Berikut pembahasan soal matematika kelas 8 SMP dengan pokok bahasan "Perbandingan Senilai dan Berbanding Nilai". Pokok bahasan ini dibagi menjadi 6 subpokok basan dengan 10 soal setiap subpokok bahasan yang disertai pembahasan detail. Soal tersedia mulai tingkat mudah, sedang, dan HOTS
Pembahasan detail ini bertujuan untuk membantu siswa belajar mandiri. Upayakan mencoba menjawab soal sendiri lebih dahulu, kemudian cocokan dengan pembahasan yang diberikan.
Simulasi belajar interaktif pokok bahasan ini klik di sini.
Perbandingan adalah cara membandingkan dua besaran sejenis dengan melihat seberapa banyak yang satu terhadap yang lain. Perbandingan antara \( a \) dan \( b \) ditulis \( a : b \) atau \( \dfrac{a}{b} \), dan urutan penulisannya menentukan makna. Perbandingan \( 2 : 3 \) berbeda dengan \( 3 : 2 \).
Besaran yang dibandingkan harus memakai satuan yang sama, sehingga satuan yang berbeda, misalnya jam dan menit, perlu disamakan lebih dulu. Seperti pecahan, perbandingan dapat disederhanakan dengan membagi kedua bagiannya dengan faktor persekutuan terbesar (FPB).
Perbandingan juga dapat menyatakan hubungan bagian terhadap keseluruhan, dan dapat melibatkan tiga besaran sekaligus, misalnya \( a : b : c \).
Latihan berikut disusun bertahap dari soal mudah sampai soal cerita kontekstual yang menuntut penalaran.
Subbab: 1. Konsep Perbandingan
- \( 3 : 2 \)
- \( 2 : 3 \)
- \( 6 : 9 \)
- \( 2 : 5 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui siswa laki-laki 12 orang dan siswa perempuan 18 orang. Ditanya perbandingan laki-laki terhadap perempuan dalam bentuk paling sederhana.
Langkah 2: Tulis perbandingan sesuai urutan
Laki-laki disebut lebih dulu, sehingga:
\[ \text{laki-laki} : \text{perempuan} = 12 : 18 \]Langkah 3: Sederhanakan dengan FPB
FPB dari 12 dan 18 adalah 6. Bagi kedua bagian dengan 6:
\[ \begin{aligned} 12 : 18 &= (12 \div 6) : (18 \div 6) \\ &= 2 : 3 \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- \( 5 : 13 \)
- \( 8 : 5 \)
- \( 5 : 8 \)
- \( 8 : 13 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui buku 5 buah dan pensil 8 buah. Ditanya perbandingan pensil terhadap jumlah seluruh alat tulis.
Langkah 2: Hitung jumlah seluruh alat tulis
\[ 5 + 8 = 13 \]Langkah 3: Tulis perbandingan pensil terhadap seluruhnya
\[ \text{pensil} : \text{seluruhnya} = 8 : 13 \]FPB dari 8 dan 13 adalah 1, sehingga perbandingan sudah paling sederhana.
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- \( 45 : 2 \)
- \( 8 : 3 \)
- \( 3 : 8 \)
- \( 3 : 4 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui waktu latihan Dimas 45 menit dan kakaknya 2 jam. Ditanya perbandingan waktu Dimas terhadap kakaknya dalam bentuk paling sederhana.
Langkah 2: Samakan satuan waktu
Satuan harus sama, jadi ubah jam ke menit:
\[ 2 \text{ jam} = 2 \times 60 \text{ menit} = 120 \text{ menit} \]Langkah 3: Tulis perbandingan dan sederhanakan
FPB dari 45 dan 120 adalah 15.
\[ \begin{aligned} 45 : 120 &= (45 \div 15) : (120 \div 15) \\ &= 3 : 8 \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- 30 butir
- 18 butir
- 24 butir
- 40 butir
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui kelereng Adi : Budi \( = 3 : 5 \) dan jumlah kelereng 48 butir. Ditanya banyak kelereng Budi.
Langkah 2: Hitung jumlah seluruh bagian
\[ 3 + 5 = 8 \text{ bagian} \]Langkah 3: Hitung nilai satu bagian
\[ 1 \text{ bagian} = 48 \div 8 = 6 \text{ butir} \]Langkah 4: Hitung kelereng Budi
\[ \begin{aligned} \text{Budi} &= 5 \times 6 \\ &= 30 \text{ butir} \end{aligned} \]Pemeriksaan: Adi \( = 3 \times 6 = 18 \) butir, dan \( 18 + 30 = 48 \) butir (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- Rp48.000
- Rp84.000
- Rp63.000
- Rp132.000
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui uang Rina : Sita \( = 4 : 7 \) dan selisih uang Rp36.000. Ditanya uang Sita.
Langkah 2: Hitung selisih bagian
\[ 7 - 4 = 3 \text{ bagian} \]Langkah 3: Hitung nilai satu bagian
Selisih 3 bagian sama dengan Rp36.000, sehingga:
\[ 1 \text{ bagian} = 36.000 \div 3 = 12.000 \]Langkah 4: Hitung uang Sita
\[ \begin{aligned} \text{Sita} &= 7 \times 12.000 \\ &= 84.000 \end{aligned} \]Pemeriksaan: uang Rina \( = 4 \times 12.000 = 48.000 \), dan selisihnya \( 84.000 - 48.000 = 36.000 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- 45 eksemplar
- 50 eksemplar
- 64 eksemplar
- 80 eksemplar
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui novel : komik : majalah \( = 2 : 3 : 5 \) dan majalah 40 eksemplar. Ditanya jumlah seluruh koleksi.
Langkah 2: Hitung nilai satu bagian dari majalah
Majalah mewakili 5 bagian:
\[ 1 \text{ bagian} = 40 \div 5 = 8 \text{ eksemplar} \]Langkah 3: Hitung jumlah seluruh bagian
\[ 2 + 3 + 5 = 10 \text{ bagian} \]Langkah 4: Hitung jumlah seluruh koleksi
\[ \begin{aligned} \text{jumlah} &= 10 \times 8 \\ &= 80 \text{ eksemplar} \end{aligned} \]Pemeriksaan: novel \( = 2 \times 8 = 16 \), komik \( = 3 \times 8 = 24 \), majalah \( = 40 \), dan \( 16 + 24 + 40 = 80 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- \( 7 : 4 \)
- \( 7 : 5 \)
- \( 7 : 3 \)
- \( 7 : 8 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui cat putih : cat biru \( = 7 : 3 \), total campuran 20 liter, lalu ditambah 2 liter cat biru. Ditanya perbandingan cat putih terhadap cat biru setelah penambahan.
Langkah 2: Hitung nilai satu bagian
\[ \begin{aligned} \text{jumlah bagian} &= 7 + 3 = 10 \\ 1 \text{ bagian} &= 20 \div 10 = 2 \text{ liter} \end{aligned} \]Langkah 3: Hitung banyak tiap cat sebelum penambahan
\[ \begin{aligned} \text{putih} &= 7 \times 2 = 14 \text{ liter} \\ \text{biru} &= 3 \times 2 = 6 \text{ liter} \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung banyak cat biru setelah penambahan
Cat putih tetap 14 liter, sedangkan cat biru bertambah:
\[ 6 + 2 = 8 \text{ liter} \]Langkah 5: Tulis perbandingan baru dan sederhanakan
\[ \begin{aligned} 14 : 8 &= (14 \div 2) : (8 \div 2) \\ &= 7 : 4 \end{aligned} \]Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
- 2 tahun
- 3 tahun
- 4 tahun
- 6 tahun
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui umur Pak Haris : anak \( = 7 : 2 \) dan selisih umur 30 tahun. Ditanya berapa tahun lagi perbandingan umur mereka menjadi \( 3 : 1 \).
Langkah 2: Tentukan umur mereka saat ini
\[ \begin{aligned} \text{selisih bagian} &= 7 - 2 = 5 \\ 1 \text{ bagian} &= 30 \div 5 = 6 \text{ tahun} \\ \text{umur Pak Haris} &= 7 \times 6 = 42 \text{ tahun} \\ \text{umur anak} &= 2 \times 6 = 12 \text{ tahun} \end{aligned} \]Langkah 3: Gunakan selisih umur yang selalu tetap
Selisih umur tetap 30 tahun. Pada perbandingan \( 3 : 1 \), selisihnya adalah \( 3 - 1 = 2 \) bagian, sehingga:
\[ \begin{aligned} 1 \text{ bagian} &= 30 \div 2 = 15 \text{ tahun} \\ \text{umur anak nanti} &= 1 \times 15 = 15 \text{ tahun} \\ \text{umur Pak Haris nanti} &= 3 \times 15 = 45 \text{ tahun} \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung selang waktunya
\[ \begin{aligned} 15 - 12 &= 3 \text{ tahun} \end{aligned} \]Pemeriksaan: umur Pak Haris \( 42 + 3 = 45 \) tahun, sehingga \( 45 : 15 = 3 : 1 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui kedai A: sirup : air \( = 2 : 5 \), dan kedai B: sirup : air \( = 3 : 7 \). Ditanya kedai yang es sirupnya lebih manis, yaitu yang bagian sirupnya lebih besar terhadap seluruh campuran.
Langkah 2: Ubah ke perbandingan bagian sirup terhadap seluruh campuran
Perbandingan sirup dengan air tidak boleh dibandingkan langsung, karena yang diperlukan adalah bagian sirup dari seluruh campuran.
\[ \begin{aligned} \text{Kedai A: } &\text{seluruh bagian} = 2 + 5 = 7 \;\Rightarrow\; \dfrac{2}{7} \\ \text{Kedai B: } &\text{seluruh bagian} = 3 + 7 = 10 \;\Rightarrow\; \dfrac{3}{10} \end{aligned} \]Langkah 3: Samakan penyebut
KPK dari 7 dan 10 adalah 70.
\[ \begin{aligned} \dfrac{2}{7} &= \dfrac{2 \times 10}{7 \times 10} = \dfrac{20}{70} \\ \dfrac{3}{10} &= \dfrac{3 \times 7}{10 \times 7} = \dfrac{21}{70} \end{aligned} \]Langkah 4: Bandingkan kedua nilai
\[ \dfrac{21}{70} > \dfrac{20}{70} \]Bagian sirup kedai B lebih besar daripada kedai A.
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui Andi : Budi \( = 3 : 2 \), Budi : Cici \( = 4 : 5 \), dan jumlah kartu 120 lembar. Ditanya banyak kartu Andi, Budi, dan Cici.
Langkah 2: Samakan bagian Budi pada kedua perbandingan
Bagian Budi pada perbandingan pertama adalah 2, dan pada perbandingan kedua adalah 4. Kalikan perbandingan pertama dengan 2 agar bagian Budi sama-sama 4:
\[ \begin{aligned} \text{Andi} : \text{Budi} &= 3 : 2 = 6 : 4 \\ \text{Budi} : \text{Cici} &= 4 : 5 \end{aligned} \]Langkah 3: Gabungkan menjadi perbandingan tiga besaran
\[ \text{Andi} : \text{Budi} : \text{Cici} = 6 : 4 : 5 \]Langkah 4: Hitung nilai satu bagian
\[ \begin{aligned} \text{jumlah bagian} &= 6 + 4 + 5 = 15 \\ 1 \text{ bagian} &= 120 \div 15 = 8 \text{ lembar} \end{aligned} \]Langkah 5: Hitung kartu masing-masing
\[ \begin{aligned} \text{Andi} &= 6 \times 8 = 48 \text{ lembar} \\ \text{Budi} &= 4 \times 8 = 32 \text{ lembar} \\ \text{Cici} &= 5 \times 8 = 40 \text{ lembar} \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( 48 + 32 + 40 = 120 \) lembar; \( 48 : 32 = 3 : 2 \); \( 32 : 40 = 4 : 5 \) (semua sesuai).
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
Subbab: 2. Perbandingan Senilai
Perbandingan senilai adalah hubungan dua besaran yang berubah searah: jika besaran pertama membesar, besaran kedua ikut membesar dengan perbandingan yang tetap. Misalnya, banyak barang dan harganya. Jika \( x \) dan \( y \) berbanding senilai, hasil bagi \( \dfrac{y}{x} \) selalu bernilai sama untuk setiap pasangan nilai.
Hasil bagi tetap itu disebut nilai perbandingan dan dilambangkan \( k \), sehingga hubungannya dapat ditulis \( y = kx \). Pada tabel, semua pasangan nilai menghasilkan \( k \) yang sama. Pada grafik, hubungan senilai berbentuk garis lurus yang melalui titik asal \( (0, 0) \). Masalah perbandingan senilai dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu mencari nilai satu satuan, menyusun perbandingan \( \dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{x_2}{y_2} \), atau memakai persamaan \( y = kx \).
Hubungan yang hanya bertambah dengan selisih tetap, misalnya \( 5, 9, 13 \), belum tentu senilai karena hasil baginya tidak tetap.
Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut penalaran.
- Rp21.000
- Rp18.000
- Rp27.000
- Rp12.000
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 3 pensil seharga Rp9.000 dengan harga tiap pensil sama. Ditanya harga 7 pensil.
Langkah 2: Hitung harga satu pensil
\[ \dfrac{9.000}{3} = 3.000 \]Jadi harga satu pensil adalah Rp3.000.
Langkah 3: Hitung harga 7 pensil
\[ \begin{aligned} \text{harga 7 pensil} &= 7 \times 3.000 \\ &= 21.000 \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( \dfrac{21.000}{7} = 3.000 \), sama dengan harga satu pensil (sesuai).
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- \( x = 2, 4, 6 \) dan \( y = 5, 9, 13 \)
- \( x = 2, 4, 8 \) dan \( y = 12, 6, 3 \)
- \( x = 1, 2, 3 \) dan \( y = 4, 8, 12 \)
- \( x = 3, 6, 9 \) dan \( y = 5, 10, 16 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui empat pasangan data. Ditanya pasangan data yang menunjukkan perbandingan senilai.
Langkah 2: Tentukan syarat perbandingan senilai
Perbandingan senilai terjadi jika hasil bagi \( \dfrac{y}{x} \) selalu sama untuk semua pasangan.
Langkah 3: Hitung hasil bagi tiap pilihan
\[ \begin{aligned} \text{A: } &\dfrac{5}{2} = 2{,}5;\ \dfrac{9}{4} = 2{,}25;\ \dfrac{13}{6} \approx 2{,}17 \ (\text{tidak tetap}) \\ \text{B: } &\dfrac{12}{2} = 6;\ \dfrac{6}{4} = 1{,}5;\ \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \ (\text{tidak tetap}) \\ \text{C: } &\dfrac{4}{1} = 4;\ \dfrac{8}{2} = 4;\ \dfrac{12}{3} = 4 \ (\text{tetap}) \\ \text{D: } &\dfrac{5}{3};\ \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3};\ \dfrac{16}{9} \ (\text{tidak tetap}) \end{aligned} \]Pada pilihan B, \( x \) membesar sedangkan \( y \) mengecil, sehingga hubungannya berubah berlawanan, bukan senilai.
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- \( 203 \)
- \( 240 \)
- \( 360 \)
- \( 320 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui data (2 liter, 80 km), (5 liter, 200 km), dan (8 liter, \( p \) km) yang berbanding senilai. Ditanya nilai \( p \).
Langkah 2: Hitung nilai perbandingan
\[ \begin{aligned} k &= \dfrac{\text{jarak}}{\text{bensin}} = \dfrac{80}{2} = 40 \\ \text{periksa: } &\dfrac{200}{5} = 40 \ (\text{sama}) \end{aligned} \]Artinya tiap 1 liter bensin menempuh 40 km.
Langkah 3: Hitung nilai \( p \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{p}{8} &= 40 \\ p &= 40 \times 8 \\ &= 320 \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- Rp125.000
- Rp120.000
- Rp135.000
- Rp150.000
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui grafik garis lurus melalui titik asal dengan titik (2, 30), (4, 60), dan (6, 90), dengan upah dalam ribu rupiah. Ditanya upah untuk 9 jam bekerja.
Langkah 2: Tentukan nilai perbandingan dari grafik
Garis lurus yang melalui titik asal menunjukkan perbandingan senilai. Dari titik (4, 60):
\[ k = \dfrac{60}{4} = 15 \]Pemeriksaan dengan titik (6, 90): \( \dfrac{90}{6} = 15 \) (sama).
Langkah 3: Susun persamaan
\[ y = 15x \]dengan \( x \) lama bekerja (jam) dan \( y \) upah (ribu rupiah).
Langkah 4: Hitung upah untuk 9 jam
\[ \begin{aligned} y &= 15 \times 9 \\ &= 135 \end{aligned} \]Jadi upahnya 135 ribu rupiah, yaitu Rp135.000.
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- 30 menit
- 27 menit
- 32 menit
- 36 menit
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 240 lembar dicetak dalam 8 menit. Ditanya waktu untuk mencetak 900 lembar.
Langkah 2: Hitung nilai satu satuan
\[ \dfrac{240}{8} = 30 \text{ lembar per menit} \]Langkah 3: Hitung waktu untuk 900 lembar
\[ \begin{aligned} \text{waktu} &= \dfrac{900}{30} \\ &= 30 \text{ menit} \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan perbandingan
\[ \begin{aligned} \dfrac{8}{240} &= \dfrac{t}{900} \\ t &= \dfrac{8 \times 900}{240} \\ &= 30 \end{aligned} \]Kedua cara menghasilkan nilai yang sama (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- Jika \( x \) bertambah 1, maka \( y \) berkurang 18.000
- Nilai perbandingan \( y \) terhadap \( x \) selalu 18.000
- Grafiknya tidak melalui titik asal
- Harga 3,5 kg jeruk adalah Rp54.000
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui persamaan \( y = 18.000x \) dengan \( x \) berat jeruk (kg) dan \( y \) harga (rupiah). Ditanya pernyataan yang benar.
Langkah 2: Kenali bentuk persamaan
Bentuk \( y = kx \) menunjukkan perbandingan senilai dengan \( k = 18.000 \). Persamaan dapat ditulis sebagai:
\[ \dfrac{y}{x} = 18.000 \]Langkah 3: Periksa setiap pilihan
\[ \begin{aligned} \text{A: } &x \text{ bertambah 1, } y \text{ bertambah 18.000, bukan berkurang (salah)} \\ \text{B: } &\dfrac{y}{x} = 18.000 \text{ untuk setiap nilai } x \ (\text{benar}) \\ \text{C: } &x = 0 \Rightarrow y = 0, \text{ sehingga grafik melalui } (0, 0) \ (\text{salah}) \\ \text{D: } &y = 18.000 \times 3{,}5 = 63.000, \text{ bukan } 54.000 \ (\text{salah}) \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
b. Tulis persamaan jarak terhadap waktu untuk kedua motor.
c. Tentukan selisih jarak kedua motor setelah 5 jam, lalu periksa jawaban dengan titik lain pada grafik.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui Motor A melalui titik (2, 80) dan Motor B melalui titik (2, 120), dengan waktu dalam jam dan jarak dalam km. Ditanya (a) kecepatan tiap motor, (b) persamaannya, dan (c) selisih jarak setelah 5 jam.
Langkah 2: Hitung kecepatan tiap motor (bagian a)
Kedua garis melalui titik asal, sehingga jarak berbanding senilai dengan waktu:
\[ \begin{aligned} k_A &= \dfrac{80}{2} = 40 \text{ km/jam} \\ k_B &= \dfrac{120}{2} = 60 \text{ km/jam} \end{aligned} \]Langkah 3: Susun persamaan (bagian b)
Misalkan \( t \) waktu (jam), \( y_A \) jarak Motor A, dan \( y_B \) jarak Motor B:
\[ \begin{aligned} y_A &= 40t \\ y_B &= 60t \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung selisih jarak setelah 5 jam (bagian c)
\[ \begin{aligned} y_A &= 40 \times 5 = 200 \text{ km} \\ y_B &= 60 \times 5 = 300 \text{ km} \\ \text{selisih} &= 300 - 200 = 100 \text{ km} \end{aligned} \]Langkah 5: Periksa dengan titik lain pada grafik
Untuk \( t = 6 \): \( y_A = 40 \times 6 = 240 \) dan \( y_B = 60 \times 6 = 360 \), sesuai dengan titik (6, 240) dan (6, 360) pada grafik. Selisihnya \( 120 \) km, dan selisih tiap jam adalah \( 60 - 40 = 20 \) km, sehingga selisih 5 jam adalah \( 5 \times 20 = 100 \) km (sesuai).
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
- 135 km
- 150 km
- 15 km
- 160 km
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui jarak pada peta 4,5 cm mewakili 90 km, dan jarak pada peta kota R dan S adalah 7,5 cm. Ditanya jarak sebenarnya kota R dan S.
Langkah 2: Tentukan skala peta
Jarak pada peta dan jarak sebenarnya berbanding senilai. Hitung jarak sebenarnya untuk 1 cm pada peta:
\[ \begin{aligned} 1 \text{ cm pada peta} &= \dfrac{90}{4{,}5} \text{ km} \\ &= 20 \text{ km} \end{aligned} \]Karena \( 20 \text{ km} = 2.000.000 \text{ cm} \), skala peta adalah \( 1 : 2.000.000 \).
Langkah 3: Hitung jarak sebenarnya kota R dan S
\[ \begin{aligned} \text{jarak sebenarnya} &= 7{,}5 \times 20 \\ &= 150 \text{ km} \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan perbandingan
\[ \begin{aligned} \dfrac{4{,}5}{90} &= \dfrac{7{,}5}{y} \\ y &= \dfrac{90 \times 7{,}5}{4{,}5} \\ &= 150 \end{aligned} \]Hasilnya sama (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
a. Tentukan banyak tepung, gula, dan telur yang diperlukan untuk 30 potong kue.
b. Tentukan bahan yang persediaannya tidak mencukupi.
c. Tentukan banyak potong kue paling banyak yang dapat dibuat dengan persediaan tersebut.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui untuk 12 potong: 250 g tepung, 150 g gula, 3 butir telur. Persediaan: 600 g tepung, 400 g gula, 10 butir telur. Ditanya (a) kebutuhan bahan untuk 30 potong, (b) bahan yang kurang, dan (c) potong terbanyak yang dapat dibuat.
Langkah 2: Hitung kebutuhan bahan untuk 30 potong (bagian a)
Banyak potong dan banyak bahan berbanding senilai. Perbandingan potong kue adalah \( \dfrac{30}{12} = 2{,}5 \), sehingga setiap bahan dikalikan 2,5:
\[ \begin{aligned} \text{tepung} &= 2{,}5 \times 250 = 625 \text{ g} \\ \text{gula} &= 2{,}5 \times 150 = 375 \text{ g} \\ \text{telur} &= 2{,}5 \times 3 = 7{,}5 \text{ butir} \end{aligned} \]Langkah 3: Bandingkan dengan persediaan (bagian b)
\[ \begin{aligned} \text{tepung: } &600 < 625 \ (\text{kurang } 25 \text{ g}) \\ \text{gula: } &400 \ge 375 \ (\text{cukup}) \\ \text{telur: } &10 \ge 7{,}5 \ (\text{cukup}) \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung potong terbanyak menurut tiap bahan (bagian c)
Hitung berapa kali resep dasar dapat dibuat dari tiap persediaan, lalu kalikan dengan 12 potong:
\[ \begin{aligned} \text{tepung: } &\dfrac{600}{250} \times 12 = 2{,}4 \times 12 = 28{,}8 \\ \text{gula: } &\dfrac{400}{150} \times 12 = 32 \\ \text{telur: } &\dfrac{10}{3} \times 12 = 40 \end{aligned} \]Jumlah potong dibatasi oleh bahan yang paling sedikit, yaitu tepung dengan 28,8 potong. Banyak potong harus bilangan bulat, sehingga paling banyak 28 potong.
Langkah 5: Periksa hasil
\[ \begin{aligned} 28 \text{ potong: } &\dfrac{28}{12} \times 250 \approx 583{,}3 \text{ g} \le 600 \text{ g} \\ 29 \text{ potong: } &\dfrac{29}{12} \times 250 \approx 604{,}2 \text{ g} > 600 \text{ g} \end{aligned} \]Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
a. Hitung \( \dfrac{\text{volume}}{\text{waktu}} \) tiap titik, lalu tentukan titik yang tidak sesuai.
b. Tentukan nilai yang seharusnya pada titik tersebut dan tulis persamaan hubungan volume terhadap waktu.
c. Tentukan waktu yang diperlukan agar bak terisi 345 liter.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui data (2, 30), (4, 60), (6, 90), dan (8, 115) dengan debit tetap, sehingga volume berbanding senilai dengan waktu. Ditanya (a) titik yang tidak sesuai, (b) nilai yang seharusnya beserta persamaan, dan (c) waktu untuk 345 liter.
Langkah 2: Hitung nilai perbandingan tiap titik (bagian a)
\[ \begin{aligned} \dfrac{30}{2} &= 15 \\ \dfrac{60}{4} &= 15 \\ \dfrac{90}{6} &= 15 \\ \dfrac{115}{8} &= 14{,}375 \end{aligned} \]Tiga titik pertama menghasilkan nilai yang sama, yaitu 15, sedangkan titik (8, 115) berbeda. Jadi titik yang tidak sesuai adalah (8, 115).
Langkah 3: Tentukan nilai yang seharusnya dan persamaan (bagian b)
Debit tetap adalah \( k = 15 \) liter per menit. Untuk \( x = 8 \) menit:
\[ \begin{aligned} y &= 15 \times 8 \\ &= 120 \end{aligned} \]Persamaan hubungannya, dengan \( x \) waktu (menit) dan \( y \) volume (liter):
\[ y = 15x \]Langkah 4: Hitung waktu untuk 345 liter (bagian c)
\[ \begin{aligned} 345 &= 15x \\ x &= \dfrac{345}{15} \\ &= 23 \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( 15 \times 23 = 345 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
Subbab: 3. Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan berbalik nilai adalah hubungan dua besaran yang berubah berlawanan arah: jika besaran pertama membesar, besaran kedua mengecil sehingga hasil kali keduanya tetap. Misalnya, kecepatan dan waktu tempuh untuk jarak yang sama. Jika \( x \) dan \( y \) berbanding berbalik nilai, hasil kali \( x \times y \) selalu bernilai sama untuk setiap pasangan nilai.
Hasil kali tetap itu disebut nilai perbandingan dan dilambangkan \( k \), sehingga hubungannya dapat ditulis \( xy = k \) atau \( y = \dfrac{k}{x} \). Pada tabel, semua pasangan nilai menghasilkan \( k \) yang sama. Pada grafik, hubungan berbalik nilai berbentuk kurva yang tidak melalui titik asal \( (0, 0) \). Masalah perbandingan berbalik nilai dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu mencari nilai total (hasil kali tetap), menyusun perbandingan \( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \) atau \( \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1} \), atau memakai persamaan \( y = \dfrac{k}{x} \).
Hubungan yang hanya berkurang dengan selisih tetap, misalnya \( 10, 8, 6 \), belum tentu berbalik nilai karena hasil kalinya tidak tetap. Hubungan yang membesar bersama juga bukan berbalik nilai, melainkan senilai.
Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut penalaran.
- 18 hari
- 8 hari
- 6 hari
- 9 hari
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 6 pekerja menyelesaikan pekerjaan dalam 12 hari dengan kemampuan tiap pekerja sama. Ditanya waktu yang diperlukan 9 pekerja.
Langkah 2: Hitung total pekerjaan
\[ 6 \times 12 = 72 \text{ pekerja-hari} \]Artinya pekerjaan itu setara dengan 72 hari kerja satu orang pekerja.
Langkah 3: Hitung waktu untuk 9 pekerja
\[ \begin{aligned} \text{waktu} &= \dfrac{72}{9} \\ &= 8 \text{ hari} \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( 9 \times 8 = 72 \), sama dengan \( 6 \times 12 \) (sesuai).
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- \( x = 1, 2, 3 \) dan \( y = 4, 8, 12 \)
- \( x = 2, 4, 6 \) dan \( y = 10, 8, 6 \)
- \( x = 2, 4, 8 \) dan \( y = 12, 6, 3 \)
- \( x = 3, 6, 9 \) dan \( y = 8, 5, 2 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui empat pasangan data. Ditanya pasangan data yang menunjukkan perbandingan berbalik nilai.
Langkah 2: Tentukan syarat perbandingan berbalik nilai
Perbandingan berbalik nilai terjadi jika hasil kali \( x \times y \) selalu sama untuk semua pasangan.
Langkah 3: Hitung hasil kali tiap pilihan
\[ \begin{aligned} \text{A: } &1 \times 4 = 4;\ 2 \times 8 = 16;\ 3 \times 12 = 36 \ (\text{tidak tetap}) \\ \text{B: } &2 \times 10 = 20;\ 4 \times 8 = 32;\ 6 \times 6 = 36 \ (\text{tidak tetap}) \\ \text{C: } &2 \times 12 = 24;\ 4 \times 6 = 24;\ 8 \times 3 = 24 \ (\text{tetap}) \\ \text{D: } &3 \times 8 = 24;\ 6 \times 5 = 30;\ 9 \times 2 = 18 \ (\text{tidak tetap}) \end{aligned} \]Pada pilihan A, \( x \) dan \( y \) sama-sama membesar, sehingga hubungannya searah (senilai), bukan berbalik nilai.
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- \( 3 \)
- \( 12 \)
- \( 2 \)
- \( 5 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui data (40 km/jam, 6 jam), (60 km/jam, 4 jam), dan (80 km/jam, \( p \) jam) yang berbanding berbalik nilai. Ditanya nilai \( p \).
Langkah 2: Hitung nilai perbandingan
\[ \begin{aligned} k &= \text{kecepatan} \times \text{waktu} = 40 \times 6 = 240 \\ \text{periksa: } &60 \times 4 = 240 \ (\text{sama}) \end{aligned} \]Artinya jarak yang ditempuh adalah 240 km.
Langkah 3: Hitung nilai \( p \)
\[ \begin{aligned} 80 \times p &= 240 \\ p &= \dfrac{240}{80} \\ &= 3 \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- 25 hari
- 22 hari
- 20 hari
- 24 hari
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui grafik kurva dengan titik (2, 60), (4, 30), (6, 20), dan (8, 15), dengan waktu dalam hari. Ditanya waktu penyelesaian oleh 5 pekerja.
Langkah 2: Tentukan nilai perbandingan dari grafik
Grafik berbentuk kurva menurun yang tidak melalui titik asal, ciri perbandingan berbalik nilai. Dari titik (2, 60):
\[ k = 2 \times 60 = 120 \]Pemeriksaan dengan titik (4, 30): \( 4 \times 30 = 120 \), dan titik (6, 20): \( 6 \times 20 = 120 \) (sama).
Langkah 3: Susun persamaan
\[ y = \dfrac{120}{x} \]dengan \( x \) banyak pekerja (orang) dan \( y \) waktu penyelesaian (hari).
Langkah 4: Hitung waktu untuk 5 pekerja
\[ \begin{aligned} y &= \dfrac{120}{5} \\ &= 24 \end{aligned} \]Jadi waktu penyelesaiannya 24 hari.
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- 13,5 hari
- 24 hari
- 20 hari
- 26 hari
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui pakan cukup untuk 80 ekor selama 18 hari. Setelah 20 ekor dijual, tersisa 60 ekor. Ditanya lama pakan cukup untuk 60 ekor.
Langkah 2: Hitung total persediaan pakan
\[ 80 \times 18 = 1.440 \text{ ekor-hari} \]Langkah 3: Hitung lama pakan untuk 60 ekor
\[ \begin{aligned} \text{waktu} &= \dfrac{1.440}{60} \\ &= 24 \text{ hari} \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan perbandingan
\[ \begin{aligned} \dfrac{80}{60} &= \dfrac{t}{18} \\ t &= \dfrac{80 \times 18}{60} \\ &= 24 \end{aligned} \]Kedua cara menghasilkan nilai yang sama (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- Jika \( v \) bertambah 1, maka \( t \) berkurang 1
- Grafiknya berupa garis lurus yang melalui titik asal
- Hasil kali \( v \) dan \( t \) selalu 240
- Jika \( v = 48 \), maka \( t = 6 \) jam
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui persamaan \( t = \dfrac{240}{v} \) dengan \( v \) kecepatan (km/jam) dan \( t \) waktu (jam). Ditanya pernyataan yang benar.
Langkah 2: Kenali bentuk persamaan
Bentuk \( y = \dfrac{k}{x} \) menunjukkan perbandingan berbalik nilai dengan \( k = 240 \). Persamaan dapat ditulis sebagai:
\[ v \times t = 240 \]Langkah 3: Periksa setiap pilihan
\[ \begin{aligned} \text{A: } &v = 40 \Rightarrow t = 6;\ v = 41 \Rightarrow t \approx 5{,}85, \text{ turun sekitar } 0{,}15 \text{ bukan } 1 \ (\text{salah}) \\ \text{B: } &\text{grafik berupa kurva dan } t \ne 0 \text{ untuk setiap } v, \text{ tidak melalui } (0, 0) \ (\text{salah}) \\ \text{C: } &v \times t = 240 \text{ untuk setiap nilai } v \ (\text{benar}) \\ \text{D: } &v = 48 \Rightarrow t = \dfrac{240}{48} = 5, \text{ bukan } 6 \ (\text{salah}) \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
a. Tentukan sisa pekerjaan setelah 10 hari dalam satuan pekerja-hari.
b. Tentukan banyak hari yang tersisa untuk menyelesaikan proyek.
c. Tentukan banyak pekerja tambahan yang diperlukan.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 12 pekerja menyelesaikan proyek dalam 30 hari, bekerja 10 hari, lalu berhenti 4 hari, dan proyek harus selesai pada hari ke-30. Ditanya (a) sisa pekerjaan, (b) hari tersisa, dan (c) pekerja tambahan.
Langkah 2: Hitung total pekerjaan dan sisa pekerjaan (bagian a)
\[ \begin{aligned} \text{total} &= 12 \times 30 = 360 \text{ pekerja-hari} \\ \text{sudah dikerjakan} &= 12 \times 10 = 120 \text{ pekerja-hari} \\ \text{sisa} &= 360 - 120 = 240 \text{ pekerja-hari} \end{aligned} \]Langkah 3: Hitung hari yang tersisa (bagian b)
\[ \begin{aligned} \text{hari tersisa} &= 30 - 10 - 4 \\ &= 16 \text{ hari} \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung pekerja yang diperlukan (bagian c)
Banyak pekerja dan waktu berbanding berbalik nilai, dengan hasil kali sama dengan sisa pekerjaan:
\[ \begin{aligned} \text{pekerja} \times 16 &= 240 \\ \text{pekerja} &= \dfrac{240}{16} \\ &= 15 \end{aligned} \]Pekerja yang tersedia 12 orang, sehingga tambahannya \( 15 - 12 = 3 \) orang.
Langkah 5: Periksa hasil
\[ 12 \times 10 + 15 \times 16 = 120 + 240 = 360 \]Hasilnya sama dengan total pekerjaan, yaitu 360 pekerja-hari (sesuai).
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
- 20 putaran
- 83,3 putaran
- 30 putaran
- 36 putaran
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui roda A: 24 gigi dan 50 putaran per menit, roda B: 40 gigi. Ditanya putaran roda B per menit.
Langkah 2: Tentukan nilai perbandingan
Pada roda gigi bersinggungan, jumlah gigi yang bergerak tiap menit sama untuk kedua roda. Jadi banyak gigi dan putaran berbanding berbalik nilai:
\[ k = 24 \times 50 = 1.200 \text{ gigi per menit} \]Langkah 3: Hitung putaran roda B
\[ \begin{aligned} 40 \times n &= 1.200 \\ n &= \dfrac{1.200}{40} \\ &= 30 \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan perbandingan
\[ \begin{aligned} \dfrac{24}{40} &= \dfrac{n}{50} \\ n &= \dfrac{24 \times 50}{40} \\ &= 30 \end{aligned} \]Hasilnya sama. Roda B lebih besar daripada roda A, sehingga wajar berputar lebih lambat, yaitu 30 putaran per menit dibandingkan 50 putaran per menit (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
a. Tentukan total biaya sewa vila.
b. Tentukan biaya yang dibayar tiap orang jika yang ikut 15 orang.
c. Jika tiap orang ingin membayar paling banyak Rp180.000, tentukan banyak peserta paling sedikit yang diperlukan.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui biaya sewa tetap dibagi rata, dengan 12 orang membayar Rp250.000 per orang. Ditanya (a) total biaya, (b) biaya per orang untuk 15 orang, dan (c) peserta paling sedikit agar biaya per orang paling banyak Rp180.000.
Langkah 2: Hitung total biaya sewa (bagian a)
Banyak peserta dan biaya per orang berbanding berbalik nilai, dengan hasil kali sama dengan total biaya:
\[ 12 \times 250.000 = 3.000.000 \]Langkah 3: Hitung biaya per orang untuk 15 orang (bagian b)
\[ \begin{aligned} \text{biaya per orang} &= \dfrac{3.000.000}{15} \\ &= 200.000 \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung peserta paling sedikit (bagian c)
Biaya per orang harus tidak lebih dari Rp180.000:
\[ \begin{aligned} \dfrac{3.000.000}{n} &\le 180.000 \\ n &\ge \dfrac{3.000.000}{180.000} \\ n &\ge 16{,}67 \end{aligned} \]Banyak peserta harus bilangan bulat, sehingga paling sedikit 17 orang.
Langkah 5: Periksa hasil
\[ \begin{aligned} 16 \text{ orang: } &\dfrac{3.000.000}{16} = 187.500 > 180.000 \\ 17 \text{ orang: } &\dfrac{3.000.000}{17} \approx 176.470{,}6 \le 180.000 \end{aligned} \]Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
a. Hitung \( \text{debit} \times \text{waktu} \) tiap titik, lalu tentukan titik yang tidak sesuai.
b. Tentukan nilai yang seharusnya pada titik tersebut dan tulis persamaan hubungan waktu terhadap debit.
c. Tentukan debit keran agar bak terisi penuh dalam 12 menit.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui data (6, 60), (9, 40), (12, 30), dan (18, 22) dengan volume bak tetap, sehingga debit berbanding berbalik nilai dengan waktu. Ditanya (a) titik yang tidak sesuai, (b) nilai yang seharusnya beserta persamaan, dan (c) debit agar bak penuh dalam 12 menit.
Langkah 2: Hitung hasil kali tiap titik (bagian a)
\[ \begin{aligned} 6 \times 60 &= 360 \\ 9 \times 40 &= 360 \\ 12 \times 30 &= 360 \\ 18 \times 22 &= 396 \end{aligned} \]Tiga titik pertama menghasilkan nilai yang sama, yaitu 360, sedangkan titik (18, 22) berbeda. Jadi titik yang tidak sesuai adalah (18, 22).
Langkah 3: Tentukan nilai yang seharusnya dan persamaan (bagian b)
Volume bak tetap adalah \( k = 360 \) liter. Untuk \( x = 18 \) liter/menit:
\[ \begin{aligned} y &= \dfrac{360}{18} \\ &= 20 \end{aligned} \]Persamaan hubungannya, dengan \( x \) debit (liter/menit) dan \( y \) waktu (menit):
\[ y = \dfrac{360}{x} \]Langkah 4: Hitung debit untuk waktu 12 menit (bagian c)
\[ \begin{aligned} 12 &= \dfrac{360}{x} \\ x &= \dfrac{360}{12} \\ &= 30 \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( 30 \times 12 = 360 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
Subbab: 4. Menentukan Nilai yang Belum Diketahui
Pada perbandingan senilai maupun berbalik nilai, satu nilai yang belum diketahui dapat ditentukan jika hubungan kedua besaran dan sepasang nilai yang bersesuaian sudah diketahui. Langkah pertama yang selalu dilakukan adalah menentukan jenis hubungan: jika kedua besaran membesar bersama, hubungannya senilai; jika yang satu membesar dan yang lain mengecil, hubungannya berbalik nilai.
Setelah jenis hubungan jelas, nilai yang belum diketahui dapat dicari dengan beberapa cara. Cara rasio memakai \( \dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{x_2}{y_2} \) untuk senilai dan \( x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 \) untuk berbalik nilai. Cara faktor pengali pada tabel perbandingan mengalikan satu baris dengan faktor \( f \): pada senilai baris lainnya dikalikan \( f \) juga, sedangkan pada berbalik nilai baris lainnya dikalikan \( \dfrac{1}{f} \). Cara persamaan memakai \( y = kx \) untuk senilai dan \( y = \dfrac{k}{x} \) untuk berbalik nilai, dengan \( k \) dicari dari pasangan nilai yang diketahui.
Setiap hasil perlu diperiksa kewajarannya. Pada senilai, nilai yang lebih besar harus menghasilkan nilai yang lebih besar pula, sedangkan pada berbalik nilai yang terjadi sebaliknya. Kesalahan yang paling sering muncul adalah memakai cara senilai untuk soal berbalik nilai, atau sebaliknya.
Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut penalaran.
- Rp150.000
- Rp120.000
- Rp135.000
- Rp180.000
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 4 kg beras seharga Rp60.000 dengan harga tiap kilogram sama. Ditanya harga 10 kg beras.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan
Semakin banyak beras yang dibeli, semakin besar harganya. Kedua besaran berubah searah, sehingga hubungannya senilai.
Langkah 3: Hitung dengan faktor pengali
\[ \begin{aligned} f &= \dfrac{10}{4} = 2{,}5 \\ \text{harga 10 kg} &= 60.000 \times 2{,}5 \\ &= 150.000 \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan rasio
\( \dfrac{60.000}{4} = 15.000 \) dan \( \dfrac{150.000}{10} = 15.000 \), harga tiap kilogram sama (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- 22,5 hari
- 12 hari
- 5 hari
- 10 hari
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 8 pekerja menyelesaikan bangunan dalam 15 hari. Ditanya waktu yang diperlukan 12 pekerja.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan
Semakin banyak pekerja, semakin singkat waktunya. Kedua besaran berubah berlawanan arah, sehingga hubungannya berbalik nilai.
Langkah 3: Hitung dengan faktor pengali
Banyak pekerja dikalikan \( \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} \), sehingga waktu dikalikan kebalikannya, yaitu \( \dfrac{2}{3} \):
\[ \begin{aligned} \text{waktu} &= 15 \times \dfrac{2}{3} \\ &= 10 \text{ hari} \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan hasil kali
\( 8 \times 15 = 120 \) dan \( 12 \times 10 = 120 \), hasil kalinya sama (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- \( 600 \) dan \( 20 \)
- \( 20 \) dan \( 600 \)
- \( 16 \) dan \( 600 \)
- \( 20 \) dan \( 640 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui data (6 roti, 240 g), (15 roti, \( b \) g), dan (\( a \) roti, 800 g) yang berbanding senilai. Ditanya nilai \( a \) dan \( b \).
Langkah 2: Tentukan nilai \( b \) dengan faktor pengali
Banyak roti berubah dari 6 menjadi 15, sehingga faktor pengalinya \( \dfrac{15}{6} = 2{,}5 \). Pada senilai, terigu dikalikan faktor yang sama:
\[ \begin{aligned} b &= 240 \times 2{,}5 \\ &= 600 \end{aligned} \]Langkah 3: Tentukan nilai \( a \) dengan rasio
\[ \begin{aligned} \dfrac{6}{240} &= \dfrac{a}{800} \\ a &= \dfrac{6 \times 800}{240} \\ &= 20 \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa hasil
Nilai satu satuan: \( \dfrac{240}{6} = 40 \), \( \dfrac{600}{15} = 40 \), dan \( \dfrac{800}{20} = 40 \). Tiap roti memerlukan 40 g terigu (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- \( 90 \) dan \( 8 \)
- \( 8 \) dan \( 90 \)
- \( 10 \) dan \( 18 \)
- \( 100 \) dan \( 8 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui data (30 km/jam, 12 jam), (45 km/jam, \( d \) jam), dan (\( c \) km/jam, 4 jam) yang berbanding berbalik nilai. Ditanya nilai \( c \) dan \( d \).
Langkah 2: Hitung nilai perbandingan
\[ k = 30 \times 12 = 360 \]Artinya jarak yang ditempuh adalah 360 km.
Langkah 3: Hitung nilai \( d \) dan \( c \)
\[ \begin{aligned} 45 \times d &= 360 \\ d &= \dfrac{360}{45} = 8 \\[4pt] c \times 4 &= 360 \\ c &= \dfrac{360}{4} = 90 \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan faktor pengali
Kecepatan 30 menjadi 45 (dikalikan 1,5), sehingga waktu dikalikan \( \dfrac{2}{3} \): \( 12 \times \dfrac{2}{3} = 8 \). Waktu 12 menjadi 4 (dikalikan \( \dfrac{1}{3} \)), sehingga kecepatan dikalikan 3: \( 30 \times 3 = 90 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- \( 50 \)
- \( 6 \)
- \( 8 \)
- \( 18 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui \( y \) berbanding berbalik nilai dengan \( x \), dan pasangan nilai \( (6, 20) \). Ditanya \( y \) jika \( x = 15 \).
Langkah 2: Tentukan nilai perbandingan dan persamaan
\[ k = x \times y = 6 \times 20 = 120 \]Persamaannya adalah:
\[ y = \dfrac{120}{x} \]Langkah 3: Hitung nilai \( y \) untuk \( x = 15 \)
\[ \begin{aligned} y &= \dfrac{120}{15} \\ &= 8 \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa kewajaran
Nilai \( x \) membesar dari 6 menjadi 15, sehingga \( y \) harus mengecil. Memang \( y \) turun dari 20 menjadi 8 (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- 13 cm
- 12 cm
- 18 cm
- 15 cm
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui foto semula 6 cm \( \times \) 9 cm, dan lebar setelah diperbesar 10 cm dengan perbandingan lebar dan tinggi tetap. Ditanya tinggi foto setelah diperbesar.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan
Lebar yang bertambah besar diikuti tinggi yang bertambah besar dengan perbandingan tetap, sehingga hubungannya senilai.
Langkah 3: Hitung tinggi dengan rasio
\[ \begin{aligned} \dfrac{6}{9} &= \dfrac{10}{t} \\ t &= \dfrac{9 \times 10}{6} \\ &= 15 \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan faktor pengali
Faktor pengali lebar adalah \( \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \), sehingga tinggi menjadi \( 9 \times \dfrac{5}{3} = 15 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
a. Tentukan banyak kursi yang dibuat satu pekerja dalam satu hari.
b. Tentukan waktu yang diperlukan 16 pekerja untuk membuat 640 kursi.
c. Tentukan banyak kursi yang dapat dibuat 20 pekerja dalam 12 hari.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 10 pekerja membuat 300 kursi dalam 15 hari. Ditanya (a) kursi per pekerja per hari, (b) waktu untuk 16 pekerja membuat 640 kursi, dan (c) kursi yang dibuat 20 pekerja dalam 12 hari.
Langkah 2: Hitung kursi per pekerja per hari (bagian a)
Banyak kursi senilai dengan banyak pekerja dan senilai dengan banyak hari. Bagi kursi dengan total pekerja-hari:
\[ \begin{aligned} \dfrac{300}{10 \times 15} &= \dfrac{300}{150} \\ &= 2 \text{ kursi} \end{aligned} \]Sehingga banyak kursi \( = 2 \times \text{pekerja} \times \text{hari} \).
Langkah 3: Hitung waktu untuk 640 kursi (bagian b)
\[ \begin{aligned} 640 &= 2 \times 16 \times \text{hari} \\ \text{hari} &= \dfrac{640}{32} \\ &= 20 \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung kursi untuk 20 pekerja selama 12 hari (bagian c)
\[ \begin{aligned} \text{kursi} &= 2 \times 20 \times 12 \\ &= 480 \end{aligned} \]Langkah 5: Periksa dengan faktor pengali
Bagian b: pekerja dikalikan \( \dfrac{8}{5} \) dan kursi dikalikan \( \dfrac{640}{300} = \dfrac{32}{15} \). Waktu menjadi \( 15 \times \dfrac{32}{15} \times \dfrac{5}{8} = 20 \) hari (sesuai).
Bagian c: pekerja dikalikan 2 dan hari dikalikan \( \dfrac{12}{15} = 0{,}8 \), sehingga kursi menjadi \( 300 \times 2 \times 0{,}8 = 480 \) (sesuai).
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
- 22,5 m
- 14 m
- 10 m
- 12 m
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui tongkat setinggi 2 m berbayangan 3 m, dan pohon berbayangan 15 m pada waktu yang sama. Ditanya tinggi pohon.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan
Pada waktu yang sama, sinar matahari sejajar sehingga makin tinggi suatu benda, makin panjang bayangannya. Tinggi benda dan panjang bayangan berbanding senilai.
Langkah 3: Hitung tinggi pohon dengan rasio
\[ \begin{aligned} \dfrac{2}{3} &= \dfrac{t}{15} \\ t &= \dfrac{2 \times 15}{3} \\ &= 10 \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa dengan faktor pengali
Bayangan dikalikan \( \dfrac{15}{3} = 5 \), sehingga tinggi menjadi \( 2 \times 5 = 10 \) m. Pemeriksaan: \( \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
b. Tentukan nilai \( a \), \( b \), \( c \), dan \( d \).
c. Tentukan nilai \( x \) agar \( y = z \), lalu tentukan nilai \( y \) tersebut.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui \( y \) senilai dengan \( x \), \( z \) berbalik nilai dengan \( x \), dengan pasangan \( (x, y, z) = (2, 10, 40) \). Ditanya (a) persamaan keduanya, (b) nilai \( a, b, c, d \), dan (c) nilai \( x \) saat \( y = z \).
Langkah 2: Susun persamaan (bagian a)
\[ \begin{aligned} y \text{ senilai: } k_y &= \dfrac{y}{x} = \dfrac{10}{2} = 5 \Rightarrow y = 5x \\ z \text{ berbalik nilai: } k_z &= x \times z = 2 \times 40 = 80 \Rightarrow z = \dfrac{80}{x} \end{aligned} \]Langkah 3: Hitung nilai yang belum diketahui (bagian b)
\[ \begin{aligned} a &= 5 \times 5 = 25 \\ b &= 5 \times 8 = 40 \\ c &= \dfrac{80}{5} = 16 \\ d &= \dfrac{80}{8} = 10 \end{aligned} \]Pemeriksaan dengan faktor pengali: \( x \) dari 2 menjadi 5 (dikalikan 2,5), sehingga \( y = 10 \times 2{,}5 = 25 \) dan \( z = 40 \div 2{,}5 = 16 \) (sesuai).
Langkah 4: Tentukan \( x \) agar \( y = z \) (bagian c)
\[ \begin{aligned} 5x &= \dfrac{80}{x} \\ 5x^2 &= 80 \\ x^2 &= 16 \\ x &= 4 \end{aligned} \]Nilai \( x = -4 \) tidak dipakai karena \( x \) pada tabel bernilai positif. Nilai \( y \) saat \( x = 4 \):
\[ y = 5 \times 4 = 20 \]Pemeriksaan: \( z = \dfrac{80}{4} = 20 \), sama dengan \( y \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
b. Tunjukkan kesalahan Rina, lalu hitung waktu yang benar.
c. Tentukan banyak pekerja yang diperlukan agar jalan selesai dalam 4 hari.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 9 pekerja menyelesaikan jalan dalam 8 hari, dan Rina memperoleh 10,7 hari untuk 12 pekerja. Ditanya (a) jenis hubungan, (b) kesalahan Rina dan waktu yang benar, serta (c) pekerja agar selesai dalam 4 hari.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan (bagian a)
Semakin banyak pekerja, pekerjaan selesai semakin cepat. Kedua besaran berubah berlawanan arah dan hasil kalinya tetap, yaitu total pekerjaan. Jadi hubungannya berbalik nilai.
Langkah 3: Cari kesalahan Rina dan hitung waktu yang benar (bagian b)
Rina memakai bentuk \( \dfrac{9}{8} = \dfrac{12}{t} \), yaitu rumus senilai. Hasilnya tidak wajar: pekerja bertambah dari 9 menjadi 12, tetapi waktu justru naik dari 8 menjadi 10,7 hari. Cara yang benar:
\[ \begin{aligned} 9 \times 8 &= 12 \times t \\ 72 &= 12t \\ t &= 6 \end{aligned} \]Pemeriksaan: pekerja dikalikan \( \dfrac{4}{3} \), sehingga waktu dikalikan \( \dfrac{3}{4} \): \( 8 \times \dfrac{3}{4} = 6 \) (sesuai).
Langkah 4: Hitung pekerja untuk waktu 4 hari (bagian c)
\[ \begin{aligned} n \times 4 &= 72 \\ n &= \dfrac{72}{4} \\ &= 18 \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( 18 \times 4 = 72 \) (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
Subbab: 5. Membedakan Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai
Dua besaran dapat dibedakan jenis hubungannya dengan menganalisis data, tabel, grafik, maupun situasi yang diberikan. Pada perbandingan senilai, kedua besaran berubah searah dan hasil bagi \( \dfrac{y}{x} = k \) selalu tetap, sehingga \( y = kx \) dan grafiknya berupa garis lurus yang melalui titik asal \( (0, 0) \). Pada perbandingan berbalik nilai, kedua besaran berubah berlawanan arah dan hasil kali \( x \times y = k \) selalu tetap, sehingga \( y = \dfrac{k}{x} \) dan grafiknya berupa kurva yang tidak melalui titik asal.
Tidak semua hubungan termasuk salah satu dari keduanya. Hubungan seperti \( y = ax + b \) dengan \( b \ne 0 \), misalnya tarif yang memiliki biaya awal, naik dengan selisih tetap tetapi hasil bagi dan hasil kalinya tidak tetap, sehingga bukan senilai maupun berbalik nilai. Dalam situasi nyata, jenis hubungan juga bergantung pada besaran yang dijaga tetap. Kecepatan dan waktu berbalik nilai jika jaraknya tetap, tetapi kecepatan dan jarak senilai jika waktunya tetap.
Langkah analisis yang disarankan: (1) periksa arah perubahan kedua besaran, (2) uji hasil bagi dan hasil kali untuk semua pasangan nilai, (3) perhatikan bentuk grafik dan apakah melalui titik asal, lalu (4) periksa kesesuaiannya dengan logika situasi.
Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut penalaran.
- Banyak buku dan total harga buku (harga tiap buku sama)
- Banyak bensin dan jarak tempuh (konsumsi bensin sama)
- Banyak kue dan banyak tepung yang diperlukan (resep sama)
- Kecepatan kendaraan dan waktu tempuh (jarak sama)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui empat pasangan besaran. Ditanya pasangan yang berbanding berbalik nilai.
Langkah 2: Periksa arah perubahan tiap pilihan
\[ \begin{aligned} \text{A: } &\text{buku bertambah} \Rightarrow \text{total harga bertambah (searah, senilai)} \\ \text{B: } &\text{bensin bertambah} \Rightarrow \text{jarak bertambah (searah, senilai)} \\ \text{C: } &\text{kue bertambah} \Rightarrow \text{tepung bertambah (searah, senilai)} \\ \text{D: } &\text{kecepatan bertambah} \Rightarrow \text{waktu berkurang (berlawanan arah)} \end{aligned} \]Langkah 3: Uji dengan hasil kali pada pilihan D
Pada jarak tetap, \( \text{kecepatan} \times \text{waktu} = \text{jarak} \), yaitu nilai yang tetap. Hasil kali tetap merupakan ciri perbandingan berbalik nilai.
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- Pada perbandingan berbalik nilai, hasil bagi kedua besaran selalu tetap
- Grafik perbandingan senilai berupa garis lurus yang melalui titik asal
- Pada perbandingan senilai, jika satu besaran membesar maka besaran lainnya mengecil
- Grafik perbandingan berbalik nilai melalui titik asal
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui empat pernyataan tentang ciri perbandingan. Ditanya pernyataan yang benar.
Langkah 2: Ingat ciri tiap jenis perbandingan
Senilai: \( \dfrac{y}{x} = k \), searah, grafik garis lurus melalui \( (0, 0) \). Berbalik nilai: \( x \times y = k \), berlawanan arah, grafik kurva.
Langkah 3: Periksa setiap pilihan
\[ \begin{aligned} \text{A: } &\text{pada berbalik nilai yang tetap adalah hasil kali, bukan hasil bagi (salah)} \\ \text{B: } &y = kx \text{ berupa garis lurus melalui } (0, 0) \ (\text{benar}) \\ \text{C: } &\text{pada senilai kedua besaran berubah searah (salah)} \\ \text{D: } &xy = k \text{ dengan } k \ne 0 \text{ tidak pernah memberi } x = 0 \text{ atau } y = 0 \ (\text{salah}) \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- Senilai, berbalik nilai, dan bukan keduanya
- Berbalik nilai, senilai, dan bukan keduanya
- Senilai, senilai, dan berbalik nilai
- Senilai, berbalik nilai, dan senilai
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui tabel nilai \( x \) dengan \( P \), \( Q \), dan \( R \). Ditanya jenis hubungan \( x \) dengan masing-masing besaran.
Langkah 2: Uji hasil bagi dan hasil kali tiap besaran
\[ \begin{aligned} P: &\ \dfrac{6}{2} = 3;\ \dfrac{12}{4} = 3;\ \dfrac{15}{5} = 3;\ \dfrac{30}{10} = 3 \ (\text{hasil bagi tetap}) \\ Q: &\ 2 \times 20 = 40;\ 4 \times 10 = 40;\ 5 \times 8 = 40;\ 10 \times 4 = 40 \ (\text{hasil kali tetap}) \\ R: &\ \dfrac{5}{2} = 2{,}5;\ \dfrac{9}{4} = 2{,}25;\ \dfrac{11}{5} = 2{,}2 \ (\text{hasil bagi tidak tetap}) \\ &\ 2 \times 5 = 10;\ 4 \times 9 = 36;\ 5 \times 11 = 55 \ (\text{hasil kali tidak tetap}) \end{aligned} \]Langkah 3: Tarik kesimpulan tiap besaran
\( P \) searah dengan \( x \) dan \( \dfrac{P}{x} \) tetap, jadi senilai. \( Q \) berlawanan arah dengan \( x \) dan \( x \times Q \) tetap, jadi berbalik nilai. \( R \) membesar bersama \( x \) tetapi hasil baginya tidak tetap, jadi bukan senilai maupun berbalik nilai (polanya \( R = 2x + 1 \) pada tiga nilai pertama).
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- Berbalik nilai dan senilai
- Senilai dan senilai
- Senilai dan berbalik nilai
- Berbalik nilai dan berbalik nilai
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui grafik (i) dengan titik (2, 4), (4, 8), (6, 12) dan grafik (ii) dengan titik (2, 12), (4, 6), (6, 4). Ditanya jenis hubungan pada tiap grafik.
Langkah 2: Analisis grafik (i)
Grafik berupa garis lurus yang melalui titik asal. Uji hasil bagi:
\[ \dfrac{4}{2} = 2;\ \dfrac{8}{4} = 2;\ \dfrac{12}{6} = 2 \]Hasil bagi tetap, yaitu \( k = 2 \), sehingga hubungannya senilai dengan \( y = 2x \).
Langkah 3: Analisis grafik (ii)
Grafik berupa kurva menurun yang tidak melalui titik asal. Uji hasil kali:
\[ 2 \times 12 = 24;\ 4 \times 6 = 24;\ 6 \times 4 = 24 \]Hasil kali tetap, yaitu \( k = 24 \), sehingga hubungannya berbalik nilai dengan \( y = \dfrac{24}{x} \).
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- \( y = \dfrac{x}{4} \)
- \( y = x - 4 \)
- \( y = 4x + 1 \)
- \( x \times y = 36 \)
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui empat persamaan. Ditanya persamaan yang menyatakan perbandingan berbalik nilai.
Langkah 2: Ingat bentuk persamaan berbalik nilai
Perbandingan berbalik nilai berbentuk \( xy = k \) atau \( y = \dfrac{k}{x} \) dengan \( k \) tetap.
Langkah 3: Uji tiap pilihan dengan beberapa nilai \( x \)
\[ \begin{aligned} \text{A: } &\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{4} \text{ tetap, } y \text{ ikut membesar} \Rightarrow \text{senilai} \\ \text{B: } &x = 5, 6, 7 \Rightarrow y = 1, 2, 3;\ \dfrac{y}{x} \text{ dan } xy \text{ tidak tetap} \Rightarrow \text{bukan keduanya} \\ \text{C: } &x = 1, 2, 3 \Rightarrow y = 5, 9, 13;\ \dfrac{y}{x} \text{ dan } xy \text{ tidak tetap} \Rightarrow \text{bukan keduanya} \\ \text{D: } &x = 1, 2, 3 \Rightarrow y = 36, 18, 12;\ xy = 36 \text{ tetap} \Rightarrow \text{berbalik nilai} \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- Senilai, karena biaya membesar saat lama parkir membesar
- Bukan senilai maupun berbalik nilai, karena hasil bagi dan hasil kalinya tidak tetap
- Berbalik nilai, karena kedua besaran berubah secara teratur
- Senilai, karena biaya naik dengan selisih tetap Rp2.000
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui pasangan (lama parkir, biaya): (1, 3.000), (2, 5.000), (3, 7.000), (4, 9.000). Ditanya jenis hubungan kedua besaran.
Langkah 2: Uji hasil bagi dan hasil kali
\[ \begin{aligned} \dfrac{y}{x} &: \dfrac{3.000}{1} = 3.000;\ \dfrac{5.000}{2} = 2.500;\ \dfrac{7.000}{3} \approx 2.333;\ \dfrac{9.000}{4} = 2.250 \\ xy &: 3.000;\ 10.000;\ 21.000;\ 36.000 \end{aligned} \]Hasil bagi dan hasil kali sama-sama tidak tetap.
Langkah 3: Cari pola yang sebenarnya
Biaya naik Rp2.000 setiap jam, sehingga \( y = 2.000x + 1.000 \). Bentuk ini memuat biaya awal Rp1.000, sehingga grafiknya tidak melalui titik asal dan bukan perbandingan senilai.
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
(i) Kecepatan tetap 40 km/jam. Besaran: lama perjalanan \( t \) (jam) dan jarak \( s \) (km).
(ii) Jarak tetap 120 km. Besaran: kecepatan \( v \) (km/jam) dan waktu \( t \) (jam).
(iii) Lama perjalanan tetap 3 jam. Besaran: kecepatan \( v \) (km/jam) dan jarak \( s \) (km).
a. Tentukan jenis perbandingan pada tiap situasi beserta alasannya.
b. Tulis persamaan pada tiap situasi.
c. Pada situasi (ii), tentukan waktu yang dihemat jika kecepatan dinaikkan dari 40 km/jam menjadi 60 km/jam.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui tiga situasi dengan besaran tetap yang berbeda. Ditanya (a) jenis perbandingan, (b) persamaan, dan (c) waktu yang dihemat pada situasi (ii).
Langkah 2: Tentukan jenis perbandingan (bagian a)
Jenis hubungan bergantung pada besaran yang dijaga tetap:
\[ \begin{aligned} \text{(i) } &\dfrac{s}{t} = 40 \text{ (kecepatan, tetap)} \Rightarrow \text{senilai} \\ \text{(ii) } &v \times t = 120 \text{ (jarak, tetap)} \Rightarrow \text{berbalik nilai} \\ \text{(iii) } &\dfrac{s}{v} = 3 \text{ (waktu, tetap)} \Rightarrow \text{senilai} \end{aligned} \]Pada (i) dan (iii) kedua besaran berubah searah, sedangkan pada (ii) kecepatan yang lebih besar membuat waktu lebih singkat.
Langkah 3: Susun persamaan (bagian b)
\[ \begin{aligned} \text{(i) } &s = 40t \\ \text{(ii) } &t = \dfrac{120}{v} \\ \text{(iii) } &s = 3v \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung waktu yang dihemat (bagian c)
\[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{120}{40} = 3 \text{ jam} \\ t_2 &= \dfrac{120}{60} = 2 \text{ jam} \\ \text{dihemat} &= 3 - 2 = 1 \text{ jam} \end{aligned} \]Pemeriksaan dengan faktor pengali: kecepatan dikalikan 1,5, sehingga waktu dikalikan \( \dfrac{2}{3} \): \( 3 \times \dfrac{2}{3} = 2 \) jam (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- Grafik I berbalik nilai, grafik II senilai, dan grafik III bukan keduanya
- Grafik I senilai, grafik II senilai, dan grafik III berbalik nilai
- Grafik I senilai, grafik II bukan senilai maupun berbalik nilai, dan grafik III berbalik nilai
- Grafik I senilai, grafik II berbalik nilai, dan grafik III bukan keduanya
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui tiga grafik: I garis lurus dari titik asal sampai (8, 8), II garis lurus dari (0, 2) sampai (8, 10), dan III kurva menurun melalui (2, 6), (4, 3), (6, 2). Ditanya jenis hubungan pada tiap grafik.
Langkah 2: Analisis grafik I
Garis lurus yang melalui titik asal dengan \( \dfrac{8}{8} = 1 \), sehingga \( y = x \). Hasil bagi tetap, jadi hubungannya senilai.
Langkah 3: Analisis grafik II
Garis ini lurus tetapi memotong sumbu \( y \) di \( (0, 2) \), sehingga tidak melalui titik asal. Uji dengan titik (4, 6) dan (8, 10):
\[ \begin{aligned} \dfrac{6}{4} &= 1{,}5 \ne \dfrac{10}{8} = 1{,}25 \\ 4 \times 6 &= 24 \ne 8 \times 10 = 80 \end{aligned} \]Hasil bagi dan hasil kalinya tidak tetap (polanya \( y = x + 2 \)), jadi bukan senilai maupun berbalik nilai.
Langkah 4: Analisis grafik III
\[ 2 \times 6 = 12;\ 4 \times 3 = 12;\ 6 \times 2 = 12 \]Grafik berupa kurva menurun dengan hasil kali tetap, \( k = 12 \), jadi hubungannya berbalik nilai.
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
b. Tulis persamaan suhu \( y \) terhadap waktu \( x \) dari pola kenaikannya, lalu tentukan suhu pada menit ke-10.
c. Jika siswa keliru menganggap hubungannya senilai berdasarkan data (2, 35), tentukan suhu yang diprediksi pada menit ke-10 dan selisihnya terhadap nilai sebenarnya.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui data (0, 25), (2, 35), (4, 45), (6, 55) dengan waktu dalam menit dan suhu dalam °C. Ditanya (a) jenis hubungan, (b) persamaan dan suhu menit ke-10, serta (c) prediksi jika dianggap senilai beserta selisihnya.
Langkah 2: Uji hasil bagi dan hasil kali (bagian a)
\[ \begin{aligned} \dfrac{y}{x} &: \dfrac{35}{2} = 17{,}5;\ \dfrac{45}{4} = 11{,}25;\ \dfrac{55}{6} \approx 9{,}17 \\ xy &: 2 \times 35 = 70;\ 4 \times 45 = 180;\ 6 \times 55 = 330 \end{aligned} \]Hasil bagi dan hasil kali tidak tetap. Selain itu, pada \( x = 0 \) suhunya 25 °C, padahal hubungan senilai selalu memberi \( y = 0 \) saat \( x = 0 \). Jadi hubungannya bukan senilai maupun berbalik nilai.
Langkah 3: Susun persamaan dan hitung suhu menit ke-10 (bagian b)
Suhu naik 10 °C tiap 2 menit, yaitu 5 °C tiap menit, dengan suhu awal 25 °C:
\[ \begin{aligned} y &= 5x + 25 \\ y_{x=10} &= 5 \times 10 + 25 \\ &= 75 \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( 5 \times 6 + 25 = 55 \), sesuai dengan tabel.
Langkah 4: Hitung prediksi yang keliru (bagian c)
\[ \begin{aligned} k &= \dfrac{35}{2} = 17{,}5 \\ y &= 17{,}5 \times 10 = 175 \\ \text{selisih} &= 175 - 75 = 100 \end{aligned} \]Prediksi 175 °C tidak wajar karena air mendidih pada sekitar 100 °C. Hal ini menunjukkan pentingnya menguji hubungan dengan semua data, bukan satu pasangan saja.
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
b. Tulis persamaan biaya \( y \) (ribu rupiah) terhadap banyak lembar \( x \) untuk tiap toko.
c. Tentukan banyak lembar agar biaya kedua toko sama, lalu tentukan toko yang lebih murah untuk 100 lembar.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui grafik Toko A (garis lurus dari titik asal melalui (40, 8)) dan Toko B (garis lurus dari (0, 2) melalui (40, 8)), dengan biaya dalam ribu rupiah. Ditanya (a) jenis hubungan, (b) persamaan, dan (c) banyak lembar saat biaya sama serta toko termurah untuk 100 lembar.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan (bagian a)
Toko A berupa garis lurus melalui titik asal, sehingga senilai. Toko B berupa garis lurus tetapi memotong sumbu \( y \) di \( (0, 2) \), yaitu biaya jilid Rp2.000 untuk 0 lembar, sehingga tidak melalui titik asal. Hasil baginya pun tidak tetap, misalnya \( \dfrac{8}{40} = 0{,}2 \) pada 40 lembar dan \( \dfrac{11}{60} \approx 0{,}18 \) pada 60 lembar. Jadi Toko B bukan senilai maupun berbalik nilai.
Langkah 3: Susun persamaan (bagian b)
\[ \begin{aligned} \text{Toko A: } k &= \dfrac{8}{40} = 0{,}2 \Rightarrow y = 0{,}2x \\ \text{Toko B: } \text{kenaikan per lembar} &= \dfrac{8 - 2}{40} = 0{,}15 \Rightarrow y = 0{,}15x + 2 \end{aligned} \]Artinya Toko A menarik Rp200 per lembar, sedangkan Toko B menarik Rp150 per lembar ditambah biaya jilid Rp2.000.
Langkah 4: Hitung banyak lembar saat biaya sama (bagian c)
\[ \begin{aligned} 0{,}2x &= 0{,}15x + 2 \\ 0{,}05x &= 2 \\ x &= 40 \end{aligned} \]Biaya pada 40 lembar adalah \( 0{,}2 \times 40 = 8 \) ribu rupiah, sesuai dengan titik potong (40, 8) pada grafik.
Langkah 5: Bandingkan biaya untuk 100 lembar (bagian c)
\[ \begin{aligned} \text{Toko A} &= 0{,}2 \times 100 = 20 \text{ ribu} \\ \text{Toko B} &= 0{,}15 \times 100 + 2 = 17 \text{ ribu} \end{aligned} \]Toko B lebih murah Rp3.000.
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
Subbab: 6. Aplikasi dan Pemecahan Masalah Kontekstual
Perbandingan senilai dan berbalik nilai banyak dipakai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada resep makanan, harga barang, skala peta, kecepatan dan waktu tempuh, serta waktu kerja dan jumlah pekerja. Dalam masalah kontekstual, kemampuan memilih model yang tepat sama pentingnya dengan kemampuan menghitung.
Langkah pemecahan masalah yang disarankan:
- pahami soal dan tulis yang diketahui serta ditanya
- tentukan jenis hubungan dengan memperhatikan besaran yang dijaga tetap, apakah senilai atau berbalik nilai
- pilih strategi, yaitu nilai satu satuan, faktor pengali, rasio, atau persamaan
- hitung dengan memperhatikan kesamaan satuan
- periksa kewajaran hasil
- tafsirkan jawaban sesuai konteks, misalnya banyak orang atau potong harus bilangan bulat sehingga hasil perlu dibulatkan dengan tepat.
Beberapa hubungan yang sering muncul: resep dan harga barang bersifat senilai; jarak peta dan jarak sebenarnya senilai; kecepatan dan waktu pada jarak tetap berbalik nilai; serta jumlah pekerja dan waktu penyelesaian berbalik nilai.
Latihan berikut disusun bertahap dari soal dasar sampai soal kontekstual yang menuntut penalaran.
- 1.200 mL
- 1.500 mL
- 1.800 mL
- 750 mL
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 8 porsi memerlukan 600 mL susu. Ditanya susu untuk 20 porsi.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan
Semakin banyak porsi, semakin banyak susu yang diperlukan, sehingga hubungannya senilai.
Langkah 3: Hitung susu untuk 20 porsi
\[ \begin{aligned} \text{susu per porsi} &= \dfrac{600}{8} = 75 \text{ mL} \\ \text{susu 20 porsi} &= 20 \times 75 \\ &= 1.500 \text{ mL} \end{aligned} \]Pemeriksaan dengan faktor pengali: \( \dfrac{20}{8} = 2{,}5 \) dan \( 600 \times 2{,}5 = 1.500 \) (sesuai).
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- Rp48.000
- Rp54.000
- Rp60.000
- Rp180.000
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 3 kg apel seharga Rp72.000. Ditanya harga 2,5 kg apel.
Langkah 2: Hitung harga satu kilogram
\[ \dfrac{72.000}{3} = 24.000 \]Jadi harga satu kilogram apel adalah Rp24.000.
Langkah 3: Hitung harga 2,5 kg
\[ \begin{aligned} \text{harga} &= 2{,}5 \times 24.000 \\ &= 60.000 \end{aligned} \]Pemeriksaan kewajaran: 2,5 kg lebih sedikit daripada 3 kg, sehingga harganya harus kurang dari Rp72.000 (sesuai).
Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
- 90 km
- 9 km
- 900 km
- 15 km
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui jarak pada peta 6 cm dan skala \( 1 : 1.500.000 \). Ditanya jarak sebenarnya.
Langkah 2: Tentukan arti skala
Jarak pada peta dan jarak sebenarnya berbanding senilai. Skala \( 1 : 1.500.000 \) berarti 1 cm pada peta mewakili 1.500.000 cm sebenarnya:
\[ 1.500.000 \text{ cm} = 15.000 \text{ m} = 15 \text{ km} \]Langkah 3: Hitung jarak sebenarnya
\[ \begin{aligned} \text{jarak sebenarnya} &= 6 \times 15 \\ &= 90 \text{ km} \end{aligned} \]Langkah 4: Periksa hasil
\[ \dfrac{90 \text{ km}}{1.500.000} = \dfrac{9.000.000 \text{ cm}}{1.500.000} = 6 \text{ cm} \]Hasilnya sesuai dengan jarak pada peta.
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- 10.45
- 09.45
- 08.45
- 09.15
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui bus berangkat pukul 06.15, jarak 270 km, kecepatan semula 60 km/jam, dan kecepatan baru 90 km/jam. Ditanya waktu tiba dengan kecepatan baru.
Langkah 2: Tentukan jenis hubungan
Jarak tetap, sehingga kecepatan dan waktu tempuh berbanding berbalik nilai.
Langkah 3: Hitung waktu tempuh dengan kecepatan baru
\[ \begin{aligned} t &= \dfrac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}} = \dfrac{270}{90} \\ &= 3 \text{ jam} \end{aligned} \]Pemeriksaan dengan faktor pengali: waktu semula \( \dfrac{270}{60} = 4{,}5 \) jam. Kecepatan dikalikan 1,5, sehingga waktu dikalikan \( \dfrac{2}{3} \): \( 4{,}5 \times \dfrac{2}{3} = 3 \) jam (sesuai).
Langkah 4: Hitung waktu tiba
\[ 06.15 + 3 \text{ jam} = 09.15 \]Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- 24
- 26
- 28
- 30
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui 18 pekerja merencanakan 20 hari, bekerja 8 hari, lalu 6 pekerja berhenti. Ditanya total hari sampai proyek selesai.
Langkah 2: Hitung total dan sisa pekerjaan
\[ \begin{aligned} \text{total} &= 18 \times 20 = 360 \text{ pekerja-hari} \\ \text{sudah dikerjakan} &= 18 \times 8 = 144 \text{ pekerja-hari} \\ \text{sisa} &= 360 - 144 = 216 \text{ pekerja-hari} \end{aligned} \]Langkah 3: Hitung waktu untuk sisa pekerjaan
Banyak pekerja dan waktu berbanding berbalik nilai. Pekerja yang tersisa adalah \( 18 - 6 = 12 \) orang:
\[ \begin{aligned} 12 \times t &= 216 \\ t &= 18 \text{ hari} \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung total hari dan periksa
\[ 8 + 18 = 26 \text{ hari} \]Pemeriksaan: \( 144 + 12 \times 18 = 144 + 216 = 360 \) pekerja-hari (sesuai). Proyek terlambat 6 hari dari rencana 20 hari.
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
- Kemasan A, karena harganya paling murah
- Kemasan C, karena beratnya paling besar
- Kemasan B, karena harga per 100 gram paling rendah
- Ketiganya sama hemat
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui berat dan harga tiga kemasan gula. Ditanya kemasan yang paling hemat.
Langkah 2: Tentukan cara membandingkan
Harga dan berat berbanding senilai. Agar adil, bandingkan harga untuk berat yang sama, misalnya per 100 gram. Kemasan dengan harga per 100 gram terendah adalah yang paling hemat.
Langkah 3: Hitung harga per 100 gram
\[ \begin{aligned} \text{A: } &\dfrac{12.500}{250} \times 100 = 5.000 \\ \text{B: } &\dfrac{18.400}{400} \times 100 = 4.600 \\ \text{C: } &\dfrac{47.000}{1.000} \times 100 = 4.700 \end{aligned} \]Langkah 4: Kesimpulan dan jawaban
a. Tentukan jarak sebenarnya Kota P dan Kota Q.
b. Tentukan lama perjalanan Pak Rudi.
c. Agar tiba dalam 2,5 jam, tentukan kecepatan rata-rata yang diperlukan.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui skala \( 1 : 2.000.000 \), jarak pada peta 7,5 cm, dan kecepatan 50 km/jam. Ditanya (a) jarak sebenarnya, (b) lama perjalanan, dan (c) kecepatan agar tiba dalam 2,5 jam.
Langkah 2: Hitung jarak sebenarnya (bagian a)
Jarak peta dan jarak sebenarnya berbanding senilai:
\[ \begin{aligned} \text{jarak sebenarnya} &= 7{,}5 \times 2.000.000 \\ &= 15.000.000 \text{ cm} \\ &= 150 \text{ km} \end{aligned} \]Langkah 3: Hitung lama perjalanan (bagian b)
\[ \begin{aligned} t &= \dfrac{150}{50} \\ &= 3 \text{ jam} \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung kecepatan agar tiba dalam 2,5 jam (bagian c)
Jarak tetap, sehingga kecepatan dan waktu berbanding berbalik nilai:
\[ \begin{aligned} v &= \dfrac{150}{2{,}5} \\ &= 60 \text{ km/jam} \end{aligned} \]Langkah 5: Periksa dengan faktor pengali
Waktu berubah dari 3 menjadi 2,5 jam, yaitu dikalikan \( \dfrac{5}{6} \). Kecepatan dikalikan kebalikannya, yaitu \( \dfrac{6}{5} \): \( 50 \times \dfrac{6}{5} = 60 \) km/jam (sesuai).
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
- 9 jam
- 4 jam
- 18 jam
- 6 jam
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui Pak Ali menyelesaikan pagar dalam 12 jam dan Pak Budi dalam 6 jam. Ditanya waktu jika keduanya bekerja bersama.
Langkah 2: Tentukan kecepatan kerja tiap orang
Anggap seluruh pagar sebagai 1 bagian pekerjaan. Kecepatan kerja berbanding berbalik nilai dengan waktu penyelesaian:
\[ \begin{aligned} \text{Pak Ali} &= \dfrac{1}{12} \text{ bagian per jam} \\ \text{Pak Budi} &= \dfrac{1}{6} \text{ bagian per jam} \end{aligned} \]Langkah 3: Hitung kecepatan kerja bersama
\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} &= \dfrac{1}{12} + \dfrac{2}{12} \\ &= \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \text{ bagian per jam} \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung waktu bersama dan periksa
\[ t = \dfrac{1}{\dfrac{1}{4}} = 4 \text{ jam} \]Pemeriksaan: dalam 4 jam, Pak Ali mengerjakan \( \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \) bagian dan Pak Budi \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \) bagian. Jumlahnya \( \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1 \) pagar (sesuai).
Langkah 5: Kesimpulan dan jawaban
b. Tentukan banyak porsi paling banyak yang dapat dibuat dengan persediaan tersebut.
c. Enam relawan memasak 120 porsi dalam 4 jam. Agar selesai dalam 3 jam, tentukan banyak relawan tambahan yang diperlukan.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui resep dan persediaan pada tabel, serta 6 relawan memasak 120 porsi dalam 4 jam. Ditanya (a) kebutuhan bahan untuk 120 porsi, (b) porsi terbanyak, dan (c) relawan tambahan agar selesai dalam 3 jam.
Langkah 2: Hitung kebutuhan bahan (bagian a)
Banyak porsi dan banyak bahan berbanding senilai. Faktor pengali \( \dfrac{120}{20} = 6 \):
\[ \begin{aligned} \text{beras} &= 6 \times 3 = 18 \text{ kg} \\ \text{ayam} &= 6 \times 2 = 12 \text{ kg} \\ \text{telur} &= 6 \times 40 = 240 \text{ butir} \end{aligned} \]Langkah 3: Hitung porsi terbanyak (bagian b)
Hitung berapa kali resep dasar dapat dibuat dari tiap persediaan, lalu kalikan dengan 20 porsi:
\[ \begin{aligned} \text{beras: } &\dfrac{20}{3} \times 20 \approx 133{,}3 \\ \text{ayam: } &\dfrac{10}{2} \times 20 = 100 \\ \text{telur: } &\dfrac{200}{40} \times 20 = 100 \end{aligned} \]Jumlah porsi dibatasi bahan yang paling sedikit, yaitu ayam dan telur, sehingga paling banyak 100 porsi. Pada 120 porsi, ayam kurang 2 kg dan telur kurang 40 butir.
Langkah 4: Hitung relawan agar selesai dalam 3 jam (bagian c)
Banyak relawan dan waktu berbanding berbalik nilai:
\[ \begin{aligned} 6 \times 4 &= 24 \text{ relawan-jam} \\ n \times 3 &= 24 \\ n &= 8 \end{aligned} \]Relawan tambahan: \( 8 - 6 = 2 \) orang.
Langkah 5: Periksa hasil
Bagian b: \( 100 \) porsi memerlukan ayam \( 5 \times 2 = 10 \) kg dan telur \( 5 \times 40 = 200 \) butir, tepat sama dengan persediaan. Bagian c: faktor waktu \( \dfrac{3}{4} \), sehingga relawan dikalikan \( \dfrac{4}{3} \): \( 6 \times \dfrac{4}{3} = 8 \) (sesuai).
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
b. Tulis persamaan waktu \( t \) terhadap banyak keran \( n \), lalu tentukan volume bak.
c. Bak diisi dengan 2 keran selama 20 menit, kemudian dibuka 3 keran tambahan sehingga seluruhnya 5 keran. Tentukan total waktu sampai bak penuh.
Lihat pembahasan
Langkah 1: Tulis yang diketahui dan ditanya
Diketahui tabel banyak keran dan waktu, serta debit tiap keran 10 liter per menit. Ditanya (a) nilai \( a \) dan \( b \), (b) persamaan dan volume bak, dan (c) total waktu pada pengisian bertahap.
Langkah 2: Hitung nilai \( a \) dan \( b \) (bagian a)
Volume tetap, sehingga banyak keran dan waktu berbanding berbalik nilai:
\[ \begin{aligned} k &= 2 \times 60 = 120 \text{ keran-menit} \\ 3 \times a &= 120 \Rightarrow a = 40 \\ 5 \times b &= 120 \Rightarrow b = 24 \end{aligned} \]Pemeriksaan: \( 6 \times 20 = 120 \) (sesuai).
Langkah 3: Susun persamaan dan hitung volume (bagian b)
\[ \begin{aligned} t &= \dfrac{120}{n} \\ \text{volume} &= 120 \times 10 \\ &= 1.200 \text{ liter} \end{aligned} \]Langkah 4: Hitung total waktu pengisian bertahap (bagian c)
Dengan 2 keran, bak penuh dalam 60 menit. Selama 20 menit, bagian yang terisi adalah \( \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3} \), sehingga sisanya \( \dfrac{2}{3} \) bagian. Dengan 5 keran, bak penuh dalam 24 menit, sehingga sisa \( \dfrac{2}{3} \) bagian memerlukan:
\[ \begin{aligned} t_2 &= \dfrac{2}{3} \times 24 \\ &= 16 \text{ menit} \\ \text{total} &= 20 + 16 = 36 \text{ menit} \end{aligned} \]Langkah 5: Periksa dengan volume air
\[ \begin{aligned} \text{tahap 1: } &2 \times 10 \times 20 = 400 \text{ liter} \\ \text{tahap 2: } &5 \times 10 \times 16 = 800 \text{ liter} \\ \text{jumlah} &= 400 + 800 = 1.200 \text{ liter} \end{aligned} \]Jumlahnya sama dengan volume bak (sesuai).
Langkah 6: Kesimpulan dan jawaban
Tidak ada komentar:
Posting Komentar