Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari, misalnya saat menentukan batas belanja, kapasitas lift, kuota internet, atau ukuran bangun datar yang harus memenuhi syarat tertentu.
Tautan singkat pembahasan ini: s.id/ptlsv1
Kumpulan 20 soal pada halaman ini disusun bertahap dari tingkat mudah, sedang, hingga HOTS dengan konteks yang dekat dengan kehidupan siswa, sehingga kamu terlatih mengubah cerita menjadi model matematika, menyelesaikannya, lalu menafsirkan hasilnya sesuai konteks.
Cobalah mengerjakan setiap soal secara mandiri terlebih dahulu, kemudian buka pembahasan untuk mencocokkan langkah dan jawabanmu.
Perhatikan juga syarat tambahan pada soal, seperti ukuran harus bernilai positif atau nilai harus berupa bilangan bulat, karena syarat tersebut menentukan batas akhir penyelesaian.
Latihan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Setiap 5 soal: 1 mudah, 2 sedang, 2 HOTS. Klik "Lihat Pembahasan" setelah mencoba sendiri.
Dina membawa uang \(\text{Rp}25.000\) ke toko alat tulis. Ia ingin membeli 4 buku tulis yang harga tiap bukunya sama, yaitu \(x\) rupiah, dan sebuah penggaris seharga \(\text{Rp}3.000\). Jika uang yang dibelanjakan tidak melebihi uang yang dibawa, tentukan model matematikanya dan harga maksimal satu buku tulis!
Lihat Pembahasan
Langkah 1. Model matematika
Total belanja \(=4x+3.000\), tidak melebihi \(25.000\), sehingga:
\[4x+3.000\leq 25.000\]
Langkah 2. Selesaikan
\[\begin{aligned}4x+3.000&\leq 25.000\\4x&\leq 25.000-3.000\\4x&\leq 22.000\\x&\leq \frac{22.000}{4}\\x&\leq 5.500\end{aligned}\]
Harga tidak mungkin negatif, jadi \(0\lt x\leq 5.500\).
Pak Tono membuat kandang ayam berbentuk persegi panjang yang salah satu sisi panjangnya menempel pada dinding rumah, sehingga sisi itu tidak perlu dipagari. Lebar kandang \(x\) meter dan panjangnya \((3x-4)\) meter. Pagar bambu yang tersedia paling banyak \(51\) meter.
- Tuliskan model matematikanya.
- Tentukan batas nilai \(x\) yang mungkin.
- Jika \(x\) bilangan bulat, tentukan ukuran kandang terbesar yang dapat dibuat.
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
Pagar dipasang pada 2 sisi lebar dan 1 sisi panjang:
\[\begin{aligned}\text{Panjang pagar}&=x+x+(3x-4)\\&=5x-4\end{aligned}\]
Pagar paling banyak \(51\) m, maka model matematikanya \(5x-4\leq 51\).
b) Batas nilai \(x\)
\[\begin{aligned}5x-4&\leq 51\\5x&\leq 55\\x&\leq 11\end{aligned}\]
Panjang kandang harus positif:
\[\begin{aligned}3x-4&\gt 0\\3x&\gt 4\\x&\gt \frac{4}{3}\end{aligned}\]
Gabungan kedua syarat: \(\dfrac{4}{3}\lt x\leq 11\).
c) Ukuran terbesar untuk \(x\) bulat
Bilangan bulat terbesar yang memenuhi adalah \(x=11\).
\[\begin{aligned}\text{Lebar}&=x=11\text{ m}\\\text{Panjang}&=3x-4=3(11)-4=29\text{ m}\\\text{Cek pagar}&=5(11)-4=51\text{ m}\end{aligned}\]
Sebuah aplikasi ojek online menetapkan tarif \(\text{Rp}8.000\) untuk 2 km pertama, kemudian \(\text{Rp}3.000\) untuk setiap kilometer berikutnya. Rani hanya memiliki uang \(\text{Rp}29.000\) untuk ongkos dari sekolah ke rumah neneknya yang berjarak lebih dari 2 km. Misalkan jarak perjalanan \(x\) km. Tentukan model matematikanya dan jarak terjauh yang masih bisa ditempuh Rani!
Lihat Pembahasan
Langkah 1. Model matematika
Jarak setelah 2 km pertama adalah \((x-2)\) km, sehingga biaya perjalanan \(=8.000+3.000(x-2)\).
\[8.000+3.000(x-2)\leq 29.000\]
Langkah 2. Selesaikan
\[\begin{aligned}8.000+3.000(x-2)&\leq 29.000\\8.000+3.000x-6.000&\leq 29.000\\3.000x+2.000&\leq 29.000\\3.000x&\leq 27.000\\x&\leq 9\end{aligned}\]
Karena jaraknya lebih dari 2 km, maka \(2\lt x\leq 9\).
Pengecekan
\[\begin{aligned}x=9\Rightarrow\ \text{biaya}&=8.000+3.000(9-2)\\&=8.000+21.000\\&=29.000\end{aligned}\]
Di dekat tempat wisata, ada dua tempat penyewaan sepeda:
- Toko Roda Jaya: biaya tetap \(\text{Rp}10.000\) ditambah \(\text{Rp}4.000\) per jam.
- Toko Sepeda Ceria: biaya tetap \(\text{Rp}2.000\) ditambah \(\text{Rp}6.000\) per jam.
Bagas ingin menyewa sepeda selama \(t\) jam (bilangan bulat) di Roda Jaya karena lebih murah daripada Sepeda Ceria, tetapi uang yang boleh ia keluarkan paling banyak \(\text{Rp}34.000\).
- Tuliskan kedua model pertidaksamaannya.
- Tentukan lama sewa yang mungkin.
- Berapa selisih biaya terbesar yang bisa dihemat Bagas dibanding menyewa di Sepeda Ceria?
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
\[\begin{aligned}\text{Biaya Roda Jaya}&=10.000+4.000t\\\text{Biaya Sepeda Ceria}&=2.000+6.000t\end{aligned}\]
Syarat 1 (Roda Jaya lebih murah): \(10.000+4.000t\lt 2.000+6.000t\).
Syarat 2 (anggaran): \(10.000+4.000t\leq 34.000\).
b) Lama sewa yang mungkin
Syarat 1:
\[\begin{aligned}10.000+4.000t&\lt 2.000+6.000t\\10.000-2.000&\lt 6.000t-4.000t\\8.000&\lt 2.000t\\t&\gt 4\end{aligned}\]
Syarat 2:
\[\begin{aligned}10.000+4.000t&\leq 34.000\\4.000t&\leq 24.000\\t&\leq 6\end{aligned}\]
Irisan kedua syarat:
Jadi \(4\lt t\leq 6\). Karena \(t\) bilangan bulat, maka \(t=5\) atau \(t=6\) jam.
c) Selisih biaya terbesar
\[\begin{aligned}\text{Selisih}&=(2.000+6.000t)-(10.000+4.000t)\\&=2.000t-8.000\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}t=5&\Rightarrow 2.000(5)-8.000=2.000\\t=6&\Rightarrow 2.000(6)-8.000=4.000\end{aligned}\]
Sebuah rambu lalu lintas berbentuk segitiga sama kaki. Panjang kedua kaki masing-masing \((2x-1)\) cm dan panjang alasnya \((x+4)\) cm. Keliling rambu tersebut paling besar \(47\) cm.
- Tentukan batas-batas nilai \(x\) agar segitiga tersebut dapat dibuat (ingat syarat ketaksamaan segitiga).
- Jika \(x\) bilangan bulat, ada berapa nilai \(x\) yang mungkin?
- Tentukan ukuran setiap sisi rambu ketika kelilingnya maksimum.
Lihat Pembahasan
a) Batas nilai \(x\)
Syarat keliling:
\[\begin{aligned}\text{Keliling}&=(2x-1)+(2x-1)+(x+4)\\&=5x+2\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}5x+2&\leq 47\\5x&\leq 45\\x&\leq 9\end{aligned}\]
Syarat panjang sisi positif:
\[\begin{aligned}2x-1&\gt 0\Rightarrow x\gt \tfrac{1}{2}\\x+4&\gt 0\Rightarrow x\gt -4\end{aligned}\]
Ketaksamaan segitiga: jumlah dua kaki harus lebih panjang dari alas.
\[\begin{aligned}(2x-1)+(2x-1)&\gt x+4\\4x-2&\gt x+4\\3x&\gt 6\\x&\gt 2\end{aligned}\]
Jumlah kaki dan alas selalu lebih panjang dari kaki lainnya karena \(x+4\gt 0\), sehingga tidak ada syarat tambahan.
Irisan semua syarat (\(x\gt\tfrac12\), \(x\gt 2\), dan \(x\leq 9\)):
Jadi \(2\lt x\leq 9\).
b) Banyak nilai \(x\) bulat
Nilai yang memenuhi: \(3,4,5,6,7,8,9\), yaitu 7 nilai.
c) Ukuran sisi saat keliling maksimum
Keliling maksimum terjadi saat \(x=9\):
\[\begin{aligned}\text{Kaki}&=2x-1=2(9)-1=17\text{ cm}\\\text{Alas}&=x+4=9+4=13\text{ cm}\\\text{Keliling}&=17+17+13=47\text{ cm}\end{aligned}\]
Lift di gedung perpustakaan daerah hanya boleh mengangkut beban paling berat \(300\) kg. Di dalam lift sudah ada Pak Satpam bermassa \(70\) kg dan 4 siswa yang massanya dianggap sama, yaitu \(x\) kg. Tentukan model matematikanya dan massa maksimal tiap siswa agar lift tetap aman digunakan!
Lihat Pembahasan
Langkah 1. Model matematika
Total beban \(=70+4x\) dan tidak boleh lebih dari \(300\) kg:
\[70+4x\leq 300\]
Langkah 2. Selesaikan
\[\begin{aligned}70+4x&\leq 300\\4x&\leq 300-70\\4x&\leq 230\\x&\leq 57{,}5\end{aligned}\]
Massa tidak mungkin negatif, jadi \(0\lt x\leq 57{,}5\).
Dalam program Adiwiyata, kelas VII-B membuat petak kebun sayur berbentuk persegi panjang dengan lebar \(8\) m dan panjang \((2x-3)\) m. Agar sayuran cukup untuk dibagikan, luas petak tidak kurang dari \(72\ \text{m}^2\). Karena pagar kawat terbatas, keliling petak tidak boleh lebih dari \(50\) m.
- Tuliskan kedua model pertidaksamaannya.
- Tentukan batas-batas nilai \(x\).
- Tentukan panjang petak terpendek dan terpanjang yang mungkin.
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
Luas tidak kurang dari \(72\):
\[\begin{aligned}\text{Luas}&=8\times(2x-3)\\8(2x-3)&\geq 72\end{aligned}\]
Keliling tidak lebih dari \(50\):
\[\begin{aligned}\text{Keliling}&=2(8+2x-3)\\&=2(2x+5)\\&=4x+10\end{aligned}\]
\[4x+10\leq 50\]
b) Batas nilai \(x\)
Dari luas:
\[\begin{aligned}8(2x-3)&\geq 72\\16x-24&\geq 72\\16x&\geq 96\\x&\geq 6\end{aligned}\]
Dari keliling:
\[\begin{aligned}4x+10&\leq 50\\4x&\leq 40\\x&\leq 10\end{aligned}\]
Syarat panjang positif: \(2x-3\gt 0\Rightarrow x\gt\tfrac32\), sudah terpenuhi oleh \(x\geq 6\).
Jadi \(6\leq x\leq 10\).
c) Panjang terpendek dan terpanjang
\[\begin{aligned}x=6&\Rightarrow 2x-3=2(6)-3=9\text{ m}\\x=10&\Rightarrow 2x-3=2(10)-3=17\text{ m}\end{aligned}\]
Untuk mendapat predikat "Sangat Baik" pada mapel Matematika, rata-rata nilai empat ulangan harian siswa harus minimal \(85\). Nilai tiga ulangan pertama Rafi adalah \(78\), \(85\), dan \(90\). Misalkan nilai ulangan keempat Rafi adalah \(x\) dan nilai tertinggi yang bisa diperoleh adalah \(100\).
- Tuliskan model matematikanya.
- Berapa nilai minimal ulangan keempat agar Rafi mendapat predikat "Sangat Baik"?
- Jika nilai berupa bilangan bulat, ada berapa kemungkinan nilai ulangan keempat Rafi?
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
\[\frac{78+85+90+x}{4}\geq 85\]
b) Nilai minimal
\[\begin{aligned}\frac{78+85+90+x}{4}&\geq 85\\\frac{253+x}{4}&\geq 85\\253+x&\geq 85\times 4\\253+x&\geq 340\\x&\geq 87\end{aligned}\]
Pengecekan: \(x=87\Rightarrow\dfrac{253+87}{4}=\dfrac{340}{4}=85\) (memenuhi).
c) Banyak kemungkinan nilai
Nilai tertinggi adalah \(100\), sehingga \(87\leq x\leq 100\).
\[\begin{aligned}\text{Banyak nilai}&=100-87+1\\&=14\end{aligned}\]
Layar sebuah perahu pinisi berbentuk segitiga \(ABC\) dengan besar \(\angle A=(3x-6)^\circ\) dan \(\angle B=(x+14)^\circ\). Penjahit layar menginginkan layar yang tidak tumpul, artinya semua sudutnya tidak lebih dari \(90^\circ\).
- Nyatakan besar \(\angle C\) dalam \(x\).
- Tentukan batas-batas nilai \(x\) agar layar tidak tumpul.
- Jika \(x\) bilangan bulat, ada berapa nilai \(x\) yang mungkin? Tentukan juga besar ketiga sudut saat \(x\) terkecil.
Lihat Pembahasan
a) Besar \(\angle C\)
Jumlah sudut dalam segitiga adalah \(180^\circ\):
\[\begin{aligned}\angle C&=180-(3x-6)-(x+14)\\&=180-3x+6-x-14\\&=172-4x\end{aligned}\]
b) Batas nilai \(x\)
Setiap sudut harus positif dan tidak lebih dari \(90^\circ\).
Sudut \(A\):
\[\begin{aligned}3x-6&\gt 0\Rightarrow x\gt 2\\3x-6&\leq 90\\3x&\leq 96\\x&\leq 32\end{aligned}\]
Sudut \(B\): \(x+14\gt 0\Rightarrow x\gt -14\) dan \(x+14\leq 90\Rightarrow x\leq 76\).
Sudut \(C\):
\[\begin{aligned}172-4x&\gt 0\Rightarrow x\lt 43\\172-4x&\leq 90\\-4x&\leq -82\\x&\geq 20{,}5\end{aligned}\]
(Tanda berbalik karena kedua ruas dibagi \(-4\).)
Syarat yang paling ketat adalah \(x\geq 20{,}5\) (dari \(C\)) dan \(x\leq 32\) (dari \(A\)):
Jadi \(20{,}5\leq x\leq 32\).
c) Banyak nilai \(x\) bulat dan ukuran sudutnya
Nilai bulat: \(21,22,\ldots,32\), banyaknya \(32-21+1=12\).
Untuk \(x\) terkecil, yaitu \(x=21\):
\[\begin{aligned}\angle A&=3(21)-6=57^\circ\\\angle B&=21+14=35^\circ\\\angle C&=172-4(21)=88^\circ\\\text{Jumlah}&=57+35+88=180^\circ\end{aligned}\]
Ibu Wati berjualan bakso di depan sekolah. Harga jual satu mangkuk \(\text{Rp}15.000\), sedangkan biaya bahan untuk satu mangkuk \(\text{Rp}7.000\). Setiap hari ia juga mengeluarkan biaya tetap \(\text{Rp}200.000\) (sewa lapak, gas, dan listrik). Bahan yang disiapkan hanya cukup untuk paling banyak \(60\) mangkuk. Misalkan banyak mangkuk yang terjual dalam sehari adalah \(x\).
- Tuliskan model matematika keuntungan bersih Ibu Wati.
- Agar keuntungan bersih paling sedikit \(\text{Rp}100.000\), berapa mangkuk bakso yang harus terjual?
- Berapa keuntungan bersih terbesar yang mungkin diperoleh dalam sehari?
Lihat Pembahasan
a) Model keuntungan bersih
\[\begin{aligned}\text{Pendapatan}&=15.000x\\\text{Biaya}&=7.000x+200.000\\\text{Untung}&=15.000x-(7.000x+200.000)\\&=8.000x-200.000\end{aligned}\]
Syarat untung paling sedikit \(100.000\):
\[8.000x-200.000\geq 100.000\]
b) Banyak mangkuk yang harus terjual
\[\begin{aligned}8.000x-200.000&\geq 100.000\\8.000x&\geq 300.000\\x&\geq 37{,}5\end{aligned}\]
Banyak mangkuk harus bilangan bulat, sehingga \(x\geq 38\). Bahan hanya cukup untuk 60 mangkuk, sehingga \(x\leq 60\).
Pengecekan batas bawah:
\[\begin{aligned}x=37&\Rightarrow 8.000(37)-200.000=96.000\ (\lt 100.000)\\x=38&\Rightarrow 8.000(38)-200.000=104.000\ (\geq 100.000)\end{aligned}\]
c) Keuntungan bersih terbesar
Untung bertambah seiring \(x\), sehingga maksimum saat \(x=60\):
\[\begin{aligned}\text{Untung}&=8.000(60)-200.000\\&=480.000-200.000\\&=280.000\end{aligned}\]
Rina memiliki kuota internet \(9\) GB. Sebelum belajar daring, kuotanya sudah terpakai \(1{,}8\) GB. Selama 4 hari ke depan ia ingin memakai kuota yang sama setiap hari, yaitu \(x\) GB. Tentukan model matematikanya dan kuota maksimal yang boleh dipakai Rina tiap hari agar kuotanya cukup!
Lihat Pembahasan
Langkah 1. Model matematika
Kuota terpakai ditambah pemakaian 4 hari tidak boleh melebihi \(9\) GB:
\[1{,}8+4x\leq 9\]
Langkah 2. Selesaikan
\[\begin{aligned}1{,}8+4x&\leq 9\\4x&\leq 9-1{,}8\\4x&\leq 7{,}2\\x&\leq 1{,}8\end{aligned}\]
Pemakaian tidak mungkin negatif, jadi \(0\lt x\leq 1{,}8\).
Menyambut 17 Agustus, panitia membuat bendera Merah Putih berbentuk persegi panjang dengan panjang \(3x\) cm dan lebar \(2x\) cm. Seluruh tepi bendera dihiasi pita renda, ditambah \(20\) cm untuk sambungan. Pita yang tersedia paling panjang \(320\) cm, dan lebar bendera tidak boleh kurang dari \(40\) cm.
- Tuliskan kedua model pertidaksamaannya.
- Tentukan batas-batas nilai \(x\).
- Tentukan ukuran dan luas bendera terbesar yang dapat dibuat.
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
\[\begin{aligned}\text{Keliling}&=2(3x+2x)=10x\\\text{Pita yang dibutuhkan}&=10x+20\end{aligned}\]
Syarat pita: \(10x+20\leq 320\). Syarat lebar: \(2x\geq 40\).
b) Batas nilai \(x\)
\[\begin{aligned}10x+20&\leq 320\\10x&\leq 300\\x&\leq 30\end{aligned}\qquad\begin{aligned}2x&\geq 40\\x&\geq 20\end{aligned}\]
Jadi \(20\leq x\leq 30\).
c) Bendera terbesar
Ukuran terbesar terjadi saat \(x=30\):
\[\begin{aligned}\text{Panjang}&=3(30)=90\text{ cm}\\\text{Lebar}&=2(30)=60\text{ cm}\\\text{Luas}&=90\times 60=5.400\ \text{cm}^2\end{aligned}\]
Umur Pak Hasan sekarang empat kali umur anaknya, Dito. Misalkan umur Dito \(x\) tahun. Jumlah umur mereka sekarang lebih dari \(35\) tahun, sedangkan lima tahun lagi jumlah umur mereka paling banyak \(70\) tahun.
- Tuliskan kedua model pertidaksamaannya.
- Tentukan batas-batas umur Dito sekarang.
- Jika umur dinyatakan dalam bilangan bulat, ada berapa kemungkinan umur Dito, dan berapa selisih umur terbesar antara ayah dan anak?
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
Umur Pak Hasan sekarang \(=4x\).
Sekarang: \(x+4x\gt 35\), yaitu \(5x\gt 35\).
Lima tahun lagi: \((x+5)+(4x+5)\leq 70\), yaitu \(5x+10\leq 70\).
b) Batas umur Dito
\[\begin{aligned}5x&\gt 35\\x&\gt 7\end{aligned}\qquad\begin{aligned}5x+10&\leq 70\\5x&\leq 60\\x&\leq 12\end{aligned}\]
Jadi \(7\lt x\leq 12\).
c) Banyak kemungkinan dan selisih umur
Umur Dito yang mungkin: \(8,9,10,11,12\) (ada 5 kemungkinan).
\[\begin{aligned}\text{Selisih umur}&=4x-x\\&=3x\end{aligned}\]
Selisih terbesar saat \(x=12\): \(3(12)=36\) tahun (Pak Hasan 48 tahun, Dito 12 tahun).
Sebuah sekolah membangun lahan parkir sepeda berbentuk huruf L seperti pada gambar (satuan meter). Seluruh tepi lahan akan dipagari. Pagar yang tersedia paling banyak \(112\) m dan sisi atas lahan tidak boleh kurang dari \(15\) m.
- Tuliskan model matematika untuk panjang pagar. Gunakan pemikiranmu agar tidak perlu menjumlahkan sisi satu per satu.
- Tentukan batas-batas nilai \(x\).
- Jika \(x\) bilangan bulat, tentukan panjang pagar terbesar dan panjang sisi terpanjang pada keadaan itu.
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
Sisi mendatar: sisi bawah \((3x+2)\) sama dengan sisi atas ditambah lekukan mendatar, yaitu \((2x+1)+(x+1)\). Sisi tegak: sisi kiri \((2x+4)\) sama dengan sisi kanan bawah ditambah lekukan tegak, yaitu \((x+3)+(x+1)\). Jadi keliling huruf L sama dengan keliling persegi panjang pembatasnya:
\[\begin{aligned}\text{Keliling}&=2(3x+2)+2(2x+4)\\&=6x+4+4x+8\\&=10x+12\end{aligned}\]
Pengecekan dengan menjumlahkan keenam sisi:
\[\begin{aligned}&(3x+2)+(x+3)+(x+1)+(x+1)+(2x+1)+(2x+4)\\&=10x+12\end{aligned}\]
Model: \(10x+12\leq 112\) dan \(2x+1\geq 15\).
b) Batas nilai \(x\)
\[\begin{aligned}10x+12&\leq 112\\10x&\leq 100\\x&\leq 10\end{aligned}\qquad\begin{aligned}2x+1&\geq 15\\2x&\geq 14\\x&\geq 7\end{aligned}\]
Jadi \(7\leq x\leq 10\).
c) Pagar terbesar dan sisi terpanjang
Untuk \(x\) bulat, \(x\in\{7,8,9,10\}\). Pagar terbesar saat \(x=10\):
\[\begin{aligned}\text{Keliling}&=10(10)+12=112\text{ m}\\\text{Sisi}&=32,\ 13,\ 11,\ 11,\ 21,\ 24\\\text{Cek}&=32+13+11+11+21+24=112\end{aligned}\]
Sekolah mengadakan study tour yang diikuti \(40\) siswa. Biaya sewa bus \(\text{Rp}3.500.000\) dan biaya konsumsi \(\text{Rp}15.000\) per siswa (dihitung untuk semua peserta). Karena ada bantuan dari sekolah, \(4\) siswa dibebaskan dari iuran, sedangkan sisanya membayar iuran yang sama, yaitu \(x\) rupiah. Iuran harus cukup menutup seluruh biaya, tetapi berdasarkan kesepakatan orang tua tidak boleh lebih dari \(\text{Rp}125.000\) per siswa.
- Tuliskan model matematikanya.
- Jika iuran ditetapkan dalam kelipatan \(\text{Rp}5.000\), tentukan besar iuran yang mungkin.
- Berapa sisa dana terbesar yang mungkin diperoleh panitia?
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
\[\begin{aligned}\text{Total biaya}&=3.500.000+15.000\times 40\\&=3.500.000+600.000\\&=4.100.000\end{aligned}\]
Yang membayar iuran adalah \(40-4=36\) siswa. Model: \(36x\geq 4.100.000\) dan \(x\leq 125.000\).
b) Besar iuran yang mungkin
\[\begin{aligned}36x&\geq 4.100.000\\x&\geq \frac{4.100.000}{36}\\x&\geq 113.888{,}89\ldots\end{aligned}\]
Iuran kelipatan \(5.000\) yang berada pada \(113.888{,}89\leq x\leq 125.000\) adalah \(115.000\), \(120.000\), dan \(125.000\).
Pengecekan batas bawah:
\[\begin{aligned}36(110.000)&=3.960.000\ (\lt 4.100.000)\\36(115.000)&=4.140.000\ (\geq 4.100.000)\end{aligned}\]
c) Sisa dana terbesar
Sisa dana terbesar terjadi saat iuran \(125.000\):
\[\begin{aligned}\text{Sisa}&=36(125.000)-4.100.000\\&=4.500.000-4.100.000\\&=400.000\end{aligned}\]
Panitia lomba 17 Agustus di kelurahan memiliki dana \(\text{Rp}600.000\). Dana tersebut akan dipakai untuk menyewa pengeras suara seharga \(\text{Rp}120.000\) dan membeli 8 paket hadiah yang harga tiap paketnya sama, yaitu \(x\) rupiah. Tentukan model matematikanya dan harga maksimal satu paket hadiah!
Lihat Pembahasan
Langkah 1. Model matematika
\[8x+120.000\leq 600.000\]
Langkah 2. Selesaikan
\[\begin{aligned}8x+120.000&\leq 600.000\\8x&\leq 480.000\\x&\leq 60.000\end{aligned}\]
Harga tidak mungkin negatif, jadi \(0\lt x\leq 60.000\).
Pada lomba lari estafet di lapangan kelurahan, titik \(P\) adalah garis start, titik \(Q\) adalah tempat pergantian pelari, dan titik \(R\) adalah garis finis. Ketiganya segaris dengan \(PQ=(2x+1)\) m dan \(QR=(x+7)\) m. Panjang lintasan \(PR\) paling pendek \(41\) m dan paling panjang \(65\) m.
- Tuliskan model matematikanya.
- Tentukan batas-batas nilai \(x\).
- Tentukan panjang \(PQ\) yang terpendek dan yang terpanjang.
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
\[\begin{aligned}PR&=PQ+QR\\&=(2x+1)+(x+7)\\&=3x+8\end{aligned}\]
Karena \(41\leq PR\leq 65\), modelnya adalah \(41\leq 3x+8\leq 65\).
b) Batas nilai \(x\)
Kurangi semua bagian dengan \(8\), lalu bagi dengan \(3\):
\[\begin{aligned}41\leq\ &3x+8\leq 65\\41-8\leq\ &3x\leq 65-8\\33\leq\ &3x\leq 57\\11\leq\ &x\leq 19\end{aligned}\]
c) Panjang \(PQ\)
\[\begin{aligned}x=11&\Rightarrow PQ=2(11)+1=23\text{ m}\\x=19&\Rightarrow PQ=2(19)+1=39\text{ m}\end{aligned}\]
Di sebuah toko pakaian ada diskon \(25\%\) untuk setiap kaos, sedangkan topi tidak mendapat diskon. Dian membawa uang \(\text{Rp}230.000\) dan ingin membeli 3 kaos dengan harga normal yang sama, yaitu \(x\) rupiah per kaos, serta sebuah topi seharga \(\text{Rp}50.000\).
- Tuliskan model matematikanya.
- Tentukan harga normal maksimal satu kaos yang masih bisa dibeli Dian.
- Berapa total potongan harga yang diperoleh Dian jika ia membeli kaos dengan harga normal maksimal tersebut?
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
Diskon \(25\%\) berarti Dian membayar \(75\%\) dari harga normal, yaitu \(0{,}75x\) per kaos.
\[3(0{,}75x)+50.000\leq 230.000\]
b) Harga normal maksimal
\[\begin{aligned}3(0{,}75x)+50.000&\leq 230.000\\2{,}25x+50.000&\leq 230.000\\2{,}25x&\leq 180.000\\x&\leq \frac{180.000}{2{,}25}\\x&\leq 80.000\end{aligned}\]
c) Total potongan harga
\[\begin{aligned}\text{Potongan}&=3\times 25\%\times 80.000\\&=3\times 20.000\\&=60.000\end{aligned}\]
Pengecekan: \(3(60.000)+50.000=230.000\), pas sama dengan uang Dian.
Bu Lina membuat kerangka balok dari kawat untuk model bangun ruang. Ukuran balok: panjang \((2x+3)\) cm, lebar \((x+1)\) cm, dan tinggi \((x+2)\) cm. Kawat yang tersedia \(300\) cm. Agar tidak banyak kawat yang terbuang, kawat yang digunakan paling sedikit \(200\) cm.
- Tuliskan model matematikanya.
- Tentukan batas-batas nilai \(x\).
- Jika \(x\) bilangan bulat, tentukan ukuran balok terbesar dan sisa kawat pada keadaan itu.
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
Balok memiliki 12 rusuk: 4 rusuk panjang, 4 rusuk lebar, dan 4 rusuk tinggi.
\[\begin{aligned}\text{Kawat}&=4(p+l+t)\\&=4\big[(2x+3)+(x+1)+(x+2)\big]\\&=4(4x+6)\\&=16x+24\end{aligned}\]
Kawat dipakai paling sedikit \(200\) cm dan paling banyak \(300\) cm, sehingga \(200\leq 16x+24\leq 300\).
b) Batas nilai \(x\)
\[\begin{aligned}200\leq\ &16x+24\leq 300\\176\leq\ &16x\leq 276\\11\leq\ &x\leq 17{,}25\end{aligned}\]
c) Balok terbesar untuk \(x\) bulat
Bilangan bulat terbesar pada selang itu adalah \(x=17\):
\[\begin{aligned}\text{Panjang}&=2(17)+3=37\text{ cm}\\\text{Lebar}&=17+1=18\text{ cm}\\\text{Tinggi}&=17+2=19\text{ cm}\\\text{Kawat terpakai}&=16(17)+24=296\text{ cm}\\\text{Sisa kawat}&=300-296=4\text{ cm}\end{aligned}\]
Di sebuah perumahan, rumah di sisi kiri jalan bernomor ganjil. Tiga rumah yang berdampingan memiliki nomor ganjil berurutan, dan nomor yang terkecil adalah \(x\). Jumlah ketiga nomor rumah itu lebih dari \(45\) dan kurang dari \(81\).
- Tuliskan model matematikanya.
- Tentukan batas-batas nilai \(x\).
- Ada berapa kemungkinan kelompok tiga rumah tersebut? Tuliskan semuanya, lalu tentukan jumlah nomor rumah yang terbesar.
Lihat Pembahasan
a) Model matematika
Tiga bilangan ganjil berurutan: \(x\), \(x+2\), dan \(x+4\).
\[\begin{aligned}\text{Jumlah}&=x+(x+2)+(x+4)\\&=3x+6\end{aligned}\]
Model: \(45\lt 3x+6\lt 81\).
b) Batas nilai \(x\)
\[\begin{aligned}45\lt\ &3x+6\lt 81\\39\lt\ &3x\lt 75\\13\lt\ &x\lt 25\end{aligned}\]
c) Kemungkinan kelompok rumah
Nomor terkecil \(x\) harus ganjil dan berada di antara \(13\) dan \(25\) (tidak termasuk keduanya): \(15, 17, 19, 21, 23\). Jadi ada 5 kelompok:
\[\begin{aligned}&(15,17,19),\ (17,19,21),\ (19,21,23),\\&(21,23,25),\ (23,25,27)\end{aligned}\]
Jumlah terbesar terjadi pada \(x=23\):
\[\begin{aligned}\text{Jumlah}&=23+25+27\\&=75\end{aligned}\]
Pengecekan batas: \(x=13\Rightarrow 3(13)+6=45\) (tidak lebih dari 45), dan \(x=25\Rightarrow 3(25)+6=81\) (tidak kurang dari 81), sehingga keduanya tidak memenuhi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar