \(A\) pada segitiga tersebut, yang dihitung dengan dua cara menghitung luas.

\[ \begin{aligned} AC^{2} &= 6^{2}+6^{2} = 72 \\[2pt] AC &= 6\sqrt2 \\[2pt] TC^{2} &= TA^{2}+AC^{2} = 64+72 = 136 \\[2pt] TC &= 2\sqrt{34} \\[2pt] [TAC] &= \tfrac{1}{2}\cdot TA\cdot AC = \tfrac{1}{2}\cdot TC\cdot AK \\[2pt] 8\cdot 6\sqrt2 &= 2\sqrt{34}\cdot AK \\[2pt] AK &= \tfrac{48\sqrt2}{2\sqrt{34}} = \tfrac{24\sqrt2}{\sqrt{34}} \\[2pt] &= \tfrac{24}{\sqrt{17}} = \tfrac{24\sqrt{17}}{17} \end{aligned} \]

Panjang \(TC = 2\sqrt{34}\) satuan dan jarak \(A\) ke \(TC\) adalah \(\dfrac{24\sqrt{17}}{17}\) satuan.

15 Tetrahedron dengan Rusuk Tegak Lurus

Diketahui tetrahedron \(OABC\) dengan \(OA\), \(OB\), dan \(OC\) saling tegak lurus di \(O\). Panjang \(OA=2\), \(OB=3\), dan \(OC=6\). Tentukan panjang \(AB\), \(AC\), \(BC\), serta jarak titik \(O\) ke bidang \(ABC\).

Lihat Penyelesaian

Semua segitiga yang memuat \(O\) siku-siku di \(O\). Hitung ketiga sisi dengan Pythagoras.

\[ \begin{aligned} AB^{2} &= OA^{2}+OB^{2} = 2^{2}+3^{2} = 13 \\[2pt] AB &= \sqrt{13} \\[2pt] AC^{2} &= OA^{2}+OC^{2} = 2^{2}+6^{2} = 40 \\[2pt] AC &= 2\sqrt{10} \\[2pt] BC^{2} &= OB^{2}+OC^{2} = 3^{2}+6^{2} = 45 \\[2pt] BC &= 3\sqrt{5} \end{aligned} \]

Untuk luas \(\triangle ABC\), tarik \(OM \perp BC\) dengan \(M\) pada \(BC\). Karena \(OA\) tegak lurus \(OB\) dan \(OC\), maka \(OA \perp BC\). Akibatnya \(BC\) tegak lurus bidang \(OAM\), sehingga \(AM \perp BC\) dan \(AM\) adalah garis tinggi \(\triangle ABC\).

\[ \begin{aligned} OM &= \tfrac{OB\cdot OC}{BC} = \tfrac{18}{3\sqrt5} = \tfrac{6}{\sqrt5} \\[2pt] AM^{2} &= OA^{2}+OM^{2} = 4+\tfrac{36}{5} = \tfrac{56}{5} \\[2pt] [ABC] &= \tfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AM = \tfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt5\cdot\sqrt{\tfrac{56}{5}} \\[2pt] &= \tfrac{3}{2}\sqrt{56} = 3\sqrt{14} \\[2pt] V &= \tfrac{1}{6}\cdot OA\cdot OB\cdot OC = \tfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 3\cdot 6 = 6 \\[2pt] V &= \tfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot OH \\[2pt] 6 &= \tfrac{1}{3}\cdot 3\sqrt{14}\cdot OH \\[2pt] OH &= \tfrac{6}{\sqrt{14}} = \tfrac{3\sqrt{14}}{7} \end{aligned} \]

\(AB=\sqrt{13}\), \(AC=2\sqrt{10}\), \(BC=3\sqrt{5}\), dan jarak \(O\) ke bidang \(ABC\) adalah \(\dfrac{3\sqrt{14}}{7}\) satuan \((\approx 1{,}60)\).

16 Jalur Terpendek pada Permukaan Balok

Balok \(ABCD.EFGH\) memiliki \(AB=3\), \(BC=4\), dan \(AE=12\). Seekor semut berjalan dari titik \(A\) ke titik \(G\) menyusuri permukaan balok. Tentukan jarak terpendek yang dapat ditempuh semut tersebut.

Lihat Penyelesaian

Jalur terpendek pada permukaan balok diperoleh dengan membentangkan dua sisi yang dilalui menjadi satu bidang datar (seperti pada gambar). Ada tiga kemungkinan pasangan sisi yang dibentangkan:

\[ \begin{aligned} d_{1} &= \sqrt{(AB+BC)^{2}+AE^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{(3+4)^{2}+12^{2}} = \sqrt{49+144} = \sqrt{193} \\[2pt] d_{2} &= \sqrt{(AB+AE)^{2}+BC^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{(3+12)^{2}+4^{2}} = \sqrt{225+16} = \sqrt{241} \\[2pt] d_{3} &= \sqrt{(BC+AE)^{2}+AB^{2}} \\[2pt] &= \sqrt{(4+12)^{2}+3^{2}} = \sqrt{256+9} = \sqrt{265} \end{aligned} \]

Dari ketiga kemungkinan, nilai terkecil adalah \(\sqrt{193}\).

Jarak terpendek \(= \sqrt{193}\) satuan \((\approx 13{,}89)\).

17 Limas dengan Alas Persegi Panjang

Limas \(T.ABCD\) memiliki alas persegi panjang dengan \(AB=8\) dan \(BC=6\). Diketahui \(TA=TB=TC=TD=13\). Tentukan tinggi limas, volume limas, dan jarak titik \(T\) ke rusuk \(AB\).

Lihat Penyelesaian

Karena \(TA=TB=TC=TD\), proyeksi \(T\) jatuh tepat di pusat persegi panjang \(ABCD\), yaitu titik \(O\). Hitung \(AO\) (setengah diagonal alas), lalu gunakan segitiga siku-siku \(TOA\).

\[ \begin{aligned} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} = 8^{2}+6^{2} = 100 \\[2pt] AC &= 10 \\[2pt] AO &= \tfrac{1}{2}AC = 5 \\[2pt] TO^{2} &= TA^{2}-AO^{2} = 13^{2}-5^{2} = 144 \\[2pt] TO &= 12 \\[2pt] V &= \tfrac{1}{3}\cdot [ABCD]\cdot TO \\[2pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot (8\cdot 6)\cdot 12 = 192 \end{aligned} \]

Jarak \(T\) ke \(AB\) dihitung melalui titik tengah \(M\) pada \(AB\). Karena \(O\) pusat alas, \(OM\) sejajar \(BC\), sehingga \(OM=\tfrac{1}{2}BC=3\).

\[ \begin{aligned} TM^{2} &= TO^{2}+OM^{2} \\[2pt] &= 12^{2}+3^{2} = 144+9 = 153 \\[2pt] TM &= 3\sqrt{17} \end{aligned} \]

Tinggi limas \(=12\), volume \(=192\) satuan volume, dan jarak \(T\) ke \(AB\) \(=3\sqrt{17}\) satuan.

18 Jarak Titik Tengah pada Kubus

Kubus \(ABCD.EFGH\) memiliki panjang rusuk \(6\). Titik \(P\) adalah titik tengah rusuk \(AB\) dan titik \(Q\) adalah titik tengah rusuk \(CG\). Tentukan panjang \(PQ\) dan panjang \(PH\).

Lihat Penyelesaian

Gunakan koordinat dengan \(A(0,0,0)\), \(B(6,0,0)\), \(C(6,6,0)\), \(D(0,6,0)\), \(E(0,0,6)\), \(F(6,0,6)\), \(G(6,6,6)\), \(H(0,6,6)\). Karena \(P\) titik tengah \(AB\) dan \(Q\) titik tengah \(CG\), maka \(P(3,0,0)\), \(Q(6,6,3)\), dan \(H(0,6,6)\).

\[ \begin{aligned} PQ^{2} &= (6-3)^{2}+(6-0)^{2}+(3-0)^{2} \\[2pt] &= 3^{2}+6^{2}+3^{2} = 9+36+9 = 54 \\[2pt] PQ &= \sqrt{54} = 3\sqrt6 \\[2pt] PH^{2} &= (0-3)^{2}+(6-0)^{2}+(6-0)^{2} \\[2pt] &= (-3)^{2}+6^{2}+6^{2} = 9+36+36 = 81 \\[2pt] PH &= 9 \end{aligned} \]

Panjang \(PQ = 3\sqrt6\) satuan dan \(PH = 9\) satuan.

19 Garis Tinggi dan Perbandingan Segmen

Pada segitiga \(ABC\) siku-siku di \(C\), ditarik garis tinggi \(CD\) ke sisi miring \(AB\). Diketahui \(AD:DB = 9:16\) dan \(CD = 12\). Tentukan panjang \(AB\), \(AC\), dan \(BC\).

Lihat Penyelesaian

Misalkan \(AD = 9k\) dan \(DB = 16k\). Gunakan hubungan pada segitiga siku-siku dengan garis tinggi: \(CD^{2} = AD \cdot DB\).

\[ \begin{aligned} CD^{2} &= AD\cdot DB \\[2pt] 12^{2} &= (9k)(16k) \\[2pt] 144 &= 144k^{2} \\[2pt] k^{2} &= 1 \\[2pt] k &= 1 \end{aligned} \]

Maka \(AD=9\), \(DB=16\), dan \(AB=AD+DB=25\).

Gunakan hubungan \(AC^{2}=AD\cdot AB\) dan \(BC^{2}=DB\cdot AB\):

\[ \begin{aligned} AC^{2} &= AD\cdot AB = 9\cdot 25 = 225 \\[2pt] AC &= 15 \\[2pt] BC^{2} &= DB\cdot AB = 16\cdot 25 = 400 \\[2pt] BC &= 20 \end{aligned} \]

Panjang \(AB=25\), \(AC=15\), dan \(BC=20\).

20 Limas dengan Alas Segitiga Siku-Siku

Limas \(T.ABC\) memiliki alas segitiga siku-siku di \(B\) dengan \(AB=6\) dan \(BC=8\). Diketahui \(TA=TB=TC=13\). Titik \(O\) adalah pusat lingkaran luar segitiga \(ABC\) (yaitu titik tengah \(AC\)). Tentukan tinggi limas \(TO\) dan volume limas.

Lihat Penyelesaian

Karena \(ABC\) siku-siku di \(B\), pusat lingkaran luarnya adalah titik tengah sisi miring \(AC\). Karena \(TA=TB=TC\), proyeksi \(T\) pada bidang \(ABC\) tepat di \(O\). Jadi \(TO\) tegak lurus bidang alas.

\[ \begin{aligned} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} = 6^{2}+8^{2} = 100 \\[2pt] AC &= 10 \\[2pt] AO &= \tfrac{1}{2}AC = 5 \\[2pt] TO^{2} &= TA^{2}-AO^{2} = 13^{2}-5^{2} = 144 \\[2pt] TO &= 12 \\[2pt] V &= \tfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot TO \\[2pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot \left(\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\right)\cdot 12 \\[2pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot 24\cdot 12 = 96 \end{aligned} \]

Tinggi limas \(TO=12\) satuan dan volume limas \(=96\) satuan volume.

21 Keliling dan Luas Menentukan Sisi

Sebuah segitiga siku-siku memiliki keliling \(60\) dan luas \(120\). Tentukan panjang ketiga sisinya.

Lihat Penyelesaian

Misalkan sisi tegak \(a\), \(b\) dan sisi miring \(c\). Gunakan tiga informasi: \(a+b+c=60\), \(\tfrac{1}{2}ab=120\), dan \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).

\[ \begin{aligned} a+b &= 60-c \\[2pt] ab &= 240 \\[2pt] (a+b)^{2} &= a^{2}+2ab+b^{2} \\[2pt] (60-c)^{2} &= c^{2}+480 \\[2pt] 3600-120c+c^{2} &= c^{2}+480 \\[2pt] 3600-120c &= 480 \\[2pt] 120c &= 3120 \\[2pt] c &= 26 \\[2pt] a+b &= 34 \\[2pt] a^{2}-34a+240 &= 0 \\[2pt] (a-10)(a-24) &= 0 \\[2pt] a &= 10 \text{ atau } a=24 \end{aligned} \]

Ketiga sisi segitiga adalah \(10\), \(24\), dan \(26\).

22 Titik Istimewa di Dalam Persegi

Persegi \(ABCD\) memiliki panjang sisi \(10\). Titik \(P\) berada di dalam persegi sehingga \(PA = PB\) dan \(\angle APB = 90^{\circ}\). Tentukan panjang \(PC\).

Lihat Penyelesaian

Karena \(PA=PB\) dan \(\angle APB=90^{\circ}\), maka \(\triangle APB\) adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan \(AB\) sebagai sisi miring. Tinggi segitiga ini dari \(P\) ke \(AB\) sama dengan setengah \(AB\), dan kakinya berada di tengah \(AB\).

\[ \begin{aligned} PA^{2}+PB^{2} &= AB^{2} \\[2pt] 2\,PA^{2} &= 100 \\[2pt] PA &= 5\sqrt2 \\[2pt] t &= \tfrac{1}{2}\,AB = 5 \end{aligned} \]

Letakkan koordinat \(A(0,0)\), \(B(10,0)\), \(C(10,10)\). Titik \(P\) berada \(5\) satuan di atas titik tengah \(AB\):

\[ \begin{aligned} P &= (5,\,5) \\[2pt] PC^{2} &= (10-5)^{2}+(10-5)^{2} \\[2pt] &= 25+25 = 50 \\[2pt] PC &= 5\sqrt2 \end{aligned} \]

Panjang \(PC = 5\sqrt2\) satuan.

23 Jarak Titik ke Garis Diagonal pada Kubus

Kubus \(ABCD.EFGH\) memiliki panjang rusuk \(6\). Titik \(M\) adalah titik tengah rusuk \(GH\). Tentukan jarak titik \(M\) ke garis \(AC\).

Lihat Penyelesaian

Misalkan \(M'\) adalah proyeksi \(M\) pada bidang alas, yaitu titik tengah \(CD\), dan \(N\) adalah kaki tegak lurus dari \(M'\) ke \(AC\). Menurut teorema tiga garis tegak lurus, \(MN \perp AC\), sehingga jarak yang dicari adalah \(MN\). Pada segitiga \(CM'N\), sudut di \(C\) adalah \(45^{\circ}\) karena \(AC\) diagonal persegi.

\[ \begin{aligned} MM' &= 6 \\[2pt] CM' &= \tfrac{1}{2}\cdot CD = 3 \\[2pt] M'N &= CM'\cdot \sin 45^{\circ} = 3\cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = \tfrac{3\sqrt2}{2} \\[2pt] MN^{2} &= MM'^{2}+M'N^{2} \\[2pt] &= 36+\tfrac{9}{2} = \tfrac{81}{2} \\[2pt] MN &= \tfrac{9}{\sqrt2} = \tfrac{9\sqrt2}{2} \end{aligned} \]

Jarak titik \(M\) ke garis \(AC\) adalah \(\dfrac{9\sqrt2}{2}\) satuan.

24 Cevian pada Segitiga Sama Kaki

Segitiga \(ABC\) memiliki \(AB=AC=10\) dan \(BC=16\). Titik \(D\) terletak pada \(BC\) sehingga \(BD=4\). Tentukan panjang \(AD\).

Lihat Penyelesaian

Tarik garis tinggi \(AM\) dari \(A\) ke \(BC\). Karena \(AB=AC\), maka \(M\) adalah titik tengah \(BC\). Selanjutnya terapkan Pythagoras dua kali: pada \(\triangle AMB\) dan pada \(\triangle AMD\).

\[ \begin{aligned} BM &= \tfrac{1}{2}\,BC = 8 \\[2pt] AM^{2} &= AB^{2}-BM^{2} \\[2pt] &= 10^{2}-8^{2} = 100-64 = 36 \\[2pt] AM &= 6 \\[2pt] DM &= BM-BD = 8-4 = 4 \\[2pt] AD^{2} &= AM^{2}+DM^{2} \\[2pt] &= 36+4^{2} = 36+16 = 52 \\[2pt] AD &= 2\sqrt{13} \end{aligned} \]

Panjang \(AD = 2\sqrt{13}\) satuan.

25 Limas Beraturan dan Jarak ke Rusuk Alas

Limas beraturan \(T.ABCD\) memiliki rusuk alas \(AB=6\) dan rusuk tegak \(TA=3\sqrt5\). Titik \(O\) adalah pusat alas dan \(M\) adalah titik tengah rusuk \(AB\). Tentukan tinggi limas \(TO\) dan jarak titik \(T\) ke rusuk \(AB\).

Lihat Penyelesaian

Karena limas beraturan, proyeksi \(T\) tepat di pusat alas \(O\). Hitung \(AO\) dari setengah diagonal persegi, lalu gunakan segitiga siku-siku \(TOA\). Untuk jarak \(T\) ke \(AB\), gunakan segitiga siku-siku \(TOM\).

\[ \begin{aligned} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} = 6^{2}+6^{2} = 72 \\[2pt] AC &= 6\sqrt2 \\[2pt] AO &= \tfrac{1}{2}\,AC = 3\sqrt2 \\[2pt] TO^{2} &= TA^{2}-AO^{2} \\[2pt] &= \left(3\sqrt5\right)^{2}-\left(3\sqrt2\right)^{2} \\[2pt] &= 45-18 = 27 \\[2pt] TO &= 3\sqrt3 \end{aligned} \]

Karena \(M\) titik tengah \(AB\), maka \(OM \parallel AD\) dan \(OM = \tfrac{1}{2}\,AD = 3\). Selanjutnya:

\[ \begin{aligned} TM^{2} &= TO^{2}+OM^{2} \\[2pt] &= 27+3^{2} = 27+9 = 36 \\[2pt] TM &= 6 \end{aligned} \]

Tinggi limas \(TO=3\sqrt3\) satuan dan jarak \(T\) ke rusuk \(AB\) adalah \(TM=6\) satuan.