Simulasi Interaktif Statistika - Matematika Kelas 8

Berikut ini bahan belajar matematika interaktif untuk SMP kelas 8, pokok bahasan "Statistika". Subpokok bahasan dipisahkan pada tab berbeda.

Tautan singkat materi ini: s.id/statika.
Simulasi materi matematika lain akan diperbaharui secara berkala di s.id/simatika

Setelah belajar di sini, kamu mampu:

• menentukan mean, median, modus, kuartil, jangkauan, dan jangkauan antarkuartil;
• menjelaskan perubahan ukuran-ukuran tersebut ketika data berubah;
• membandingkan suatu data dengan kelompoknya, dan membandingkan dua kelompok data;
• memprediksi dan membuat keputusan berdasarkan data.

Geser titik-titik data, tambah atau hapus data, lalu amati bagaimana mean, median, modus, kuartil, dan jangkauan ikut berubah. Semua dihitung otomatis, jadi kamu bisa fokus memahami artinya.

Peta konsep singkat

Rata-rata (mean)\( \bar{x}=\dfrac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} \)
Titik keseimbangan data.

MedianNilai tengah setelah data diurutkan.
Separuh data di bawahnya, separuh di atasnya.

ModusData yang paling sering muncul.
Bisa lebih dari satu, atau tidak ada.

Kuartil (Q₁, Q₂, Q₃)Membagi data terurut menjadi empat bagian yang kira-kira sama banyak.
Q₂ sama dengan median.

Jangkauan\( \text{Jangkauan}=x_{\max}-x_{\min} \)
Selisih data terbesar dan terkecil.

Jangkauan antarkuartil (JAK)\( \text{JAK}=Q_3-Q_1 \)
Lebar “separuh data di tengah”.

Cara menentukan kuartil di sini: (1) urutkan data; (2) Q₂ = median; (3) bagi data menjadi kelompok bawah dan kelompok atas (jika banyak data ganjil, median tidak ikut dihitung); (4) Q₁ = median kelompok bawah, Q₃ = median kelompok atas. Buku atau gurumu mungkin memakai cara sedikit berbeda, ikuti cara yang diajarkan di kelasmu.

Bagian 1 · Bermain dengan Data

Setiap titik adalah satu data (misalnya nilai ulangan, skala 0 sampai 100). Pilih mode, lalu coba!

Mode:

satu data modus rata-rata (titik seimbang) median (garis putus-putus di atas) kotak = Q₁ sampai Q₃ rata-rata pada kotak

Tambah nilai: Data contoh:

Coba ini: (a) Geser satu titik yang paling kanan jauh ke kanan. Siapa yang ikut bergeser: rata-rata atau median? (b) Tambahkan beberapa nilai yang sama, lalu lihat apa yang terjadi pada modus. (c) Perhatikan lebar kotak: kapan kotak menjadi sempit, kapan lebar?

Lihat langkah perhitungannya

Bagian 2 · Bagaimana Kalau Data Berubah?

Contoh: uang saku harian 9 siswa (dalam ribu rupiah). Lakukan satu perubahan, lalu bandingkan data awal dengan data sekarang. Garis putus-putus menandai posisi median dan rata-rata data awal.

kotak = Q₁ sampai Q₃ median rata-rata

Tambah satu data:

Hapus:

Semua data:

Atau ubah satu data dengan tombol − / + pada data di bawah ini (tombol × untuk menghapus):

Bagian 3 · Di Mana Posisiku di Antara Teman-Teman?

Membandingkan satu data dengan kelompoknya. Pilih situasi, lalu geser penggeser untuk mengubah data siswa yang dibandingkan.

Coba ini: Geser penggeser tepat ke Q₁, ke median, dan ke Q₃. Lihat bagaimana kalimat kesimpulannya berubah. Lalu cari nilai terkecil agar siswa itu masuk kelompok 25% teratas.

Bagian 4 · Membandingkan Dua Kelompok, Memprediksi, dan Memutuskan

Pilih situasi, ubah datanya bila ingin, lalu lihat perbandingan kedua kelompok. Kamu juga bisa menentukan prioritas keputusan.

Pisahkan data dengan spasi. Desimal boleh memakai titik atau koma.

kotak = Q₁ sampai Q₃ median rata-rata

Prediksi

Keputusan

Prioritas: hasil rata-rata terbaik Prioritas: paling konsisten (data tidak menyebar)

Rangkuman

• Mean dipengaruhi semua data, sehingga mudah “tertarik” oleh data yang sangat besar atau sangat kecil.
• Median hanya bergantung pada data di tengah, sehingga lebih tahan terhadap data yang jauh dari kelompoknya.
• Modus cocok untuk melihat data yang paling sering muncul.
• Jika semua data ditambah k, semua ukuran pemusatan ikut bertambah k, sedangkan jangkauan dan JAK tetap. Jika semua data dikali k, semua ukuran (termasuk jangkauan dan JAK) ikut dikali k.
• Untuk membandingkan dua kelompok, lihat pemusatan (mean/median) dan penyebaran (jangkauan/JAK). Rata-rata yang sama belum tentu berarti kelompoknya sama.
• Prediksi yang masuk akal: nilai sekitar median, kemungkinan besar di antara Q₁ dan Q₃.

Soal Pemancing

Kerjakan dulu di buku, baru buka pembahasannya.

1

Banyak buku yang dibaca 9 siswa dalam sebulan: 4, 6, 3, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Tentukan mean, median, dan modus. Apa yang kamu perhatikan dari ketiganya?

Lihat pembahasan

Urutkan: 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9.

$$\begin{aligned}\text{Mean}&=\frac{3+4+5+6+6+6+7+8+9}{9}\\&=\frac{54}{9}\\&=6\end{aligned}$$

Banyak data 9 (ganjil), median adalah data ke-5, yaitu 6. Angka 6 muncul paling sering (3 kali), jadi modus = 6.

Ketiganya sama, yaitu 6. Hal ini terjadi karena data tersebar sama di kiri dan kanan 6 (3, 4, 5 di kiri dan 7, 8, 9 di kanan), jadi data bersifat simetris.

2

Tinggi badan (cm) 10 siswa: 160, 152, 170, 155, 163, 150, 158, 165, 156, 161. Tentukan Q₁, Q₂, Q₃, jangkauan, dan jangkauan antarkuartil.

Lihat pembahasan

Urutkan: 150, 152, 155, 156, 158, 160, 161, 163, 165, 170. Banyak data 10 (genap), jadi kelompok bawah dan kelompok atas masing-masing 5 data.

$$\begin{aligned}Q_2&=\frac{158+160}{2}=159\\Q_1&=\text{median }(150,152,155,156,158)=155\\Q_3&=\text{median }(160,161,163,165,170)=163\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\text{Jangkauan}&=170-150=20\\\text{JAK}&=Q_3-Q_1\\&=163-155\\&=8\end{aligned}$$

3

Uang saku harian lima siswa (ribu rupiah): 10, 8, 12, 10, 15. Seorang siswa baru bergabung dengan uang saku 50 ribu rupiah. (a) Tentukan mean dan median sebelum dan sesudah siswa baru bergabung. (b) Ukuran mana yang lebih mewakili “uang saku yang biasa” setelah siswa baru bergabung? Jelaskan.

Lihat pembahasan

Sebelum (urut: 8, 10, 10, 12, 15):

$$\begin{aligned}\text{Mean}&=\frac{8+10+10+12+15}{5}=\frac{55}{5}=11\\\text{Median}&=\text{data ke-3}=10\end{aligned}$$

Sesudah (urut: 8, 10, 10, 12, 15, 50; banyak data 6):

$$\begin{aligned}\text{Mean}&=\frac{55+50}{6}=\frac{105}{6}=17{,}5\\\text{Median}&=\frac{10+12}{2}=11\end{aligned}$$

Mean naik 6,5 (dari 11 ke 17,5), sedangkan median hanya naik 1 (dari 10 ke 11). Jangkauan juga melonjak dari 7 menjadi 42.

Data 50 jauh dari data lainnya sehingga menarik mean ke atas. Mean 17,5 lebih besar dari 5 dari 6 uang saku, jadi kurang mewakili. Median (11) lebih mewakili uang saku yang biasa.

4

Data: 4, 6, 6, 8, 11. Setiap data ditambah 5, kemudian hasilnya dikali 2. Tentukan mean, median, dan jangkauan data yang baru tanpa harus menghitung ulang dari awal (cukup gunakan sifat perubahan data). Lalu periksa dengan menghitung langsung.

Lihat pembahasan

Data awal: mean = 35 : 5 = 7, median = 6 (data ke-3), jangkauan = 11 − 4 = 7.

Ditambah 5: mean dan median ikut ditambah 5, jangkauan tetap. Dikali 2: mean, median, dan jangkauan ikut dikali 2.

$$\begin{aligned}\text{Mean baru}&=(7+5)\times 2=24\\\text{Median baru}&=(6+5)\times 2=22\\\text{Jangkauan baru}&=7\times 2=14\end{aligned}$$

Pemeriksaan: data baru = 18, 22, 22, 26, 32. Mean = 120 : 5 = 24, median = 22, jangkauan = 32 − 18 = 14. Cocok.

5

Nilai ulangan 11 siswa: 72, 55, 80, 92, 65, 78, 60, 85, 70, 75, 68. Sari mendapat nilai 78. (a) Apakah nilai Sari di atas rata-rata dan di atas median? (b) Apakah Sari termasuk 25% siswa dengan nilai tertinggi? Berapa siswa yang nilainya lebih rendah dari Sari?

Lihat pembahasan

Urutkan: 55, 60, 65, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 92 (n = 11).

$$\begin{aligned}\text{Mean}&=\frac{800}{11}\approx 72{,}73\\\text{Median}&=\text{data ke-6}=72\\Q_1&=\text{median }(55,60,65,68,70)=65\\Q_3&=\text{median }(75,78,80,85,92)=80\end{aligned}$$

(a) Nilai Sari 78 lebih besar dari mean (72,73) dan median (72), jadi ya, di atas keduanya.

(b) Agar masuk 25% tertinggi, nilai harus lebih dari Q₃ = 80. Nilai Sari 78 berada di antara Q₂ dan Q₃, jadi belum termasuk 25% tertinggi. Siswa yang nilainya lebih rendah dari Sari ada 7 orang (55, 60, 65, 68, 70, 72, 75).

6

Waktu tempuh (menit) ke sekolah selama 6 hari. Rute A: 20, 22, 25, 25, 28, 30. Rute B: 15, 18, 22, 28, 32, 35. Rata-rata kedua rute sama. Kamu tidak boleh terlambat. Rute mana yang sebaiknya dipilih? Jelaskan dengan data.

Lihat pembahasan

Rute A (n = 6): mean = 150 : 6 = 25; median = (25 + 25) : 2 = 25; Q₁ = 22; Q₃ = 28.

$$\begin{aligned}\text{Jangkauan}_A&=30-20=10\\\text{JAK}_A&=28-22=6\end{aligned}$$

Rute B (n = 6): mean = 150 : 6 = 25; median = (22 + 28) : 2 = 25; Q₁ = 18; Q₃ = 32.

$$\begin{aligned}\text{Jangkauan}_B&=35-15=20\\\text{JAK}_B&=32-18=14\end{aligned}$$

Mean dan median kedua rute sama (25 menit), tetapi Rute A jauh lebih stabil (jangkauan 10 dan JAK 6, dibanding 20 dan 14). Karena tidak boleh terlambat, pilih Rute A: waktunya lebih mudah diperkirakan. Rute B kadang cepat (15 menit), tetapi kadang sangat lama (35 menit).

7

Penjualan roti (potong) sebuah toko selama 7 hari: 30, 32, 35, 35, 38, 40, 70. Hari dengan penjualan 70 adalah hari libur nasional. (a) Hitung mean dan median. (b) Berapa perkiraan penjualan pada hari biasa berikutnya? Ukuran mana yang kamu pilih, dan di antara berapa dan berapa penjualan itu kemungkinan besar berada?

Lihat pembahasan

Data sudah urut (n = 7).

$$\begin{aligned}\text{Mean}&=\frac{30+32+35+35+38+40+70}{7}\\&=\frac{280}{7}\\&=40\end{aligned}$$

Median = data ke-4 = 35. Q₁ = median (30, 32, 35) = 32; Q₃ = median (38, 40, 70) = 40.

Penjualan 70 terjadi karena hari libur, sehingga bukan keadaan hari biasa. Nilai itu menarik mean naik menjadi 40, padahal 6 dari 7 hari penjualannya 40 atau kurang. Untuk hari biasa, median (35) lebih tepat sebagai perkiraan. Penjualan kemungkinan besar berada di antara 32 dan 40 potong (Q₁ sampai Q₃).

8

Nilai lima siswa: 70, 75, 80, 85, 90. Seorang siswa baru bergabung sehingga rata-rata nilai menjadi 82. (a) Berapa nilai siswa baru itu? (b) Bagaimana median dan jangkauan sebelum dan sesudah siswa baru bergabung?

Lihat pembahasan

Jumlah nilai awal = 70 + 75 + 80 + 85 + 90 = 400. Misalkan nilai siswa baru = x.

$$\begin{aligned}\frac{400+x}{6}&=82\\400+x&=492\\x&=92\end{aligned}$$

(a) Nilai siswa baru adalah 92.

(b) Sebelum: median = 80, jangkauan = 90 − 70 = 20. Sesudah (70, 75, 80, 85, 90, 92; n = 6):

$$\begin{aligned}\text{Median}&=\frac{80+85}{2}=82{,}5\\\text{Jangkauan}&=92-70=22\end{aligned}$$

Median naik dari 80 menjadi 82,5 dan jangkauan naik dari 20 menjadi 22, karena data baru lebih besar dari semua data lama.