Fungsi kuadrat sering muncul dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada lintasan bola yang ditendang, bentuk jembatan gantung, hingga perhitungan keuntungan usaha. Pada simulasi interaktif ini, kamu akan mempelajari konsep dasar, grafik, persamaan kuadrat dan akar-akarnya, karakteristik, cara mengkonstruksi fungsi, serta penerapannya dalam soal cerita. Geser slider, amati perubahan grafiknya, lalu uji pemahamanmu melalui contoh dan 8 soal pemancing di bagian akhir.
Klik di sini untuk melihat daftar semua simulasi matematika SMA
atau ketik s.id/simatama di browser.
Matematika Wajib Kelas 10 – geser slider, amati grafiknya, lalu coba soalnya.
Apa itu Fungsi Kuadrat?
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya dua. Bentuk umumnya \(f(x)=ax^2+bx+c\) dengan \(a,b,c\in\mathbb{R}\) dan a ≠ 0 .
| Koefisien | Nama | Peran |
|---|---|---|
| \(a\) | koefisien \(x^2\) | menentukan arah bukaan dan lebar parabola; tidak boleh 0 |
| \(b\) | koefisien \(x\) | ikut menentukan letak sumbu simetri |
| \(c\) | konstanta | titik potong dengan sumbu-y |
Mesin Fungsi
Atur a, b, c, lalu masukkan nilai x. Titik biru menunjukkan pasangan \((x,f(x))\) pada grafik.
Kuadrat atau Bukan?
Tentukan apakah tiap fungsi berikut merupakan fungsi kuadrat.
Contoh Soal
Contoh 1
Tentukan \(a,b,c\) dan \(f(-1)\) untuk \(f(x)=(2x-1)(x+3)-5\).
$$\begin{aligned}f(x)&=2x^2+6x-x-3-5\\&=2x^2+5x-8\\&\Rightarrow a=2,\ b=5,\ c=-8\\f(-1)&=2(1)+5(-1)-8=-11\end{aligned}$$Contoh 2
Agar \(f(x)=(m-2)x^2+3x-1\) merupakan fungsi kuadrat, tentukan syarat \(m\).
$$\begin{aligned}a&\neq0\\m-2&\neq0\\m&\neq2\end{aligned}$$Contoh 3
Jika \(f(x)=x^2+bx+1\) dan \(f(2)=5\), tentukan \(b\).
$$\begin{aligned}f(2)&=2^2+2b+1\\5&=5+2b\\b&=0\end{aligned}$$Menggambar Grafik Titik demi Titik
Langkah dasar: buat tabel nilai, plot titik-titik, lalu hubungkan dengan kurva mulus. Geser slider untuk menambah titik pada \(f(x)=x^2-2x-3\).
Menggeser Parabola: Bentuk Puncak
Bentuk \(f(x)=a(x-p)^2+q\) langsung memperlihatkan titik puncak \((p,q)\). Ubah p untuk menggeser kiri-kanan, q untuk menggeser atas-bawah.
Langkah Sketsa Grafik
Contoh 1
Sketsa \(f(x)=x^2-2x-3\).
$$\begin{aligned}a&=1\gt0\Rightarrow\text{ke atas}\\f(0)&=-3\Rightarrow(0,-3)\\x^2-2x-3&=0\Rightarrow(x-3)(x+1)=0\Rightarrow(3,0),(-1,0)\\x_s&=\frac{2}{2}=1,\ f(1)=1-2-3=-4\Rightarrow\text{puncak }(1,-4)\end{aligned}$$Contoh 2
Sketsa \(f(x)=-x^2+4x-3\).
$$\begin{aligned}a&=-1\lt0\Rightarrow\text{ke bawah}\\f(0)&=-3\Rightarrow(0,-3)\\-x^2+4x-3&=0\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1\text{ atau }3\\x_s&=\frac{-4}{-2}=2,\ f(2)=-4+8-3=1\Rightarrow\text{puncak }(2,1)\end{aligned}$$Persamaan Kuadrat dan Akar-akarnya
Persamaan kuadrat berbentuk \(ax^2+bx+c=0\). Nilai \(x\) yang memenuhi disebut akar. Pada grafik \(f(x)=ax^2+bx+c\), akar-akar adalah absis titik potong dengan sumbu-x.
| Cara | Ide |
|---|---|
| Faktorisasi | \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=0\) |
| Melengkapkan kuadrat | ubah menjadi \((x+p)^2=k\) |
| Rumus abc | \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), \(D=b^2-4ac\) |
| Jumlah & hasil kali akar | \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\), \(x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\) |
| Jenis akar | \(D\gt0\): dua akar real berbeda; \(D=0\): akar kembar; \(D\lt0\): tidak ada akar real |
Simulasi: Cari Akar dari Grafik
Contoh Soal
Contoh 1 – Faktorisasi
Selesaikan \(x^2-5x+6=0\).
$$\begin{aligned}(x-2)(x-3)&=0\\x&=2\text{ atau }x=3\end{aligned}$$Contoh 2 – Rumus abc
Selesaikan \(2x^2+3x-4=0\).
$$\begin{aligned}D&=3^2-4(2)(-4)=41\\x_{1,2}&=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{4}\end{aligned}$$Contoh 3 – Jumlah dan hasil kali akar
\(\alpha,\beta\) akar \(x^2-6x+4=0\). Tentukan \(\alpha^2+\beta^2\).
$$\begin{aligned}\alpha+\beta&=6,\quad\alpha\beta=4\\\alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\&=36-8=28\end{aligned}$$Contoh 4 – Menyusun persamaan
Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan \(-5\).
$$\begin{aligned}(x-2)(x+5)&=0\\x^2+3x-10&=0\end{aligned}$$Langkah Pemodelan
| Bagian grafik | Makna dalam cerita |
|---|---|
| Titik puncak | nilai maksimum/minimum (tinggi maksimum, laba terbesar, luas terbesar) |
| Akar (potong sumbu-x) | saat nilainya nol (bola jatuh, titik impas) |
| Potong sumbu-y | kondisi awal |
Simulasi: Tebak Model dari Data
Kamera mencatat lintasan sebuah bola: titik merah \((0,1),(1,6),(2,9),(3,10),(4,9),(5,6)\) dengan x jarak mendatar dan y tinggi (meter). Atur a, b, c sampai kurva biru melewati semua titik.
Contoh Soal
Contoh 1 – Pendapatan tiket
Tiket konser Rp50 ribu terjual 200 lembar. Setiap kenaikan Rp5 ribu, penonton berkurang 10 orang. Berapa harga tiket agar pendapatan maksimum?
$$\begin{aligned}\text{Naik }k\text{ kali: harga}&=50+5k,\ \text{penonton}=200-10k\\R(k)&=(50+5k)(200-10k)\\&=-50k^2+500k+10000\\k&=\frac{-500}{2(-50)}=5\\R(5)&=75\times150=11250\end{aligned}$$ Harga tiket Rp75 ribu, pendapatan maksimum Rp11.250 ribu.Contoh 2 – Kabel jembatan
Kabel jembatan gantung berbentuk parabola. Jarak dua tiang 40 m, tinggi tiap tiang 10 m, titik terendah kabel 2 m di atas jalan (di tengah). Berapa tinggi kabel pada jarak 10 m dari tengah?
$$\begin{aligned}f(x)&=ax^2+2\ \text{(puncak }(0,2)\text{)}\\10&=a(20)^2+2\Rightarrow a=\frac{1}{50}\\f(10)&=\frac{100}{50}+2=4\text{ m}\end{aligned}$$ Lanjutkan ke tab Soal Cerita dan 8 Soal Pemancing untuk latihan lebih banyak.Eksplorasi: ubah a, b, dan c
Fungsi kuadrat berbentuk \(f(x)=ax^2+bx+c\) dengan a ≠ 0. Grafiknya berupa parabola. Titik oranye adalah titik puncak, titik hijau potong sumbu-y, titik merah potong sumbu-x, garis putus-putus adalah sumbu simetri.
Rangkuman Karakteristik
| Karakteristik | Rumus / Aturan |
|---|---|
| Arah bukaan | \(a\gt 0\): ke atas (minimum); \(a\lt 0\): ke bawah (maksimum) |
| Diskriminan | \(D=b^2-4ac\) |
| Titik potong sumbu-x | \(ax^2+bx+c=0\). \(D\gt0\): dua titik; \(D=0\): menyinggung; \(D\lt0\): tidak memotong |
| Titik potong sumbu-y | \((0,c)\) |
| Sumbu simetri | \(x=-\dfrac{b}{2a}\) |
| Titik puncak | \(\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{D}{4a}\right)\), atau hitung \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) |
Contoh Soal
Contoh 1 – D > 0
Tentukan karakteristik \(f(x)=x^2-4x-5\).
$$\begin{aligned}a&=1\gt0\Rightarrow\text{terbuka ke atas}\\x_s&=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2\\f(2)&=2^2-4(2)-5=-9\Rightarrow\text{puncak }(2,-9)\\x^2-4x-5&=0\\(x-5)(x+1)&=0\Rightarrow x=5\text{ atau }x=-1\\f(0)&=-5\Rightarrow(0,-5)\end{aligned}$$Contoh 2 – D < 0
Tentukan karakteristik \(g(x)=-x^2+2x-3\).
$$\begin{aligned}a&=-1\lt0\Rightarrow\text{terbuka ke bawah}\\D&=2^2-4(-1)(-3)=4-12=-8\lt0\Rightarrow\text{tidak memotong sumbu-x}\\x_s&=\frac{-2}{2(-1)}=1\\g(1)&=-1+2-3=-2\Rightarrow\text{puncak }(1,-2)\text{, nilai maksimum }-2\\g(0)&=-3\Rightarrow(0,-3)\end{aligned}$$Contoh 3 – D = 0
Tentukan puncak \(h(x)=x^2-6x+9\).
$$\begin{aligned}D&=(-6)^2-4(1)(9)=0\Rightarrow\text{menyinggung sumbu-x}\\x_s&=\frac{6}{2}=3,\quad h(3)=0\Rightarrow\text{puncak }(3,0)\end{aligned}$$Tiga Cara Menyusun Fungsi Kuadrat
| Yang diketahui | Bentuk yang dipakai |
|---|---|
| Tiga titik sembarang | \(f(x)=ax^2+bx+c\), substitusi lalu selesaikan sistem persamaan |
| Titik puncak \((p,q)\) dan satu titik lain | \(f(x)=a(x-p)^2+q\) |
| Titik potong sumbu-x \((x_1,0),(x_2,0)\) dan satu titik lain | \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) |
Simulasi: Bangun Fungsinya
Contoh Soal
Contoh 1 – Tiga titik
Grafik melalui \((0,-3)\), \((1,0)\), dan \((3,12)\).
$$\begin{aligned}c&=-3\\a+b-3&=0\Rightarrow a+b=3\\9a+3b-3&=12\Rightarrow3a+b=5\\2a&=2\Rightarrow a=1,\ b=2\\f(x)&=x^2+2x-3\end{aligned}$$Contoh 2 – Titik puncak
Puncak \((2,-1)\) dan melalui \((0,3)\).
$$\begin{aligned}f(x)&=a(x-2)^2-1\\3&=a(0-2)^2-1\Rightarrow4a=4\Rightarrow a=1\\f(x)&=(x-2)^2-1=x^2-4x+3\end{aligned}$$Contoh 3 – Titik potong sumbu-x
Memotong sumbu-x di \((-1,0)\) dan \((4,0)\), melalui \((0,-8)\).
$$\begin{aligned}f(x)&=a(x+1)(x-4)\\-8&=a(1)(-4)\Rightarrow a=2\\f(x)&=2(x^2-3x-4)=2x^2-6x-8\end{aligned}$$Soal Cerita 1: Bola Ditendang
Bola ditendang ke atas dari ketinggian 2 m dengan kecepatan awal 20 m/s. Tinggi bola setelah t detik: \(h(t)=-5t^2+20t+2\). Tentukan tinggi maksimum dan kapan bola menyentuh tanah. (Ubah slider untuk eksplorasi.)
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}t_{maks}&=\frac{-20}{2(-5)}=2\text{ s}\\h_{maks}&=-5(4)+20(2)+2=22\text{ m}\\-5t^2+20t+2&=0\\t&=\frac{20\pm\sqrt{400+40}}{10}=\frac{20\pm20{,}98}{10}\\t&\approx4{,}1\text{ s (ambil yang positif)}\end{aligned}$$Soal Cerita 2: Kebun Luas Maksimum
Pak Dani memiliki kawat 40 m untuk memagari kebun persegi panjang. Berapa ukuran kebun agar luasnya maksimum? (Geser panjang x.)
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}2(p+l)&=40\Rightarrow l=20-x\\L(x)&=x(20-x)=-x^2+20x\\x&=\frac{-20}{2(-1)}=10\\L_{maks}&=10(10)=100\text{ m}^2\end{aligned}$$ Ukuran 10 m × 10 m (persegi).Soal Cerita 3: Laba Maksimum
Sebuah toko menjual barang seharga x ribu rupiah per buah. Biaya per buah Rp20 ribu dan terjual \((100-2x)\) buah per hari. Berapa harga jual agar laba harian maksimum?
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}L(x)&=(x-20)(100-2x)\\&=-2x^2+140x-2000\\x&=\frac{-140}{2(-2)}=35\\L(35)&=15\times30=450\end{aligned}$$ Harga Rp35 ribu, laba maksimum Rp450 ribu per hari.Soal Cerita 4: Gerbang Parabola
Gerbang berbentuk parabola, lebar dasar 8 m dan tinggi 4 m. Letakkan titik asal di tengah dasar. Tentukan persamaannya dan tinggi gerbang pada jarak 1 m dari tepi.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}f(x)&=a(x+4)(x-4)\\4&=a(0+4)(0-4)\Rightarrow a=-\tfrac14\\f(x)&=-\tfrac14x^2+4\\f(3)&=-\tfrac94+4=1{,}75\text{ m}\end{aligned}$$8 Soal Pemancing
Coba jawab dulu di kertas, baru buka pembahasan.
Soal 1 Karakteristik
Tentukan arah bukaan, titik puncak, dan titik potong sumbu \(f(x)=2x^2-8x+6\).
Pembahasan
$$\begin{aligned}a&=2\gt0\Rightarrow\text{ke atas}\\x_s&=\frac{8}{4}=2,\ f(2)=8-16+6=-2\Rightarrow(2,-2)\\2x^2-8x+6&=0\\(x-1)(x-3)&=0\Rightarrow x=1\text{ atau }3\\f(0)&=6\end{aligned}$$Soal 2 Karakteristik
Agar grafik \(f(x)=x^2-4x+m\) tidak memotong sumbu-x, berapa batas nilai \(m\)? Mengapa \(m=4\) tidak termasuk?
Pembahasan
$$\begin{aligned}D&\lt0\\(-4)^2-4(1)m&\lt0\\16-4m&\lt0\\m&\gt4\end{aligned}$$ Untuk \(m=4\), \(D=0\) sehingga grafik menyinggung sumbu-x (masih menyentuh).Soal 3 Konstruksi
Parabola berpuncak di \((1,-4)\) dan melalui \((3,0)\). Tentukan fungsinya.
Pembahasan
$$\begin{aligned}f(x)&=a(x-1)^2-4\\0&=a(2)^2-4\Rightarrow a=1\\f(x)&=x^2-2x+1-4\\&=x^2-2x-3\end{aligned}$$Soal 4 Konstruksi
Parabola memotong sumbu-x di \((-2,0)\) dan \((3,0)\) serta melalui \((0,-12)\). Tentukan fungsinya.
Pembahasan
$$\begin{aligned}f(x)&=a(x+2)(x-3)\\-12&=a(2)(-3)\Rightarrow a=2\\f(x)&=2(x^2-x-6)\\&=2x^2-2x-12\end{aligned}$$Soal 5 Konstruksi
Grafik melalui \((0,3)\), \((1,0)\), dan \((2,-1)\). Tentukan fungsinya.
Pembahasan
$$\begin{aligned}c&=3\\a+b+3&=0\Rightarrow a+b=-3\\4a+2b+3&=-1\Rightarrow2a+b=-2\\a&=1,\ b=-4\\f(x)&=x^2-4x+3\end{aligned}$$Soal 6 Cerita
Tinggi bola \(h(t)=-5t^2+20t\) (meter). Kapan bola mencapai titik tertinggi, berapa tingginya, dan kapan jatuh ke tanah?
Pembahasan
$$\begin{aligned}t&=\frac{-20}{2(-5)}=2\text{ s}\\h(2)&=-20+40=20\text{ m}\\-5t(t-4)&=0\Rightarrow t=4\text{ s}\end{aligned}$$Soal 7 Cerita
Pagar 60 m dipakai membuat kandang persegi panjang yang satu sisinya berupa tembok (tidak perlu dipagari). Tentukan luas maksimum.
Pembahasan
Lebar \(x\), panjang \(60-2x\).$$\begin{aligned}L(x)&=x(60-2x)=-2x^2+60x\\x&=\frac{-60}{2(-2)}=15\\L_{maks}&=15(30)=450\text{ m}^2\end{aligned}$$Soal 8 Cerita
Harga jual es krim \(x\) ribu rupiah, biaya Rp10 ribu per buah, terjual \((60-2x)\) buah per hari. Tentukan harga untuk laba maksimum dan laba itu.
Pembahasan
$$\begin{aligned}L(x)&=(x-10)(60-2x)\\&=-2x^2+80x-600\\x&=\frac{-80}{2(-2)}=20\\L(20)&=10\times20=200\end{aligned}$$ Harga Rp20 ribu, laba maksimum Rp200 ribu per hari.Klik di sini untuk melihat 20 variasi soal kontekstual bahasan fungsi kuadrat ini. 4 kategori mudah, 8 kategori sedang, 8 kategori HOTS.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar