Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (Matematika 8 SMP) - Soal dan Pembahasannya

Berikut pembahasan soal matematika kelas 8 SMP dengan pokok bahasan "Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel". Pokok bahasan ini dibagi menjadi 4 subpokok basan dengan 10 soal setiap subpokok bahasan yang disertai pembahasan detail.

Pembahasan detail ini bertujuan untuk membantu siswa belajar mandiri. Upayakan mencoba menjawab soal sendiri lebih dahulu, kemudian cocokan dengan pembahasan yang diberikan.

Simulasi belajar interaktif pokok bahasan ini klik di sini.

Subbab: 1. Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel disusun dari unsur-unsur yang perlu dikenali dengan tepat. Variabel adalah lambang, biasanya huruf seperti \( x \), \( y \), atau \( p \), yang mewakili nilai yang belum diketahui. Koefisien adalah bilangan yang mengalikan variabel, misalnya 4 pada \( 4x \). Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, misalnya 7 pada \( 4x + 7 \).

Tanda sama dengan (\( = \)) menyatakan kedua ruas bernilai sama, sedangkan tanda ketidaksamaan (\( < \), \( > \), \( \le \), \( \ge \)) menyatakan kedua ruas tidak sama atau salah satunya lebih besar. Kata "paling banyak" dan "tidak lebih dari" diwakili tanda \( \le \), sedangkan "paling sedikit" dan "tidak kurang dari" diwakili tanda \( \ge \).

Suatu kalimat disebut linear satu variabel jika hanya memuat satu variabel dengan pangkat tertinggi satu. Koefisien dibaca beserta tandanya, sehingga pada \( 6 - 2x \) koefisien \( x \) adalah \( -2 \).

Latihan berikut disusun bertahap dari soal mengenali unsur sampai soal kontekstual yang menuntut penalaran.

Soal 1.1Mudah

Pada persamaan \( 5x + 8 = 23 \), koefisien dari \( x \) adalah ....

1. \( 5 \)
2. \( 8 \)
3. \( 23 \)
4. \( 13 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( 5x + 8 = 23 \). Ditanya koefisien dari \( x \).

Langkah 2: Kenali unsur-unsur persamaan

Koefisien adalah bilangan yang mengalikan variabel.

\[ \begin{aligned} 5x &= 5 \times x \quad \Rightarrow \text{koefisien } x = 5 \\ 8 &\quad \Rightarrow \text{konstanta ruas kiri} \\ 23 &\quad \Rightarrow \text{konstanta ruas kanan} \end{aligned} \]

Langkah 3: Kesimpulan dan jawaban

Koefisien dari \( x \) adalah \( 5 \), jawaban A. Pilihan B adalah konstanta, bukan koefisien.

Soal 1.2Mudah

Pada persamaan \( 3y - 7 = 14 \), konstanta pada ruas kiri adalah ....

1. \( 3 \)
2. \( 7 \)
3. \( -7 \)
4. \( 14 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( 3y - 7 = 14 \). Ditanya konstanta pada ruas kiri.

Langkah 2: Tulis ruas kiri dalam bentuk penjumlahan

Tanda kurang melekat pada bilangan di belakangnya:

\[ 3y - 7 = 3y + (-7) \]

Suku yang tidak memuat variabel adalah \( -7 \).

Langkah 3: Kesimpulan dan jawaban

Konstanta pada ruas kiri adalah \( -7 \), jawaban C. Pilihan B muncul jika tanda negatif diabaikan.

Soal 1.3Sedang

Kalimat berikut yang merupakan persamaan linear satu variabel adalah ....

1. \( x^2 - 4 = 5 \)
2. \( 3a + 2b = 8 \)
3. \( 4m + 6 \)
4. \( 7p - 5 = 16 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui empat kalimat matematika. Ditanya yang merupakan persamaan linear satu variabel.

Langkah 2: Tentukan syarat persamaan linear satu variabel

Ada tiga syarat: memuat tanda sama dengan, hanya memuat satu variabel, dan variabel berpangkat satu.

Langkah 3: Periksa setiap pilihan

\[ \begin{aligned} \text{A: } & x^2 - 4 = 5 \quad \text{(variabel berpangkat 2, bukan linear)} \\ \text{B: } & 3a + 2b = 8 \quad \text{(memuat dua variabel, } a \text{ dan } b) \\ \text{C: } & 4m + 6 \quad \text{(tidak ada tanda sama dengan, hanya bentuk aljabar)} \\ \text{D: } & 7p - 5 = 16 \quad \text{(satu variabel } p \text{ berpangkat 1 dan ada tanda sama dengan)} \end{aligned} \]

Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban

Hanya \( 7p - 5 = 16 \) yang memenuhi ketiga syarat, jawaban D.

Soal 1.4Sedang

Kalimat berikut yang dinyatakan dengan tanda ketidaksamaan \( \ge \) adalah ....

1. Nilai \( x \) lebih dari 5
2. Nilai \( x \) paling banyak 5
3. Nilai \( x \) tidak kurang dari 5
4. Nilai \( x \) kurang dari 5

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui empat kalimat dalam kata-kata. Ditanya kalimat yang berarti \( x \ge 5 \).

Langkah 2: Ubah setiap kalimat ke tanda ketidaksamaan

\[ \begin{aligned} \text{A: lebih dari 5} &\Rightarrow x > 5 \\ \text{B: paling banyak 5} &\Rightarrow x \le 5 \\ \text{C: tidak kurang dari 5} &\Rightarrow x \ge 5 \\ \text{D: kurang dari 5} &\Rightarrow x < 5 \end{aligned} \]

"Tidak kurang dari 5" berarti nilainya boleh 5 atau lebih besar, sehingga tanda \( \ge \).

Langkah 3: Kesimpulan dan jawaban

Kalimat "tidak kurang dari 5" bertanda \( \ge \), jawaban C. Pilihan A sering keliru dipilih karena tidak memperhatikan bahwa 5 ikut termasuk.

Soal 1.5Sedang

Perhatikan pertidaksamaan \( 6 - 2x \le 3x + 9 \). Pernyataan yang benar mengenai pertidaksamaan tersebut adalah ....

1. Koefisien \( x \) pada ruas kiri adalah \( 2 \)
2. Konstanta pada ruas kanan adalah \( 9 \)
3. Tanda ketidaksamaannya dibaca "kurang dari"
4. Pertidaksamaan tersebut memuat dua variabel

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui pertidaksamaan \( 6 - 2x \le 3x + 9 \). Ditanya pernyataan yang benar.

Langkah 2: Uraikan unsur-unsurnya

\[ \begin{aligned} \text{Ruas kiri: } 6 - 2x &= 6 + (-2)x \\ &\Rightarrow \text{konstanta } 6, \text{ koefisien } x \text{ adalah } -2 \\ \text{Ruas kanan: } 3x + 9 &\Rightarrow \text{koefisien } x \text{ adalah } 3, \text{ konstanta } 9 \\ \text{Tanda: } \le &\Rightarrow \text{kurang dari atau sama dengan} \end{aligned} \]

Langkah 3: Periksa setiap pilihan

\[ \begin{aligned} \text{A: } &\text{koefisien } x \text{ ruas kiri } -2, \text{ bukan } 2 \ (\text{salah}) \\ \text{B: } &\text{konstanta ruas kanan } 9 \ (\text{benar}) \\ \text{C: } &\text{tanda } \le \text{ dibaca kurang dari atau sama dengan} \ (\text{salah}) \\ \text{D: } &\text{hanya ada variabel } x \ (\text{salah}) \end{aligned} \]

Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban

Pernyataan yang benar adalah konstanta pada ruas kanan adalah \( 9 \), jawaban B.

Soal 1.6Sedang

Rina membeli 4 pulpen dengan harga yang sama dan sebuah buku seharga Rp7.500. Ia membayar seluruhnya Rp27.500. Jika harga satu pulpen dimisalkan \( p \) rupiah, model persamaan beserta unsur-unsurnya yang tepat adalah ....

1. \( 4p - 7.500 = 27.500 \), koefisien \( p \) adalah 4
2. \( 4p + 7.500 = 27.500 \), koefisien \( p \) adalah 4 dan konstanta ruas kiri 7.500
3. \( 7.500p + 4 = 27.500 \), koefisien \( p \) adalah 7.500 dan konstanta 4
4. \( 4p + 7.500 < 27.500 \), tanda ketidaksamaan "kurang dari"

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui 4 pulpen (harga \( p \) rupiah per buah), 1 buku Rp7.500, dan total pembayaran Rp27.500. Ditanya model persamaan dan unsur-unsurnya.

Langkah 2: Susun model matematika

Harga 4 pulpen adalah \( 4p \). Harga seluruh belanjaan sama dengan jumlah harga pulpen dan buku:

\[ 4p + 7.500 = 27.500 \]

Langkah 3: Kenali unsur-unsurnya

\[ \begin{aligned} \text{variabel} &= p \\ \text{koefisien } p &= 4 \\ \text{konstanta ruas kiri} &= 7.500 \\ \text{konstanta ruas kanan} &= 27.500 \\ \text{tanda} &= \text{sama dengan } (=) \end{aligned} \]

Langkah 4: Periksa pilihan lain

Pilihan A salah karena buku ditambahkan, bukan dikurangkan. Pilihan C menukar koefisien dan konstanta. Pilihan D memakai tanda \( < \), padahal Rina membayar tepat Rp27.500.

Pemeriksaan: \( 4p + 7.500 = 27.500 \) menghasilkan \( p = 5.000 \), dan \( 4 \times 5.000 + 7.500 = 27.500 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Model yang tepat adalah \( 4p + 7.500 = 27.500 \), jawaban B.

Soal 1.7Sulit (HOTS)

Perhatikan enam kalimat matematika berikut.
(1) \( 2x + 3 = 3x - 5 \)
(2) \( x^2 + 1 = 10 \)
(3) \( 4a - 9 < 2a \)
(4) \( 5 + 7 = 12 \)
(5) \( 3p + q = 8 \)
(6) \( 7m - 2 \ge 15 \)
Banyak kalimat yang merupakan persamaan atau pertidaksamaan linear satu variabel adalah ....

1. 2 kalimat
2. 3 kalimat
3. 4 kalimat
4. 5 kalimat

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui enam kalimat matematika. Ditanya banyak kalimat yang merupakan persamaan atau pertidaksamaan linear satu variabel.

Langkah 2: Tentukan syarat

Kalimat harus memuat tanda \( = \), \( < \), \( > \), \( \le \), atau \( \ge \), hanya memuat satu variabel, dan variabel berpangkat satu.

Langkah 3: Periksa setiap kalimat

\[ \begin{aligned} (1)\ & 2x + 3 = 3x - 5 \ \Rightarrow \text{persamaan, satu variabel, pangkat 1 (memenuhi)} \\ (2)\ & x^2 + 1 = 10 \ \Rightarrow \text{pangkat 2 (tidak memenuhi)} \\ (3)\ & 4a - 9 < 2a \ \Rightarrow \text{pertidaksamaan, satu variabel, pangkat 1 (memenuhi)} \\ (4)\ & 5 + 7 = 12 \ \Rightarrow \text{tidak ada variabel (tidak memenuhi)} \\ (5)\ & 3p + q = 8 \ \Rightarrow \text{dua variabel (tidak memenuhi)} \\ (6)\ & 7m - 2 \ge 15 \ \Rightarrow \text{pertidaksamaan, satu variabel, pangkat 1 (memenuhi)} \end{aligned} \]

Langkah 4: Hitung banyak kalimat yang memenuhi

Kalimat yang memenuhi adalah (1), (3), dan (6), yaitu 3 kalimat.

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Terdapat 3 kalimat yang memenuhi, jawaban B.

Soal 1.8Sulit (HOTS)

Persamaan \( (m + 3)x - 4 = 11 \) memiliki koefisien \( x \) sama dengan 5. Nilai \( m + x \) yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....

1. \( 2 \)
2. \( 3 \)
3. \( 5 \)
4. \( 8 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( (m + 3)x - 4 = 11 \) dengan koefisien \( x \) sama dengan 5. Ditanya nilai \( m + x \).

Langkah 2: Tentukan nilai \( m \)

Koefisien \( x \) pada persamaan tersebut adalah \( (m + 3) \), sehingga:

\[ \begin{aligned} m + 3 &= 5 \\ m &= 2 \end{aligned} \]

Langkah 3: Substitusikan ke persamaan

\[ 5x - 4 = 11 \]

Langkah 4: Selesaikan untuk \( x \)

\[ \begin{aligned} 5x - 4 + 4 &= 11 + 4 \\ 5x &= 15 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 5 \times 3 - 4 = 11 \) (sesuai).

Langkah 5: Hitung \( m + x \)

\[ \begin{aligned} m + x &= 2 + 3 \\ &= 5 \end{aligned} \]

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

Nilai \( m + x = 5 \), jawaban C. Pilihan B hanya nilai \( x \), pilihan A hanya nilai \( m \), dan pilihan D menjumlahkan koefisien dengan \( x \).

Soal 1.9Sulit (HOTS)

Sebuah toko kue menjual kue dengan harga Rp4.000 per buah. Bu Lina membeli \( x \) buah kue dan membayar ongkos kemas Rp5.000.
a. Jika total pembayaran Bu Lina Rp37.000, tulis persamaan dan tentukan nilai \( x \).
b. Sebutkan variabel, koefisien, konstanta pada kedua ruas, dan tanda hubung kedua ruas pada persamaan di bagian (a).
c. Jika uang Bu Lina paling banyak Rp50.000, tulis pertidaksamaannya, tentukan penyelesaiannya, dan banyak kue paling banyak yang dapat dibeli.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui harga kue Rp4.000 per buah, ongkos kemas Rp5.000, dan banyak kue \( x \). Ditanya (a) persamaan beserta nilai \( x \) jika total Rp37.000, (b) unsur-unsur persamaan, dan (c) pertidaksamaan jika uang paling banyak Rp50.000 beserta penyelesaiannya.

Langkah 2: Susun persamaan dan selesaikan (bagian a)

Total pembayaran adalah harga kue ditambah ongkos kemas:

\[ \begin{aligned} 4.000x + 5.000 &= 37.000 \\ 4.000x &= 32.000 \\ x &= \dfrac{32.000}{4.000} \\ &= 8 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 4.000 \times 8 + 5.000 = 32.000 + 5.000 = 37.000 \) (sesuai).

Langkah 3: Kenali unsur-unsur persamaan (bagian b)

\[ \begin{aligned} \text{variabel} &= x \ (\text{banyak kue}) \\ \text{koefisien } x &= 4.000 \\ \text{konstanta ruas kiri} &= 5.000 \\ \text{konstanta ruas kanan} &= 37.000 \\ \text{tanda} &= \text{sama dengan } (=) \end{aligned} \]

Langkah 4: Susun pertidaksamaan dan selesaikan (bagian c)

"Paling banyak Rp50.000" berarti total pembayaran tidak boleh melebihi Rp50.000, sehingga tandanya \( \le \):

\[ \begin{aligned} 4.000x + 5.000 &\le 50.000 \\ 4.000x &\le 45.000 \\ x &\le \dfrac{45.000}{4.000} \\ x &\le 11{,}25 \end{aligned} \]

Langkah 5: Tafsirkan sesuai konteks dan periksa

Banyak kue harus bilangan cacah, sehingga nilai \( x \) terbesar yang memenuhi adalah 11.

\[ \begin{aligned} x = 11:\ 4.000 \times 11 + 5.000 &= 49.000 \le 50.000 \\ x = 12:\ 4.000 \times 12 + 5.000 &= 53.000 > 50.000 \end{aligned} \]

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

(a) Persamaannya \( 4.000x + 5.000 = 37.000 \) dengan \( x = 8 \) kue. (b) Variabel \( x \), koefisien 4.000, konstanta 5.000 (ruas kiri) dan 37.000 (ruas kanan), tanda sama dengan. (c) Pertidaksamaannya \( 4.000x + 5.000 \le 50.000 \) dengan \( x \le 11{,}25 \), sehingga paling banyak 11 kue.

Soal 1.10Sulit (HOTS)

Dina diminta menerjemahkan kalimat "Lima kali suatu bilangan, ditambah 7, tidak lebih dari 32" ke dalam bentuk matematika. Dina menulis \( 5x + 7 \ge 32 \) dan menyatakan bahwa koefisien \( x \) adalah 7.
a. Tunjukkan dua kesalahan yang dilakukan Dina.
b. Tulis model yang benar, lalu sebutkan variabel, koefisien, konstanta pada kedua ruas, dan tanda ketidaksamaannya.
c. Tentukan penyelesaian model yang benar dan bilangan cacah terbesar yang memenuhi.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui kalimat "lima kali suatu bilangan, ditambah 7, tidak lebih dari 32", model Dina \( 5x + 7 \ge 32 \), dan pernyataan Dina bahwa koefisien \( x \) adalah 7. Ditanya (a) dua kesalahan Dina, (b) model yang benar beserta unsur-unsurnya, dan (c) penyelesaian beserta bilangan cacah terbesar.

Langkah 2: Temukan kesalahan Dina (bagian a)

Kesalahan pertama: "tidak lebih dari" berarti nilainya boleh sama dengan 32 atau lebih kecil, sehingga tandanya \( \le \), bukan \( \ge \).

Kesalahan kedua: pada \( 5x + 7 \), bilangan yang mengalikan \( x \) adalah 5, sehingga koefisien \( x \) adalah 5, sedangkan 7 adalah konstanta.

Langkah 3: Tulis model yang benar dan kenali unsurnya (bagian b)

\[ \begin{aligned} \text{model: } &5x + 7 \le 32 \\ \text{variabel} &= x \\ \text{koefisien } x &= 5 \\ \text{konstanta ruas kiri} &= 7 \\ \text{konstanta ruas kanan} &= 32 \\ \text{tanda} &= \le \ (\text{kurang dari atau sama dengan}) \end{aligned} \]

Langkah 4: Selesaikan pertidaksamaan (bagian c)

\[ \begin{aligned} 5x + 7 - 7 &\le 32 - 7 \\ 5x &\le 25 \\ x &\le \dfrac{25}{5} \\ x &\le 5 \end{aligned} \]

Langkah 5: Tentukan bilangan cacah terbesar dan periksa

Bilangan cacah yang kurang dari atau sama dengan 5 adalah 0, 1, 2, 3, 4, dan 5, sehingga yang terbesar adalah 5.

\[ \begin{aligned} x = 5:\ 5 \times 5 + 7 &= 32 \le 32 \\ x = 6:\ 5 \times 6 + 7 &= 37 > 32 \end{aligned} \]

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

(a) Dina keliru memakai tanda \( \ge \) (seharusnya \( \le \)) dan keliru menyebut koefisien \( x \) adalah 7 (seharusnya 5). (b) Model yang benar \( 5x + 7 \le 32 \) dengan variabel \( x \), koefisien 5, konstanta 7 dan 32, serta tanda \( \le \). (c) Penyelesaiannya \( x \le 5 \), dan bilangan cacah terbesar yang memenuhi adalah 5.

---

Subbab: 2. Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat matematika yang memuat satu variabel berpangkat satu dan dihubungkan dengan tanda sama dengan, misalnya \( 2x + 3 = 11 \).

Menyelesaikan persamaan berarti mencari nilai variabel yang membuat kedua ruas bernilai sama. Caranya memakai operasi yang setara, yaitu menambah, mengurangi, mengalikan, atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama (bukan nol), sehingga kesetaraan tetap terjaga.

Tujuannya mengisolasi variabel di salah satu ruas. Hasilnya dapat diperiksa dengan mensubstitusikan nilai variabel ke persamaan semula. Persamaan dapat memuat tanda kurung, pecahan, atau variabel di kedua ruas, dan sering muncul sebagai model matematika dari soal cerita tentang harga, umur, serta bangun datar.

Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut pemodelan dan penalaran.

Soal 2.1Mudah

Nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( 2x + 3 = 11 \) adalah ....

1. \( 7 \)
2. \( 8 \)
3. \( 4 \)
4. \( 3 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( 2x + 3 = 11 \). Ditanya nilai \( x \).

Langkah 2: Kurangi kedua ruas dengan 3

\[ \begin{aligned} 2x + 3 - 3 &= 11 - 3 \\ 2x &= 8 \end{aligned} \]

Langkah 3: Bagi kedua ruas dengan 2

\[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{8}{2} \\ x &= 4 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \) (sesuai).

Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban

Nilai \( x = 4 \), jawaban C.

Soal 2.2Mudah

Penyelesaian dari persamaan \( x - 9 = 14 \) adalah ....

1. \( 5 \)
2. \( 23 \)
3. \( -5 \)
4. \( -23 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( x - 9 = 14 \). Ditanya penyelesaiannya.

Langkah 2: Tambahkan 9 pada kedua ruas

Lawan dari mengurangi 9 adalah menambah 9.

\[ \begin{aligned} x - 9 + 9 &= 14 + 9 \\ x &= 23 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 23 - 9 = 14 \) (sesuai).

Langkah 3: Kesimpulan dan jawaban

Penyelesaiannya \( x = 23 \), jawaban B.

Soal 2.3Sedang

Nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( 5x - 7 = 3x + 9 \) adalah ....

1. \( 1 \)
2. \( 2 \)
3. \( 16 \)
4. \( 8 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( 5x - 7 = 3x + 9 \). Ditanya nilai \( x \).

Langkah 2: Kumpulkan suku \( x \) di ruas kiri

Kurangi kedua ruas dengan \( 3x \):

\[ \begin{aligned} 5x - 3x - 7 &= 3x - 3x + 9 \\ 2x - 7 &= 9 \end{aligned} \]

Langkah 3: Pindahkan konstanta ke ruas kanan

Tambahkan 7 pada kedua ruas:

\[ \begin{aligned} 2x - 7 + 7 &= 9 + 7 \\ 2x &= 16 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 2

\[ \begin{aligned} x &= \dfrac{16}{2} \\ &= 8 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: ruas kiri \( 5 \times 8 - 7 = 33 \), ruas kanan \( 3 \times 8 + 9 = 33 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Nilai \( x = 8 \), jawaban D.

Soal 2.4Sedang

Penyelesaian dari persamaan \( 4(x - 3) = 2x + 10 \) adalah ....

1. \( 11 \)
2. \( 6{,}5 \)
3. \( 1 \)
4. \( 22 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( 4(x - 3) = 2x + 10 \). Ditanya penyelesaiannya.

Langkah 2: Uraikan tanda kurung

Kalikan 4 dengan kedua suku di dalam kurung:

\[ \begin{aligned} 4(x - 3) &= 2x + 10 \\ 4x - 12 &= 2x + 10 \end{aligned} \]

Langkah 3: Kumpulkan suku \( x \) di ruas kiri

Kurangi kedua ruas dengan \( 2x \):

\[ \begin{aligned} 4x - 2x - 12 &= 10 \\ 2x - 12 &= 10 \end{aligned} \]

Langkah 4: Selesaikan untuk \( x \)

\[ \begin{aligned} 2x - 12 + 12 &= 10 + 12 \\ 2x &= 22 \\ x &= \dfrac{22}{2} \\ &= 11 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: ruas kiri \( 4(11 - 3) = 4 \times 8 = 32 \), ruas kanan \( 2 \times 11 + 10 = 32 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Penyelesaiannya \( x = 11 \), jawaban A.

Soal 2.5Sedang

Nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( \dfrac{2x}{3} - 1 = 7 \) adalah ....

1. \( 9 \)
2. \( 16 \)
3. \( 12 \)
4. \( 4 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui persamaan \( \dfrac{2x}{3} - 1 = 7 \). Ditanya nilai \( x \).

Langkah 2: Tambahkan 1 pada kedua ruas

\[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{3} - 1 + 1 &= 7 + 1 \\ \dfrac{2x}{3} &= 8 \end{aligned} \]

Langkah 3: Kalikan kedua ruas dengan 3

Cara ini menghilangkan penyebut:

\[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{3} \times 3 &= 8 \times 3 \\ 2x &= 24 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 2

\[ \begin{aligned} x &= \dfrac{24}{2} \\ &= 12 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( \dfrac{2 \times 12}{3} - 1 = 8 - 1 = 7 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Nilai \( x = 12 \), jawaban C.

Soal 2.6Sedang

Rina membeli 3 buku tulis dan sebuah penghapus di koperasi sekolah. Harga penghapus Rp1.500, dan Rina membayar seluruhnya Rp16.500. Jika harga satu buku tulis adalah \( x \) rupiah, harga satu buku tulis adalah ....

1. Rp6.000
2. Rp5.000
3. Rp15.000
4. Rp5.500

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui 3 buku tulis dan 1 penghapus (Rp1.500) dengan total Rp16.500. Ditanya harga satu buku tulis.

Langkah 2: Susun model matematika

Harga 3 buku tulis ditambah harga penghapus sama dengan total pembayaran:

\[ 3x + 1.500 = 16.500 \]

Langkah 3: Kurangi kedua ruas dengan 1.500

\[ \begin{aligned} 3x + 1.500 - 1.500 &= 16.500 - 1.500 \\ 3x &= 15.000 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 3

\[ \begin{aligned} x &= \dfrac{15.000}{3} \\ &= 5.000 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 3 \times 5.000 + 1.500 = 15.000 + 1.500 = 16.500 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Harga satu buku tulis adalah Rp5.000, jawaban B.

Soal 2.7Sulit (HOTS)

Umur Bu Sari sekarang 5 kali umur anaknya. Enam tahun lagi, umur Bu Sari menjadi 3 kali umur anaknya pada saat itu. Umur Bu Sari sekarang adalah ....

1. 30 tahun
2. 36 tahun
3. 24 tahun
4. 6 tahun

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui umur Bu Sari sekarang 5 kali umur anaknya, dan enam tahun lagi umur Bu Sari 3 kali umur anaknya. Ditanya umur Bu Sari sekarang.

Langkah 2: Misalkan umur anak dan susun model

Misalkan umur anak sekarang \( x \) tahun, sehingga umur Bu Sari sekarang \( 5x \) tahun. Enam tahun lagi umur anak \( x + 6 \) dan umur Bu Sari \( 5x + 6 \), maka:

\[ 5x + 6 = 3(x + 6) \]

Langkah 3: Uraikan tanda kurung

\[ \begin{aligned} 5x + 6 &= 3x + 18 \end{aligned} \]

Langkah 4: Selesaikan untuk \( x \)

Kurangi kedua ruas dengan \( 3x \), lalu kurangi dengan 6:

\[ \begin{aligned} 5x - 3x + 6 &= 18 \\ 2x + 6 &= 18 \\ 2x &= 12 \\ x &= 6 \end{aligned} \]

Langkah 5: Hitung umur Bu Sari sekarang

\[ \begin{aligned} 5x &= 5 \times 6 \\ &= 30 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: enam tahun lagi umur Bu Sari 36 tahun dan umur anak 12 tahun, dan \( 36 = 3 \times 12 \) (sesuai).

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

Umur Bu Sari sekarang 30 tahun, jawaban A.

Soal 2.8Sulit (HOTS)

Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki panjang \( (3x - 2) \) meter dan lebar \( (x + 4) \) meter. Jika keliling taman tersebut 52 meter, luas taman adalah ....

1. \( 26 \text{ m}^2 \)
2. \( 60 \text{ m}^2 \)
3. \( 144 \text{ m}^2 \)
4. \( 160 \text{ m}^2 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui panjang \( (3x - 2) \) m, lebar \( (x + 4) \) m, dan keliling 52 m. Ditanya luas taman.

Langkah 2: Susun persamaan dari rumus keliling

Keliling persegi panjang \( = 2 \times (\text{panjang} + \text{lebar}) \), sehingga:

\[ 2\big((3x - 2) + (x + 4)\big) = 52 \]

Langkah 3: Sederhanakan dan selesaikan untuk \( x \)

\[ \begin{aligned} 2(4x + 2) &= 52 \\ 4x + 2 &= \dfrac{52}{2} \\ 4x + 2 &= 26 \\ 4x &= 24 \\ x &= 6 \end{aligned} \]

Langkah 4: Hitung panjang dan lebar

\[ \begin{aligned} \text{panjang} &= 3 \times 6 - 2 = 16 \text{ m} \\ \text{lebar} &= 6 + 4 = 10 \text{ m} \end{aligned} \]

Pemeriksaan: keliling \( = 2 \times (16 + 10) = 52 \) m (sesuai).

Langkah 5: Hitung luas taman

\[ \begin{aligned} \text{luas} &= \text{panjang} \times \text{lebar} \\ &= 16 \times 10 \\ &= 160 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

Luas taman adalah \( 160 \text{ m}^2 \), jawaban D.

Soal 2.9Sulit (HOTS)

Sebuah toko daring A menjual pensil seharga Rp2.000 per buah dengan ongkos kirim Rp15.000. Toko daring B menjual pensil yang sama seharga Rp2.500 per buah dengan ongkos kirim Rp9.000. Misalkan banyak pensil yang dibeli adalah \( x \) buah.
a. Tentukan banyak pensil agar total biaya di kedua toko sama, beserta besar biayanya.
b. Jika Dina ingin membeli 20 pensil, toko mana yang lebih murah dan berapa selisihnya?

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui toko A: Rp2.000 per pensil dan ongkos kirim Rp15.000; toko B: Rp2.500 per pensil dan ongkos kirim Rp9.000. Ditanya (a) banyak pensil agar biaya kedua toko sama beserta biayanya, dan (b) toko yang lebih murah untuk 20 pensil beserta selisihnya.

Langkah 2: Susun model biaya tiap toko

\[ \begin{aligned} \text{Biaya A} &= 2.000x + 15.000 \\ \text{Biaya B} &= 2.500x + 9.000 \end{aligned} \]

Langkah 3: Samakan kedua biaya (bagian a)

\[ 2.000x + 15.000 = 2.500x + 9.000 \]

Langkah 4: Selesaikan untuk \( x \)

Kurangi kedua ruas dengan \( 2.000x \) dan dengan 9.000:

\[ \begin{aligned} 15.000 - 9.000 &= 2.500x - 2.000x \\ 6.000 &= 500x \\ x &= \dfrac{6.000}{500} \\ &= 12 \end{aligned} \]

Langkah 5: Hitung besar biaya dan periksa

\[ \begin{aligned} \text{Biaya A} &= 2.000 \times 12 + 15.000 = 39.000 \\ \text{Biaya B} &= 2.500 \times 12 + 9.000 = 39.000 \end{aligned} \]

Kedua biaya sama, yaitu Rp39.000 (sesuai).

Langkah 6: Hitung biaya untuk 20 pensil (bagian b)

\[ \begin{aligned} \text{Biaya A} &= 2.000 \times 20 + 15.000 = 55.000 \\ \text{Biaya B} &= 2.500 \times 20 + 9.000 = 59.000 \\ \text{Selisih} &= 59.000 - 55.000 = 4.000 \end{aligned} \]

Langkah 7: Kesimpulan dan jawaban

(a) Biaya kedua toko sama saat membeli 12 pensil, yaitu sebesar Rp39.000. (b) Untuk 20 pensil, toko A lebih murah, dengan selisih Rp4.000.

Soal 2.10Sulit (HOTS)

Raka memiliki sejumlah uang tabungan. Ia memberikan \( \dfrac{1}{4} \) bagian dari uangnya kepada adiknya, kemudian membeli buku seharga Rp12.000. Setelah itu uang Raka tersisa Rp27.000. Tentukan besar uang tabungan Raka mula-mula, dan berapa rupiah yang diberikan kepada adiknya.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui Raka memberi \( \dfrac{1}{4} \) uangnya kepada adik, membeli buku Rp12.000, dan sisa uangnya Rp27.000. Ditanya uang mula-mula dan jumlah uang yang diberikan kepada adik.

Langkah 2: Susun model matematika

Misalkan uang mula-mula \( x \) rupiah. Uang mula-mula dikurangi pemberian untuk adik dan harga buku sama dengan sisa uang:

\[ x - \dfrac{1}{4}x - 12.000 = 27.000 \]

Langkah 3: Sederhanakan suku \( x \)

\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{4}x &= \dfrac{4}{4}x - \dfrac{1}{4}x = \dfrac{3}{4}x \\ \dfrac{3}{4}x - 12.000 &= 27.000 \end{aligned} \]

Langkah 4: Tambahkan 12.000 pada kedua ruas

\[ \begin{aligned} \dfrac{3}{4}x - 12.000 + 12.000 &= 27.000 + 12.000 \\ \dfrac{3}{4}x &= 39.000 \end{aligned} \]

Langkah 5: Kalikan kedua ruas dengan kebalikan \( \dfrac{3}{4} \)

\[ \begin{aligned} x &= 39.000 \times \dfrac{4}{3} \\ &= 13.000 \times 4 \\ &= 52.000 \end{aligned} \]

Langkah 6: Hitung uang untuk adik dan periksa

\[ \begin{aligned} \text{untuk adik} &= \dfrac{1}{4} \times 52.000 = 13.000 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 52.000 - 13.000 - 12.000 = 27.000 \) (sesuai).

Langkah 7: Kesimpulan dan jawaban

Uang tabungan Raka mula-mula adalah Rp52.000, dan uang yang diberikan kepada adiknya adalah Rp13.000.

---

Subbab: 3. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat matematika yang memuat satu variabel berpangkat satu dan dihubungkan dengan tanda \( < \), \( > \), \( \le \), atau \( \ge \), misalnya \( 2x + 3 < 11 \). Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah semua nilai variabel yang membuat pertidaksamaan bernilai benar. Cara menyelesaikannya mirip persamaan, yaitu dengan operasi yang setara pada kedua ruas.

Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif juga tidak mengubah tanda, tetapi jika bilangannya negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik.

Pada garis bilangan, tanda \( < \) dan \( > \) digambarkan dengan noktah kosong, sedangkan tanda \( \le \) dan \( \ge \) digambarkan dengan noktah penuh, lalu daerah penyelesaiannya ditebalkan.

Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut pemodelan dan penalaran.

Soal 3.1Mudah

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( x + 4 < 10 \) dengan \( x \) bilangan real adalah ....

1. \( x > 6 \)
2. \( x > 14 \)
3. \( x < 6 \)
4. \( x < 14 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui pertidaksamaan \( x + 4 < 10 \). Ditanya himpunan penyelesaiannya.

Langkah 2: Kurangi kedua ruas dengan 4

Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda pertidaksamaan.

\[ \begin{aligned} x + 4 - 4 &< 10 - 4 \\ x &< 6 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: untuk \( x = 5 \), diperoleh \( 5 + 4 = 9 < 10 \) (sesuai).

Langkah 3: Sajikan pada garis bilangan

Tanda \( < \) memakai noktah kosong di 6, dan daerah penyelesaian berada di sebelah kiri 6.

Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban

HP \( = \{\, x \mid x < 6,\ x \in \mathbb{R} \,\} \), jawaban C.

Soal 3.2Mudah

Penyelesaian dari pertidaksamaan \( 3x \ge 12 \) dengan \( x \) bilangan real adalah ....

1. \( x \le 4 \)
2. \( x \le 36 \)
3. \( x \ge 36 \)
4. \( x \ge 4 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui pertidaksamaan \( 3x \ge 12 \). Ditanya penyelesaiannya.

Langkah 2: Bagi kedua ruas dengan 3

Pembagi 3 adalah bilangan positif, sehingga tanda \( \ge \) tidak berubah.

\[ \begin{aligned} \dfrac{3x}{3} &\ge \dfrac{12}{3} \\ x &\ge 4 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: untuk \( x = 4 \), diperoleh \( 3 \times 4 = 12 \ge 12 \), dan untuk \( x = 5 \), diperoleh \( 15 \ge 12 \) (sesuai).

Langkah 3: Sajikan pada garis bilangan

Tanda \( \ge \) memakai noktah penuh di 4, dan daerah penyelesaian berada di sebelah kanan 4.

Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban

HP \( = \{\, x \mid x \ge 4,\ x \in \mathbb{R} \,\} \), jawaban D.

Soal 3.3Sedang

Perhatikan garis bilangan berikut. Garis bilangan tersebut menyatakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ....

1. \( 2x - 1 \ge 5 \)
2. \( 3x + 2 < 11 \)
3. \( 4x - 3 \le 9 \)
4. \( 5x + 1 > 16 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui garis bilangan dengan noktah penuh di 3 dan daerah penyelesaian ke kiri. Ditanya pertidaksamaan yang HP-nya sesuai dengan garis bilangan tersebut.

Langkah 2: Baca garis bilangan

Noktah penuh berarti tanda \( \le \) atau \( \ge \), dan arah ke kiri berarti nilai yang lebih kecil. Jadi bentuk penyelesaiannya adalah:

\[ x \le 3 \]

Langkah 3: Selesaikan setiap pilihan

\[ \begin{aligned} \text{A: } 2x - 1 &\ge 5 \\ 2x &\ge 6 \\ x &\ge 3 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{B: } 3x + 2 &< 11 \\ 3x &< 9 \\ x &< 3 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{C: } 4x - 3 &\le 9 \\ 4x &\le 12 \\ x &\le 3 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{D: } 5x + 1 &> 16 \\ 5x &> 15 \\ x &> 3 \end{aligned} \]

Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban

Hanya pilihan C yang menghasilkan \( x \le 3 \), sesuai garis bilangan. Jawaban C.

Soal 3.4Sedang

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( -3x + 5 > 17 \) dengan \( x \) bilangan real adalah ....

1. \( x < -4 \)
2. \( x > -4 \)
3. \( x < 4 \)
4. \( x > 4 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui pertidaksamaan \( -3x + 5 > 17 \). Ditanya himpunan penyelesaiannya.

Langkah 2: Kurangi kedua ruas dengan 5

\[ \begin{aligned} -3x + 5 - 5 &> 17 - 5 \\ -3x &> 12 \end{aligned} \]

Langkah 3: Bagi kedua ruas dengan \( -3 \)

Pembagi \( -3 \) adalah bilangan negatif, sehingga tanda \( > \) harus dibalik menjadi \( < \).

\[ \begin{aligned} \dfrac{-3x}{-3} &< \dfrac{12}{-3} \\ x &< -4 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: untuk \( x = -5 \), diperoleh \( -3(-5) + 5 = 20 > 17 \) (sesuai).

Langkah 4: Sajikan pada garis bilangan

Tanda \( < \) memakai noktah kosong di \( -4 \), dan daerah penyelesaian berada di sebelah kiri.

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

HP \( = \{\, x \mid x < -4,\ x \in \mathbb{R} \,\} \), jawaban A. Pilihan B muncul jika tanda lupa dibalik.

Soal 3.5Sedang

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( 5x - 7 \le 2x + 8 \) dengan \( x \) bilangan real adalah ....

1. \( x \ge 5 \)
2. \( x \le \dfrac{1}{3} \)
3. \( x \le \dfrac{15}{7} \)
4. \( x \le 5 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui pertidaksamaan \( 5x - 7 \le 2x + 8 \). Ditanya himpunan penyelesaiannya.

Langkah 2: Kumpulkan suku \( x \) di ruas kiri

Kurangi kedua ruas dengan \( 2x \):

\[ \begin{aligned} 5x - 2x - 7 &\le 2x - 2x + 8 \\ 3x - 7 &\le 8 \end{aligned} \]

Langkah 3: Pindahkan konstanta ke ruas kanan

Tambahkan 7 pada kedua ruas:

\[ \begin{aligned} 3x - 7 + 7 &\le 8 + 7 \\ 3x &\le 15 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 3

\[ \begin{aligned} x &\le \dfrac{15}{3} \\ &\le 5 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: untuk \( x = 5 \), ruas kiri \( 5 \times 5 - 7 = 18 \) dan ruas kanan \( 2 \times 5 + 8 = 18 \), sehingga \( 18 \le 18 \). Untuk \( x = 0 \), diperoleh \( -7 \le 8 \) (sesuai).

Langkah 5: Sajikan pada garis bilangan

Tanda \( \le \) memakai noktah penuh di 5, dan daerah penyelesaian berada di sebelah kiri.

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

HP \( = \{\, x \mid x \le 5,\ x \in \mathbb{R} \,\} \), jawaban D.

Soal 3.6Sedang

Dina memiliki uang Rp50.000. Ia ingin membeli 4 buku tulis dengan harga yang sama dan sebuah pulpen seharga Rp6.000. Agar uang Dina cukup, harga satu buku tulis paling mahal adalah ....

1. Rp10.000
2. Rp11.000
3. Rp12.500
4. Rp14.000

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui uang Dina Rp50.000, membeli 4 buku tulis dan 1 pulpen seharga Rp6.000. Ditanya harga satu buku tulis paling mahal agar uang cukup.

Langkah 2: Susun model matematika

Misalkan harga satu buku tulis \( x \) rupiah. Total belanja tidak boleh melebihi uang Dina:

\[ 4x + 6.000 \le 50.000 \]

Langkah 3: Kurangi kedua ruas dengan 6.000

\[ \begin{aligned} 4x + 6.000 - 6.000 &\le 50.000 - 6.000 \\ 4x &\le 44.000 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 4

\[ \begin{aligned} x &\le \dfrac{44.000}{4} \\ &\le 11.000 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: jika \( x = 11.000 \), total belanja \( 4 \times 11.000 + 6.000 = 50.000 \), tepat sama dengan uang Dina (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Harga satu buku tulis paling mahal adalah Rp11.000, jawaban B. Pilihan A juga memenuhi, tetapi bukan yang paling mahal, sedangkan pilihan C dan D membuat uang tidak cukup.

Soal 3.7Sulit (HOTS)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( \dfrac{x - 2}{3} \ge \dfrac{x + 1}{2} - 1 \) dengan \( x \) bilangan real, kemudian sajikan pada garis bilangan.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui pertidaksamaan \( \dfrac{x - 2}{3} \ge \dfrac{x + 1}{2} - 1 \). Ditanya himpunan penyelesaian dan garis bilangannya.

Langkah 2: Hilangkan penyebut dengan KPK

KPK dari 3 dan 2 adalah 6. Kalikan kedua ruas dengan 6 (bilangan positif, tanda tidak berubah):

\[ \begin{aligned} 6 \times \dfrac{x - 2}{3} &\ge 6 \times \left( \dfrac{x + 1}{2} - 1 \right) \\ 2(x - 2) &\ge 3(x + 1) - 6 \end{aligned} \]

Langkah 3: Uraikan tanda kurung

\[ \begin{aligned} 2x - 4 &\ge 3x + 3 - 6 \\ 2x - 4 &\ge 3x - 3 \end{aligned} \]

Langkah 4: Selesaikan untuk \( x \)

Kurangi kedua ruas dengan \( 3x \), lalu tambahkan 4 pada kedua ruas:

\[ \begin{aligned} 2x - 3x - 4 &\ge 3x - 3x - 3 \\ -x - 4 &\ge -3 \\ -x &\ge 1 \end{aligned} \]

Kalikan kedua ruas dengan \( -1 \), sehingga tanda \( \ge \) dibalik menjadi \( \le \):

\[ x \le -1 \]

Pemeriksaan: untuk \( x = -2 \), ruas kiri \( \dfrac{-4}{3} \) dan ruas kanan \( -\dfrac{3}{2} \), serta \( -\dfrac{4}{3} \ge -\dfrac{3}{2} \) (benar). Untuk \( x = 0 \), ruas kiri \( -\dfrac{2}{3} \) dan ruas kanan \( -\dfrac{1}{2} \), serta \( -\dfrac{2}{3} \ge -\dfrac{1}{2} \) (salah, sesuai karena 0 di luar HP).

Langkah 5: Sajikan pada garis bilangan

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

HP \( = \{\, x \mid x \le -1,\ x \in \mathbb{R} \,\} \), dengan noktah penuh di \( -1 \) dan daerah penyelesaian ke kiri.

Soal 3.8Sulit (HOTS)

Bilangan bulat terkecil \( x \) yang memenuhi pertidaksamaan \( 2(3x - 1) > 4x + 9 \) adalah ....

1. \( 5 \)
2. \( 6 \)
3. \( 5{,}5 \)
4. \( 11 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui pertidaksamaan \( 2(3x - 1) > 4x + 9 \). Ditanya bilangan bulat terkecil \( x \) yang memenuhi.

Langkah 2: Uraikan tanda kurung

\[ \begin{aligned} 2(3x - 1) &> 4x + 9 \\ 6x - 2 &> 4x + 9 \end{aligned} \]

Langkah 3: Selesaikan untuk \( x \)

Kurangi kedua ruas dengan \( 4x \), lalu tambahkan 2, kemudian bagi 2:

\[ \begin{aligned} 6x - 4x - 2 &> 9 \\ 2x - 2 &> 9 \\ 2x &> 11 \\ x &> \dfrac{11}{2} \\ x &> 5{,}5 \end{aligned} \]

Langkah 4: Sajikan pada garis bilangan

Tanda \( > \) memakai noktah kosong di 5,5, yang terletak di antara 5 dan 6.

Langkah 5: Tentukan bilangan bulat terkecil

Bilangan bulat yang lebih besar dari 5,5 adalah 6, 7, 8, dan seterusnya, sehingga yang terkecil adalah 6.

Pemeriksaan: untuk \( x = 6 \), ruas kiri \( 2(3 \times 6 - 1) = 34 \) dan ruas kanan \( 4 \times 6 + 9 = 33 \), serta \( 34 > 33 \) (benar). Untuk \( x = 5 \), ruas kiri \( 2(3 \times 5 - 1) = 28 \) dan ruas kanan \( 4 \times 5 + 9 = 29 \), serta \( 28 > 29 \) (salah).

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

Bilangan bulat terkecil yang memenuhi adalah \( 6 \), jawaban B. Nilai 5,5 bukan bilangan bulat dan juga tidak termasuk HP karena tandanya \( > \).

Soal 3.9Sulit (HOTS)

Sebuah lift barang hanya boleh memuat beban paling berat 400 kg. Pak Anto (massa 70 kg) dan Pak Beni (massa 65 kg) naik lift tersebut bersama sejumlah kotak, dan setiap kotak bermassa 15 kg. Misalkan banyak kotak adalah \( x \) buah.
a. Susun pertidaksamaan dan tentukan himpunan penyelesaiannya.
b. Sajikan himpunan penyelesaian pada garis bilangan untuk \( x \) bilangan cacah.
c. Tentukan banyak kotak paling banyak yang dapat dimuat.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui beban maksimum lift 400 kg, massa Pak Anto 70 kg, massa Pak Beni 65 kg, dan massa tiap kotak 15 kg. Ditanya (a) pertidaksamaan beserta HP-nya, (b) garis bilangannya, dan (c) banyak kotak paling banyak.

Langkah 2: Susun model matematika (bagian a)

Massa kedua orang adalah \( 70 + 65 = 135 \) kg. Total beban tidak boleh melebihi 400 kg:

\[ 135 + 15x \le 400 \]

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan

Kurangi kedua ruas dengan 135, lalu bagi dengan 15:

\[ \begin{aligned} 135 - 135 + 15x &\le 400 - 135 \\ 15x &\le 265 \\ x &\le \dfrac{265}{15} \\ x &\le \dfrac{53}{3} \\ x &\le 17\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Langkah 4: Terapkan syarat bilangan cacah

Banyak kotak harus berupa bilangan cacah, sehingga nilai \( x \) yang memenuhi adalah:

\[ x \in \{0, 1, 2, \ldots, 17\} \]

Pemeriksaan: untuk \( x = 17 \), beban \( 135 + 15 \times 17 = 390 \) kg \( \le 400 \) kg (aman). Untuk \( x = 18 \), beban \( 135 + 15 \times 18 = 405 \) kg \( > 400 \) kg (melebihi batas).

Langkah 5: Sajikan pada garis bilangan (bagian b)

Karena \( x \) bilangan cacah, HP digambarkan sebagai noktah-noktah pada bilangan 0 sampai 17.

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

(a) Pertidaksamaan \( 135 + 15x \le 400 \) dengan penyelesaian \( x \le 17\dfrac{2}{3} \). (b) HP \( = \{0, 1, 2, \ldots, 17\} \), seperti pada garis bilangan. (c) Kotak paling banyak yang dapat dimuat adalah 17 buah.

Soal 3.10Sulit (HOTS)

Sebuah sensor pada ruang pendingin buah menampilkan nilai \( 3T - 6 \), dengan \( T \) adalah suhu ruangan dalam \( ^\circ\text{C} \). Ruangan dinyatakan aman jika nilai pada sensor lebih dari 12 dan tidak lebih dari 27.
a. Susun pertidaksamaan dan tentukan himpunan penyelesaian untuk \( T \) bilangan real.
b. Sajikan himpunan penyelesaian pada garis bilangan.
c. Tentukan banyak suhu berupa bilangan bulat yang membuat ruangan aman.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui nilai sensor \( 3T - 6 \), ruangan aman jika nilainya lebih dari 12 dan tidak lebih dari 27. Ditanya (a) HP untuk \( T \), (b) garis bilangannya, dan (c) banyak suhu bilangan bulat yang aman.

Langkah 2: Susun model matematika (bagian a)

Syarat "lebih dari 12" memakai \( > \) dan "tidak lebih dari 27" memakai \( \le \). Keduanya digabung menjadi pertidaksamaan ganda:

\[ 12 < 3T - 6 \le 27 \]

Langkah 3: Tambahkan 6 pada ketiga bagian

\[ \begin{aligned} 12 + 6 &< 3T - 6 + 6 \le 27 + 6 \\ 18 &< 3T \le 33 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi ketiga bagian dengan 3

Pembagi 3 positif, sehingga tanda tidak berubah:

\[ \begin{aligned} \dfrac{18}{3} &< \dfrac{3T}{3} \le \dfrac{33}{3} \\ 6 &< T \le 11 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: untuk \( T = 6 \), nilai sensor \( 3 \times 6 - 6 = 12 \), tidak lebih dari 12 sehingga tidak aman. Untuk \( T = 11 \), nilai sensor \( 3 \times 11 - 6 = 27 \), tidak lebih dari 27 sehingga aman (sesuai).

Langkah 5: Sajikan pada garis bilangan (bagian b)

Noktah kosong di 6 (karena \( < \)) dan noktah penuh di 11 (karena \( \le \)), dengan ruas garis di antaranya ditebalkan.

Langkah 6: Tentukan bilangan bulat yang memenuhi (bagian c)

Bilangan bulat \( T \) dengan \( 6 < T \le 11 \) adalah:

\[ T \in \{7, 8, 9, 10, 11\} \]

Banyaknya ada 5 nilai.

Langkah 7: Kesimpulan dan jawaban

(a) HP \( = \{\, T \mid 6 < T \le 11,\ T \in \mathbb{R} \,\} \). (b) Garis bilangan seperti gambar di atas. (c) Terdapat 5 suhu bilangan bulat yang aman, yaitu \( 7, 8, 9, 10, \) dan \( 11 \) \( ^\circ\text{C} \).

Subbab: 4. Pemodelan dan Pemecahan Masalah

Pemodelan matematika adalah proses menerjemahkan masalah kontekstual ke dalam bahasa matematika, yaitu persamaan atau pertidaksamaan linear satu variabel. Langkah pertamanya adalah memahami cerita dan menentukan besaran yang dicari, lalu memisalkannya dengan sebuah variabel, misalnya \( x \).

Kata-kata dalam soal diubah menjadi simbol: "sama dengan" menjadi \( = \), "kurang dari" menjadi \( < \), "paling banyak" atau "tidak lebih dari" menjadi \( \le \), serta "paling sedikit" atau "minimal" menjadi \( \ge \). Setelah model terbentuk, penyelesaiannya dicari dengan operasi yang setara pada kedua ruas. Langkah terakhir, yang sering terlewat, adalah menafsirkan hasil sesuai konteks.

Banyak benda harus berupa bilangan cacah, waktu tidak boleh negatif, dan jawaban dari pertidaksamaan perlu disesuaikan dengan syarat tersebut. Hasil akhir juga perlu diperiksa dengan mensubstitusikannya kembali ke cerita.

Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut pemodelan dan penalaran.

Soal 4.1Mudah

Sebuah bilangan dikalikan 4, kemudian hasilnya dikurangi 7, dan diperoleh 25. Bilangan tersebut adalah ....

1. \( 4{,}5 \)
2. \( 8 \)
3. \( 32 \)
4. \( 18 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui suatu bilangan dikali 4, dikurangi 7, hasilnya 25. Ditanya bilangan tersebut.

Langkah 2: Susun model matematika

Misalkan bilangan itu \( x \). Dikali 4 menjadi \( 4x \), dikurangi 7 menjadi \( 4x - 7 \), sehingga:

\[ 4x - 7 = 25 \]

Langkah 3: Tambahkan 7 pada kedua ruas

\[ \begin{aligned} 4x - 7 + 7 &= 25 + 7 \\ 4x &= 32 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 4

\[ \begin{aligned} x &= \dfrac{32}{4} \\ &= 8 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 4 \times 8 - 7 = 32 - 7 = 25 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Bilangan tersebut adalah \( 8 \), jawaban B. Pilihan C muncul jika lupa membagi dengan 4.

Soal 4.2Mudah

Bu Ratna membeli 5 kg jeruk dengan harga per kilogram sama. Ia membayar dengan uang Rp100.000 dan menerima kembalian Rp15.000. Harga 1 kg jeruk adalah ....

1. Rp3.000
2. Rp17.000
3. Rp20.000
4. Rp23.000

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui jeruk 5 kg, uang yang dibayarkan Rp100.000, dan kembalian Rp15.000. Ditanya harga 1 kg jeruk.

Langkah 2: Susun model matematika

Misalkan harga 1 kg jeruk \( x \) rupiah. Harga belanja ditambah kembalian sama dengan uang yang dibayarkan:

\[ 5x + 15.000 = 100.000 \]

Langkah 3: Kurangi kedua ruas dengan 15.000

\[ \begin{aligned} 5x + 15.000 - 15.000 &= 100.000 - 15.000 \\ 5x &= 85.000 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 5

\[ \begin{aligned} x &= \dfrac{85.000}{5} \\ &= 17.000 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 5 \times 17.000 = 85.000 \), dan \( 100.000 - 85.000 = 15.000 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Harga 1 kg jeruk adalah Rp17.000, jawaban B.

Soal 4.3Sedang

Sebuah taksi daring menetapkan tarif awal Rp8.000 ditambah Rp3.500 untuk setiap kilometer perjalanan. Budi membayar Rp36.000 untuk satu kali perjalanan. Jarak perjalanan Budi adalah ....

1. 6 km
2. 7 km
3. 8 km
4. 10 km

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui tarif awal Rp8.000, tarif Rp3.500 per km, dan total bayar Rp36.000. Ditanya jarak perjalanan.

Langkah 2: Susun model matematika

Misalkan jarak perjalanan \( x \) km. Total bayar adalah tarif awal ditambah tarif per kilometer dikali jarak:

\[ 8.000 + 3.500x = 36.000 \]

Langkah 3: Kurangi kedua ruas dengan 8.000

\[ \begin{aligned} 3.500x &= 36.000 - 8.000 \\ 3.500x &= 28.000 \end{aligned} \]

Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 3.500

\[ \begin{aligned} x &= \dfrac{28.000}{3.500} \\ &= 8 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 8.000 + 3.500 \times 8 = 8.000 + 28.000 = 36.000 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Jarak perjalanan Budi adalah 8 km, jawaban C.

Soal 4.4Sedang

Pak Joko membawa uang Rp300.000 untuk membeli kaos seharga Rp45.000 per potong. Ia ingin uangnya masih tersisa paling sedikit Rp50.000 setelah berbelanja. Banyak kaos paling banyak yang dapat dibeli Pak Joko adalah ....

1. 6 potong
2. 7 potong
3. 4 potong
4. 5 potong

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui uang Rp300.000, harga kaos Rp45.000 per potong, dan sisa uang paling sedikit Rp50.000. Ditanya banyak kaos paling banyak yang dapat dibeli.

Langkah 2: Susun model matematika

Misalkan banyak kaos \( x \) potong. Uang yang dipakai ditambah sisa uang tidak boleh melebihi Rp300.000. Dengan kata lain, sisa uang harus paling sedikit Rp50.000:

\[ 300.000 - 45.000x \ge 50.000 \]

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan

Kurangi kedua ruas dengan 300.000, lalu bagi dengan \( -45.000 \) (tanda dibalik karena pembagi negatif):

\[ \begin{aligned} -45.000x &\ge 50.000 - 300.000 \\ -45.000x &\ge -250.000 \\ x &\le \dfrac{250.000}{45.000} \\ x &\le \dfrac{50}{9} \\ x &\le 5\dfrac{5}{9} \end{aligned} \]

Langkah 4: Tafsirkan sesuai konteks

Banyak kaos harus bilangan cacah, sehingga nilai \( x \) terbesar yang memenuhi adalah 5.

Pemeriksaan: untuk \( x = 5 \), sisa uang \( 300.000 - 225.000 = 75.000 \ge 50.000 \) (aman). Untuk \( x = 6 \), sisa uang \( 300.000 - 270.000 = 30.000 < 50.000 \) (tidak memenuhi).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Pak Joko dapat membeli paling banyak 5 potong kaos, jawaban D. Pilihan A muncul jika syarat sisa uang Rp50.000 diabaikan.

Soal 4.5Sedang

Sebuah bak berisi 240 liter air. Air dialirkan keluar melalui keran dengan debit tetap 12 liter per menit. Agar air yang tersisa di bak tidak kurang dari 60 liter, keran paling lama dibuka selama ....

1. 20 menit
2. 15 menit
3. 25 menit
4. 5 menit

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui air awal 240 liter, debit keluar 12 liter per menit, dan sisa air tidak kurang dari 60 liter. Ditanya lama keran dibuka paling lama.

Langkah 2: Susun model matematika

Misalkan lama keran dibuka \( t \) menit. "Tidak kurang dari" berarti \( \ge \):

\[ 240 - 12t \ge 60 \]

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan

\[ \begin{aligned} -12t &\ge 60 - 240 \\ -12t &\ge -180 \\ t &\le \dfrac{-180}{-12} \\ t &\le 15 \end{aligned} \]

Tanda dibalik karena kedua ruas dibagi \( -12 \).

Langkah 4: Tafsirkan dan sajikan pada garis bilangan

Waktu tidak boleh negatif, sehingga HP-nya adalah \( 0 \le t \le 15 \), dengan noktah penuh di 0 dan 15.

Pemeriksaan: untuk \( t = 15 \), sisa air \( 240 - 12 \times 15 = 60 \) liter (tepat batas). Untuk \( t = 16 \), sisa air \( 240 - 192 = 48 \) liter \( < 60 \) (tidak memenuhi).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Keran paling lama dibuka 15 menit, jawaban B. Pilihan C muncul jika kedua ruas salah dioperasikan menjadi \( 12t \le 300 \).

Soal 4.6Sedang

Jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah 78. Bilangan terbesar dari ketiga bilangan tersebut adalah ....

1. \( 28 \)
2. \( 24 \)
3. \( 26 \)
4. \( 30 \)

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah 78. Ditanya bilangan terbesar.

Langkah 2: Susun model matematika

Bilangan genap berurutan selisihnya 2. Misalkan bilangan terkecil \( x \), sehingga ketiga bilangan adalah \( x \), \( x + 2 \), dan \( x + 4 \):

\[ x + (x + 2) + (x + 4) = 78 \]

Langkah 3: Sederhanakan dan selesaikan

\[ \begin{aligned} 3x + 6 &= 78 \\ 3x &= 72 \\ x &= 24 \end{aligned} \]

Langkah 4: Tentukan bilangan terbesar

\[ \begin{aligned} \text{bilangan terbesar} &= x + 4 \\ &= 24 + 4 \\ &= 28 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: ketiga bilangan adalah 24, 26, dan 28, serta \( 24 + 26 + 28 = 78 \) (sesuai).

Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban

Bilangan terbesar adalah \( 28 \), jawaban A. Pilihan B adalah bilangan terkecil dan pilihan C adalah bilangan tengah.

Soal 4.7Sulit (HOTS)

Dua tempat penyewaan sepeda menawarkan tarif berbeda. Tempat X menetapkan biaya tetap Rp20.000 ditambah Rp5.000 per jam. Tempat Y menetapkan tarif Rp8.000 per jam tanpa biaya tetap. Misalkan lama penyewaan adalah \( t \) jam.
a. Susun pertidaksamaan agar menyewa di tempat X lebih murah daripada di tempat Y, lalu tentukan penyelesaiannya.
b. Sajikan penyelesaian pada garis bilangan.
c. Jika lama sewa dihitung dalam jam penuh, tentukan lama sewa paling sedikit agar tempat X lebih murah, dan periksa jawabannya.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui tempat X: Rp20.000 tetap ditambah Rp5.000 per jam, dan tempat Y: Rp8.000 per jam. Ditanya (a) pertidaksamaan beserta penyelesaiannya, (b) garis bilangannya, dan (c) lama sewa paling sedikit dalam jam penuh.

Langkah 2: Susun model biaya dan pertidaksamaan (bagian a)

\[ \begin{aligned} \text{Biaya X} &= 20.000 + 5.000t \\ \text{Biaya Y} &= 8.000t \end{aligned} \]

X lebih murah daripada Y berarti biaya X kurang dari biaya Y:

\[ 20.000 + 5.000t < 8.000t \]

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan

Kurangi kedua ruas dengan \( 5.000t \), lalu bagi dengan 3.000 (positif, tanda tetap):

\[ \begin{aligned} 20.000 &< 8.000t - 5.000t \\ 20.000 &< 3.000t \\ t &> \dfrac{20.000}{3.000} \\ t &> \dfrac{20}{3} \\ t &> 6\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Langkah 4: Sajikan pada garis bilangan (bagian b)

Tanda \( > \) memakai noktah kosong di \( 6\dfrac{2}{3} \), yang terletak di antara 6 dan 7, dan daerah penyelesaian ke kanan.

Langkah 5: Tafsirkan untuk jam penuh dan periksa (bagian c)

Jam penuh yang lebih dari \( 6\dfrac{2}{3} \) adalah 7, 8, 9, dan seterusnya, sehingga yang paling sedikit adalah 7 jam.

\[ \begin{aligned} t = 7:\ \text{X} &= 20.000 + 5.000 \times 7 = 55.000 \\ \text{Y} &= 8.000 \times 7 = 56.000 \\ t = 6:\ \text{X} &= 20.000 + 5.000 \times 6 = 50.000 \\ \text{Y} &= 8.000 \times 6 = 48.000 \end{aligned} \]

Pada 7 jam, X lebih murah Rp1.000. Pada 6 jam, X justru lebih mahal Rp2.000 (sesuai).

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

(a) Model \( 20.000 + 5.000t < 8.000t \) dengan penyelesaian \( t > 6\dfrac{2}{3} \). (b) Garis bilangan seperti gambar di atas. (c) Tempat X lebih murah jika sepeda disewa paling sedikit 7 jam.

Soal 4.8Sulit (HOTS)

Sebuah wahana menjual tiket dewasa seharga Rp25.000 dan tiket anak seharga Rp15.000. Sebuah rombongan yang terdiri dari 12 orang membeli tiket dan membayar seluruhnya Rp220.000. Banyak anak dalam rombongan tersebut adalah ....

1. 4 anak
2. 6 anak
3. 10 anak
4. 8 anak

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui tiket dewasa Rp25.000, tiket anak Rp15.000, rombongan 12 orang, dan total pembayaran Rp220.000. Ditanya banyak anak.

Langkah 2: Misalkan variabel

Misalkan banyak orang dewasa \( x \). Karena rombongan 12 orang, banyak anak adalah \( 12 - x \).

Langkah 3: Susun model matematika

Total pembayaran adalah harga tiket dewasa ditambah harga tiket anak:

\[ 25.000x + 15.000(12 - x) = 220.000 \]

Langkah 4: Uraikan dan selesaikan

\[ \begin{aligned} 25.000x + 180.000 - 15.000x &= 220.000 \\ 10.000x + 180.000 &= 220.000 \\ 10.000x &= 40.000 \\ x &= 4 \end{aligned} \]

Langkah 5: Hitung banyak anak dan periksa

\[ \begin{aligned} \text{banyak anak} &= 12 - x \\ &= 12 - 4 \\ &= 8 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: \( 4 \times 25.000 + 8 \times 15.000 = 100.000 + 120.000 = 220.000 \) (sesuai).

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

Banyak anak adalah 8 orang, jawaban D. Nilai \( x = 4 \) adalah banyak orang dewasa, sehingga pilihan A merupakan jawaban yang menjawab pertanyaan yang keliru.

Soal 4.9Sulit (HOTS)

Dani memiliki tabungan Rp40.000 dan menabung Rp15.000 setiap minggu. Ia ingin membeli sepasang sepatu seharga Rp190.000. Misalkan lama menabung adalah \( w \) minggu.
a. Susun pertidaksamaan dan tentukan penyelesaiannya agar tabungan Dani cukup untuk membeli sepatu.
b. Sajikan penyelesaian pada garis bilangan.
c. Jika Dani juga ingin membeli tas seharga Rp35.000 sehingga total kebutuhan Rp225.000, tentukan lama menabung paling sedikit dan tafsirkan hasilnya.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui tabungan awal Rp40.000, tabungan Rp15.000 per minggu, harga sepatu Rp190.000, dan harga tas Rp35.000. Ditanya (a) pertidaksamaan beserta penyelesaiannya, (b) garis bilangannya, dan (c) lama menabung paling sedikit untuk sepatu dan tas.

Langkah 2: Susun model matematika (bagian a)

Tabungan setelah \( w \) minggu adalah \( 40.000 + 15.000w \). Agar cukup, tabungan harus paling sedikit sama dengan harga sepatu:

\[ 40.000 + 15.000w \ge 190.000 \]

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan

\[ \begin{aligned} 15.000w &\ge 190.000 - 40.000 \\ 15.000w &\ge 150.000 \\ w &\ge \dfrac{150.000}{15.000} \\ w &\ge 10 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: untuk \( w = 10 \), tabungan \( 40.000 + 150.000 = 190.000 \), tepat sama dengan harga sepatu (sesuai).

Langkah 4: Sajikan pada garis bilangan (bagian b)

Tanda \( \ge \) memakai noktah penuh di 10, dan daerah penyelesaian ke kanan.

Langkah 5: Model dan penyelesaian untuk sepatu dan tas (bagian c)

\[ \begin{aligned} 40.000 + 15.000w &\ge 225.000 \\ 15.000w &\ge 185.000 \\ w &\ge \dfrac{185.000}{15.000} \\ w &\ge \dfrac{37}{3} \\ w &\ge 12\dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

Langkah 6: Tafsirkan hasil dan periksa

Lama menabung dihitung dalam minggu penuh, sehingga nilai \( w \) yang memenuhi adalah 13, 14, dan seterusnya. Yang paling sedikit adalah 13 minggu.

\[ \begin{aligned} w = 12:\ 40.000 + 15.000 \times 12 &= 220.000 < 225.000 \\ w = 13:\ 40.000 + 15.000 \times 13 &= 235.000 \ge 225.000 \end{aligned} \]

Pada minggu ke-12, tabungan masih kurang Rp5.000, sehingga harus menunggu hingga minggu ke-13.

Langkah 7: Kesimpulan dan jawaban

(a) Model \( 40.000 + 15.000w \ge 190.000 \) dengan penyelesaian \( w \ge 10 \). (b) Garis bilangan seperti gambar di atas. (c) Untuk sepatu dan tas, Dani perlu menabung paling sedikit 13 minggu, bukan 12 minggu, karena hasil \( 12\dfrac{1}{3} \) harus dibulatkan ke atas.

Soal 4.10Sulit (HOTS)

Sebuah panitia sekolah mencetak buku kenangan. Biaya tetap percetakan Rp600.000, dan biaya cetak Rp12.000 untuk setiap buku. Buku dijual dengan harga Rp20.000 per buah. Misalkan banyak buku yang terjual adalah \( x \) buah, dan semua buku yang dicetak habis terjual.
a. Tentukan banyak buku yang harus terjual agar panitia mencapai titik impas (pendapatan sama dengan biaya).
b. Tentukan banyak buku yang harus terjual agar panitia memperoleh keuntungan paling sedikit Rp400.000.
c. Tafsirkan hasil (a) dan (b) dalam konteks penjualan buku.

Lihat pembahasan

Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya

Diketahui biaya tetap Rp600.000, biaya cetak Rp12.000 per buku, dan harga jual Rp20.000 per buku. Ditanya (a) banyak buku untuk titik impas, (b) banyak buku agar untung paling sedikit Rp400.000, dan (c) tafsiran hasil.

Langkah 2: Susun model pendapatan dan biaya

\[ \begin{aligned} \text{Pendapatan} &= 20.000x \\ \text{Biaya} &= 600.000 + 12.000x \\ \text{Untung} &= \text{Pendapatan} - \text{Biaya} \\ &= 20.000x - (600.000 + 12.000x) \\ &= 8.000x - 600.000 \end{aligned} \]

Langkah 3: Selesaikan titik impas (bagian a)

Titik impas terjadi saat untung sama dengan nol, yaitu pendapatan sama dengan biaya:

\[ \begin{aligned} 20.000x &= 600.000 + 12.000x \\ 8.000x &= 600.000 \\ x &= \dfrac{600.000}{8.000} \\ &= 75 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: pendapatan \( 20.000 \times 75 = 1.500.000 \), biaya \( 600.000 + 12.000 \times 75 = 1.500.000 \) (sama, sesuai).

Langkah 4: Selesaikan pertidaksamaan keuntungan (bagian b)

Untung paling sedikit Rp400.000 berarti:

\[ \begin{aligned} 8.000x - 600.000 &\ge 400.000 \\ 8.000x &\ge 1.000.000 \\ x &\ge \dfrac{1.000.000}{8.000} \\ x &\ge 125 \end{aligned} \]

Pemeriksaan: untuk \( x = 125 \), pendapatan \( 2.500.000 \), biaya \( 600.000 + 1.500.000 = 2.100.000 \), dan untung \( 400.000 \) (sesuai). Untuk \( x = 124 \), untung \( 8.000 \times 124 - 600.000 = 392.000 < 400.000 \) (tidak memenuhi).

Langkah 5: Tafsirkan hasil (bagian c)

Jika terjual kurang dari 75 buku, panitia mengalami kerugian. Pada 75 buku, panitia tidak untung dan tidak rugi. Setiap buku di atas 75 memberi tambahan untung Rp8.000, yaitu selisih harga jual dan biaya cetak. Untuk mencapai untung Rp400.000, panitia perlu menjual 50 buku lagi setelah titik impas, karena \( 125 - 75 = 50 \) dan \( 50 \times 8.000 = 400.000 \).

Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban

(a) Titik impas dicapai saat terjual 75 buku. (b) Untung paling sedikit Rp400.000 diperoleh jika terjual paling sedikit 125 buku. (c) Setelah titik impas, setiap buku yang terjual menambah keuntungan Rp8.000.