Persamaan Kuadrat untuk SMA (20 Soal HOTS dan Pembahasannya)

Persamaan kuadrat sering muncul dalam situasi sehari-hari, mulai dari ukuran taman dan bingkai foto, lintasan bola, harga tiket, sampai kesetimbangan kimia dan percobaan lensa. Pada halaman ini tersedia 20 soal latihan yang disusun bertahap menjadi 4 soal mudah, 8 soal sedang, dan 8 soal HOTS. Setiap soal dilengkapi gambar agar situasinya mudah dibayangkan, dan pembahasannya disembunyikan dalam kotak "Lihat pembahasan".

Coba kerjakan sendiri di kertas terlebih dahulu, baru buka pembahasannya untuk mencocokkan langkah dan jawabanmu. Perhatikan juga akar yang tidak masuk akal pada konteks soal, misalnya panjang atau waktu yang bernilai negatif, karena akar seperti itu harus ditolak.

Teori Ringkas

• Bentuk umum: $ax^2+bx+c=0$ dengan a ≠ 0. Akar-akarnya adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan.
• Cara mencari akar: faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus ABC $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Diskriminan $D=b^2-4ac$: $D\gt 0$ dua akar real berbeda, $D=0$ dua akar real kembar, $D\lt 0$ tidak ada akar real.
• Jumlah dan hasil kali akar: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ dan $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Secara grafik, akar adalah absis titik potong parabola $y=ax^2+bx+c$ dengan sumbu X.
• Pada soal cerita: buat model, selesaikan, buang akar yang tidak masuk akal (misalnya panjang negatif), lalu cek kembali.

Latihan Soal Persamaan Kuadrat: Set 1

Sebuah taman berbentuk persegi panjang seperti pada gambar. Lebarnya $x$ meter dan panjangnya $3$ meter lebih dari lebarnya. Jika luas taman $40\ \text{m}^2$, tentukan lebar dan panjang taman.

Lihat pembahasan

Luas persegi panjang = panjang × lebar.

$$\begin{aligned}x(x+3)&=40\\x^2+3x&=40\\x^2+3x-40&=0\\(x+8)(x-5)&=0\\x=-8\ &\text{atau}\ x=5\end{aligned}$$

Lebar tidak mungkin negatif, sehingga $x=-8$ ditolak.

$$\begin{aligned}\text{lebar}&=5\ \text{m}\\\text{panjang}&=x+3=8\ \text{m}\end{aligned}$$

Cek: $5\times 8=40$ (benar).

Lebar 5 m dan panjang 8 m

Grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ memotong sumbu X di titik $A(-1,0)$ dan $B(3,0)$, serta memotong sumbu Y di titik $C(0,-6)$ seperti pada gambar.
Tentukan:
(a) fungsi $f(x)$
(b) koordinat titik puncak parabola.

Lihat pembahasan

(a) Karena akar-akarnya $-1$ dan $3$, fungsi dapat ditulis dalam bentuk faktor. Titik $C(0,-6)$ digunakan untuk mencari $a$.

$$\begin{aligned}f(x)&=a(x+1)(x-3)\\-6&=a(0+1)(0-3)\\-6&=-3a\\a&=2\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}f(x)&=2(x+1)(x-3)\\&=2(x^2-2x-3)\\&=2x^2-4x-6\end{aligned}$$

(b) Absis puncak berada di tengah kedua akar.

$$\begin{aligned}x_p&=\dfrac{-1+3}{2}=1\\y_p&=f(1)\\&=2(1)^2-4(1)-6\\&=-8\end{aligned}$$ $f(x)=2x^2-4x-6$ dan titik puncak $(1,-8)$

Sebuah tangga sepanjang $10$ m bersandar pada dinding tegak. Jarak kaki tangga ke dinding adalah $x$ meter, sedangkan tinggi ujung atas tangga dari tanah $2$ meter lebih dari jarak kaki tangga ke dinding. Tentukan tinggi ujung atas tangga dari tanah.

Lihat pembahasan

Dinding, tanah, dan tangga membentuk segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Pythagoras.

$$\begin{aligned}x^2+(x+2)^2&=10^2\\x^2+x^2+4x+4&=100\\2x^2+4x-96&=0\\x^2+2x-48&=0\\(x+8)(x-6)&=0\\x=-8\ &\text{atau}\ x=6\end{aligned}$$

Jarak tidak boleh negatif, jadi $x=6$ m. Tinggi ujung atas tangga:

$$\begin{aligned}x+2&=6+2\\&=8\ \text{m}\end{aligned}$$

Cek: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$ (benar).

Tinggi ujung atas tangga 8 m

Gambar menunjukkan parabola $y=x^2-6x+8$ dan dua garis mendatar $y=3$ dan $y=-1{,}5$. Andi berpendapat: "Garis $y=k$ pasti memotong parabola di dua titik berbeda selama $k\gt -2$."

(a) Berdasarkan gambar dan perhitungan diskriminan, nilai $k$ berapa yang membuat garis tepat menyinggung parabola? Apakah pendapat Andi benar? Jelaskan.
(b) Tentukan nilai $k$ jika jumlah kuadrat absis kedua titik potong adalah $28$, lalu periksa apakah garis benar-benar memotong parabola di dua titik.

Lihat pembahasan

(a) Titik potong garis dan parabola memenuhi persamaan berikut.

$$\begin{aligned}x^2-6x+8&=k\\x^2-6x+(8-k)&=0\end{aligned}$$

Menyinggung berarti $D=0$.

$$\begin{aligned}D&=(-6)^2-4(1)(8-k)\\&=36-32+4k\\&=4+4k\\4+4k&=0\\k&=-1\end{aligned}$$

Dua titik berbeda memerlukan $D\gt 0$, yaitu $k\gt -1$ (bukan $k\gt -2$). Garis $y=-1{,}5$ memenuhi syarat Andi tetapi $D=4+4(-1{,}5)=-2\lt 0$, sehingga tidak memotong parabola (sesuai gambar). Pendapat Andi salah: ia keliru karena batasnya adalah ordinat titik puncak $(3,-1)$, bukan $-2$.

(b) Dari $x^2-6x+(8-k)=0$ diperoleh $x_1+x_2=6$ dan $x_1x_2=8-k$.

$$\begin{aligned}x_1^2+x_2^2&=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\28&=36-2(8-k)\\28&=20+2k\\k&=4\end{aligned}$$

Syarat: $k=4\gt -1$, jadi $D=4+4(4)=20\gt 0$ (dua titik berbeda). Akarnya $x=3\pm\sqrt{5}$, dan $(3+\sqrt5)^2+(3-\sqrt5)^2=28$ (benar).

(a) $k=-1$, pendapat Andi salah; (b) $k=4$

Pak Budi memiliki kawat pagar sepanjang $24$ m. Ia membuat kandang persegi panjang dengan memanfaatkan sebuah tembok sebagai satu sisi, sehingga kawat hanya dipakai untuk tiga sisi lainnya (lihat gambar). Dua sisi yang tegak lurus tembok masing-masing $x$ meter.

(a) Pak Budi menginginkan luas kandang $70\ \text{m}^2$. Tunjukkan bahwa ada dua rancangan berbeda yang memenuhi, lalu tentukan ukuran keduanya.
(b) Seorang teman menyarankan luas $80\ \text{m}^2$. Analisis dengan diskriminan apakah saran itu mungkin diwujudkan.

Lihat pembahasan

(a) Sisi sejajar tembok $=24-2x$, sehingga luas $=x(24-2x)$.

$$\begin{aligned}x(24-2x)&=70\\24x-2x^2&=70\\2x^2-24x+70&=0\\x^2-12x+35&=0\\(x-5)(x-7)&=0\\x=5\ &\text{atau}\ x=7\end{aligned}$$

Syarat ukuran: $x\gt 0$ dan $24-2x\gt 0$ atau $x\lt 12$. Kedua akar memenuhi, jadi ada dua rancangan.

$$\begin{aligned}x=5&:\ 5\ \text{m}\times(24-10)=5\times 14\ \text{m}\\x=7&:\ 7\ \text{m}\times(24-14)=7\times 10\ \text{m}\end{aligned}$$

(b) Luas $80\ \text{m}^2$ memberikan persamaan berikut.

$$\begin{aligned}x(24-2x)&=80\\2x^2-24x+80&=0\\x^2-12x+40&=0\\D&=(-12)^2-4(1)(40)\\&=144-160\\&=-16\end{aligned}$$

Karena $D\lt 0$, tidak ada $x$ real. Saran itu tidak mungkin diwujudkan. Sebagai pembanding, luas maksimum terjadi di $x=\dfrac{24}{4}=6$ dengan luas $6\times 12=72\ \text{m}^2$, yang memang kurang dari $80$.

(a) 5 m × 14 m atau 7 m × 10 m; (b) tidak mungkin ($D=-16$)

---

Latihan Soal Persamaan Kuadrat: Set 2

Kain bendera pandu berbentuk segitiga siku-siku. Tinggi kain $x$ dm, sedangkan alasnya $2$ dm lebih panjang daripada tingginya. Jika luas kain $24\ \text{dm}^2$, tentukan panjang alas dan tinggi kain.

Lihat pembahasan

Luas segitiga = $\dfrac{1}{2}\times$ alas $\times$ tinggi.

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}(x+2)\,x&=24\\x^2+2x&=48\\x^2+2x-48&=0\\(x+8)(x-6)&=0\\x=-8\ &\text{atau}\ x=6\end{aligned}$$

Tinggi tidak boleh negatif, sehingga $x=6$ dm.

$$\begin{aligned}\text{alas}&=x+2\\&=8\ \text{dm}\end{aligned}$$

Cek: $\dfrac{1}{2}\times 8\times 6=24$ (benar).

Tinggi 6 dm dan alas 8 dm

Perhatikan susunan titik berpola segitiga berikut. Banyak titik pada pola ke-1, 2, 3, dan 4 berturut-turut adalah $1,3,6,10$.
(a) Dengan menyusun dua pola yang sama menjadi sebuah persegi panjang, tentukan rumus banyak titik pola ke-$n$.
(b) Pola ke berapakah yang tersusun dari $66$ titik?

Lihat pembahasan

(a) Dua pola ke-$n$ (satu dibalik) membentuk persegi panjang berukuran $n$ baris dan $(n+1)$ kolom titik.

$$\begin{aligned}2\cdot U_n&=n(n+1)\\U_n&=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{aligned}$$

Uji: $n=4$ memberi $\dfrac{4\cdot 5}{2}=10$ (sesuai gambar).

(b) Samakan dengan $66$.

$$\begin{aligned}\dfrac{n(n+1)}{2}&=66\\n^2+n&=132\\n^2+n-132&=0\\(n+12)(n-11)&=0\\n=-12\ &\text{atau}\ n=11\end{aligned}$$

Nomor pola harus bilangan asli, jadi $n=-12$ ditolak. Cek: $\dfrac{11\cdot 12}{2}=66$ (benar).

$U_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ dan pola ke-11

Sebuah perahu motor melaju dari dermaga A ke dermaga B sejauh $15$ km mengikuti arus sungai, kemudian langsung kembali ke A melawan arus. Kecepatan arus sungai $2$ km/jam dan kecepatan perahu di air tenang $v$ km/jam. Jika seluruh perjalanan pergi-pulang memakan waktu $4$ jam, tentukan nilai $v$.

Lihat pembahasan

Kecepatan searah arus $v+2$, melawan arus $v-2$. Waktu = jarak $\div$ kecepatan.

$$\begin{aligned}\dfrac{15}{v+2}+\dfrac{15}{v-2}&=4\\15(v-2)+15(v+2)&=4(v+2)(v-2)\\30v&=4v^2-16\\4v^2-30v-16&=0\\2v^2-15v-8&=0\\(2v+1)(v-8)&=0\\v=-\dfrac{1}{2}\ &\text{atau}\ v=8\end{aligned}$$

Kecepatan harus positif dan lebih dari $2$ (agar bisa melawan arus), jadi $v=8$.

Cek: $\dfrac{15}{10}+\dfrac{15}{6}=1{,}5+2{,}5=4$ jam (benar).

Kecepatan perahu 8 km/jam

Tiga kurva pada gambar adalah grafik $y=x^2-2mx+(m+2)$ untuk $m=1$, $m=2$, dan $m=3$. Titik potong kurva dengan sumbu X menunjukkan akar persamaan $x^2-2mx+(m+2)=0$.

(a) Dari gambar, kurva mana yang menunjukkan dua akar positif yang berbeda? Tentukan semua nilai $m$ agar persamaan tersebut mempunyai dua akar real positif yang berbeda.
(b) Seorang siswa hanya memeriksa $D\gt 0$. Tunjukkan dengan satu contoh nilai $m$ bahwa syarat itu saja belum cukup.

Lihat pembahasan

(a) Gambar: $m=3$ memotong sumbu X di dua titik positif, $m=2$ hanya menyinggung, dan $m=1$ tidak memotong. Secara aljabar ada tiga syarat. Dengan $a=1$, $b=-2m$, $c=m+2$:

$$\begin{aligned}D&\gt 0:\ (-2m)^2-4(m+2)\gt 0\\4m^2-4m-8&\gt 0\\m^2-m-2&\gt 0\\(m-2)(m+1)&\gt 0\\m&\lt -1\ \text{atau}\ m\gt 2\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}x_1+x_2\gt 0:\ 2m&\gt 0\\m&\gt 0\end{aligned}\qquad\begin{aligned}x_1x_2\gt 0:\ m+2&\gt 0\\m&\gt -2\end{aligned}$$

Irisan ketiga syarat adalah $m\gt 2$. Konsisten dengan gambar: $m=3$ benar, $m=2$ ($D=0$) hanya menyinggung.

(b) Ambil $m=-3$, yang memenuhi $D\gt 0$ karena $m\lt -1$.

$$\begin{aligned}D&=4(-3)^2-4(-3+2)\\&=36+4\\&=40\gt 0\end{aligned}$$

Persamaannya $x^2+6x-1=0$ dengan $x_1x_2=-1\lt 0$, sehingga akarnya $-3\pm\sqrt{10}$ berbeda tanda (satu negatif). Jadi $D\gt 0$ hanya menjamin akar real berbeda, bukan tanda akarnya.

(a) $m=3$ pada gambar; syarat: $m\gt 2$. (b) Contoh $m=-3$

Sebuah bak penampung diisi oleh dua keran. Jika keran A dibuka sendirian, bak penuh dalam $a$ jam. Keran B membutuhkan waktu $6$ jam lebih lama daripada keran A. Ketika kedua keran dibuka bersamaan, bak penuh dalam $4$ jam.
(a) Tentukan waktu yang dibutuhkan tiap keran jika dibuka sendirian.
(b) Jika keran B dibuka sendirian selama $3$ jam pertama, lalu ditutup dan keran A melanjutkan sendirian sampai bak penuh, berapa jam total waktunya?

Lihat pembahasan

(a) Laju keran A $=\dfrac{1}{a}$ bak/jam dan laju keran B $=\dfrac{1}{a+6}$ bak/jam. Bersama, keduanya mengisi $\dfrac{1}{4}$ bak tiap jam.

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+6}&=\dfrac{1}{4}\\4(a+6)+4a&=a(a+6)\\8a+24&=a^2+6a\\a^2-2a-24&=0\\(a-6)(a+4)&=0\\a=6\ &\text{atau}\ a=-4\end{aligned}$$

Waktu tidak boleh negatif, jadi $a=6$. Keran A: $6$ jam, keran B: $a+6=12$ jam. Cek: $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$ (benar).

(b) Bagian bak yang terisi oleh B dalam 3 jam, lalu sisanya diisi A:

$$\begin{aligned}\text{terisi B}&=3\times\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{4}\\\text{sisa}&=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\\t_A&=\dfrac{3/4}{1/6}=4{,}5\ \text{jam}\\t_{\text{total}}&=3+4{,}5=7{,}5\ \text{jam}\end{aligned}$$ (a) A: 6 jam, B: 12 jam; (b) 7,5 jam

---

Latihan Soal Persamaan Kuadrat: Set 3

Dua ubin keramik berbentuk persegi diletakkan bersisian. Sisi ubin pertama $x$ cm dan sisi ubin kedua $1$ cm lebih panjang. Jumlah luas kedua ubin adalah $61\ \text{cm}^2$. Tentukan panjang sisi masing-masing ubin.

Lihat pembahasan

Jumlah luas = luas ubin pertama + luas ubin kedua.

$$\begin{aligned}x^2+(x+1)^2&=61\\x^2+x^2+2x+1&=61\\2x^2+2x-60&=0\\x^2+x-30&=0\\(x+6)(x-5)&=0\\x=-6\ &\text{atau}\ x=5\end{aligned}$$

Panjang sisi tidak boleh negatif, sehingga $x=5$ cm dan sisi ubin kedua $x+1=6$ cm.

Cek: $5^2+6^2=25+36=61$ (benar).

Sisi ubin 5 cm dan 6 cm

Persamaan kuadrat $x^2-5x+3=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Pada garis bilangan, setiap akar digeser $2$ satuan ke kanan sehingga diperoleh titik $\alpha+2$ dan $\beta+2$ (lihat gambar). Tanpa mencari nilai $\alpha$ dan $\beta$ terlebih dahulu, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\alpha+2$ dan $\beta+2$.

Lihat pembahasan

Dari $x^2-5x+3=0$ diperoleh jumlah dan hasil kali akar lama.

$$\begin{aligned}\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}=5\\\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}=3\end{aligned}$$

Jumlah dan hasil kali akar baru:

$$\begin{aligned}(\alpha+2)+(\beta+2)&=(\alpha+\beta)+4\\&=5+4=9\\(\alpha+2)(\beta+2)&=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4\\&=3+2(5)+4\\&=17\end{aligned}$$

Persamaan kuadrat dengan jumlah akar $S$ dan hasil kali akar $P$ adalah $x^2-Sx+P=0$.

$$\begin{aligned}x^2-9x+17&=0\end{aligned}$$

Cek: diskriminan lama $25-12=13$ dan diskriminan baru $81-68=13$ (sama, sebab pergeseran tidak mengubah jarak antar akar). Secara numerik akar lama $\approx 0{,}70$ dan $4{,}30$, akar baru $\approx 2{,}70$ dan $6{,}30$, sesuai gambar.

$x^2-9x+17=0$

Sebuah bola dilempar ke atas dari atap gedung setinggi $60$ m. Tinggi bola dari tanah setelah $t$ detik dinyatakan oleh $h(t)=60+20t-5t^2$ (dalam meter). Tentukan (a) waktu bola mencapai tanah dan (b) tinggi maksimum bola beserta waktunya.

Lihat pembahasan

(a) Bola di tanah saat $h(t)=0$.

$$\begin{aligned}60+20t-5t^2&=0\\t^2-4t-12&=0\\(t-6)(t+2)&=0\\t=6\ &\text{atau}\ t=-2\end{aligned}$$

Waktu tidak boleh negatif, jadi bola mencapai tanah setelah $6$ detik.

(b) Tinggi maksimum di puncak parabola, pada $t=-\dfrac{b}{2a}$ dengan $a=-5$ dan $b=20$.

$$\begin{aligned}t_p&=-\dfrac{20}{2(-5)}=2\\h(2)&=60+20(2)-5(2)^2\\&=60+40-20\\&=80\end{aligned}$$ (a) 6 detik; (b) tinggi maksimum 80 m pada detik ke-2

Dari titik $P(0,-3)$ ditarik beberapa garis $y=mx-3$ menuju parabola $y=x^2+1$. Gambar menunjukkan garis dengan gradien $m=0$, $m=2$, dan $m=6$. Garis yang lebih curam ternyata memotong parabola, sedangkan garis yang lebih landai tidak.

(a) Dengan diskriminan, tentukan batas nilai $m$ agar garis $y=mx-3$ memotong parabola di dua titik, menyinggung, dan tidak memotong. Jelaskan mengapa temuan ini sesuai dengan gambar. (b) Tentukan persamaan kedua garis singgung dari $P$ beserta koordinat titik singgungnya.

Lihat pembahasan

(a) Titik potong memenuhi $x^2+1=mx-3$.

$$\begin{aligned}x^2+1&=mx-3\\x^2-mx+4&=0\\D&=(-m)^2-4(1)(4)\\&=m^2-16\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}D\gt 0&:\ m\lt -4\ \text{atau}\ m\gt 4\ \text{(dua titik potong)}\\D=0&:\ m=\pm 4\ \text{(menyinggung)}\\D\lt 0&:\ -4\lt m\lt 4\ \text{(tidak memotong)}\end{aligned}$$

Sesuai gambar: $m=0$ ($D=-16$) dan $m=2$ ($D=-12$) tidak memotong, sedangkan $m=6$ ($D=20$) memotong di dua titik. Garis yang terlalu landai lewat di bawah parabola, sebab $P$ berada di bawah puncak $(0,1)$.

(b) Untuk $m=4$ dan $m=-4$:

$$\begin{aligned}m=4&:\ x^2-4x+4=0\\(x-2)^2&=0\\x&=2,\ y=2^2+1=5\end{aligned}\qquad\begin{aligned}m=-4&:\ x^2+4x+4=0\\(x+2)^2&=0\\x&=-2,\ y=(-2)^2+1=5\end{aligned}$$ (a) Memotong: $|m|\gt 4$; menyinggung: $m=\pm 4$; tidak memotong: $|m|\lt 4$. (b) $y=4x-3$ di $(2,5)$ dan $y=-4x-3$ di $(-2,5)$

Panitia konser menjual tiket seharga Rp100.000 dan terjual $200$ lembar. Hasil survei menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga Rp10.000, tiket yang terjual berkurang $10$ lembar. Misalkan harga dinaikkan sebanyak $k$ kali Rp10.000 (lihat tabel).

Kenaikan (kali Rp10.000)	0	1	2	$k$
Harga tiket (ribu Rp)	100	110	120	$100+10k$
Tiket terjual (lembar)	200	190	180	$200-10k$

(a) Panitia menargetkan pendapatan Rp21.600.000. Tunjukkan bahwa ada dua pilihan kenaikan harga yang memenuhi, lalu tentukan pilihan yang menjual lebih banyak tiket beserta harga dan jumlah tiketnya.
(b) Tanpa turunan dan tanpa melengkapkan kuadrat, tentukan harga tiket yang memberikan pendapatan terbesar dan besar pendapatan itu dengan memanfaatkan hasil bagian (a).

Lihat pembahasan

(a) Pendapatan (dalam ribu rupiah) = harga × jumlah tiket.

$$\begin{aligned}(100+10k)(200-10k)&=21.600\\100(10+k)(20-k)&=21.600\\(10+k)(20-k)&=216\\200+10k-k^2&=216\\k^2-10k+16&=0\\(k-2)(k-8)&=0\\k=2\ &\text{atau}\ k=8\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}k=2&:\ \text{harga Rp120.000},\ 180\ \text{tiket}\\k=8&:\ \text{harga Rp180.000},\ 120\ \text{tiket}\end{aligned}$$

Keduanya menghasilkan $120\times 180=180\times 120$ (ribu) $=$ Rp21.600.000. Pilihan yang menjual lebih banyak tiket adalah $k=2$.

(b) Pendapatan sebagai fungsi $k$ berupa parabola terbuka ke bawah yang simetris terhadap puncaknya. Dua nilai $k$ yang memberi pendapatan sama berjarak sama dari puncak, sehingga puncak berada di tengahnya.

$$\begin{aligned}k_p&=\dfrac{2+8}{2}=5\\\text{harga}&=100+10(5)=150\ \text{(ribu)}\\\text{tiket}&=200-10(5)=150\\\text{pendapatan}&=150\times 150=22.500\ \text{(ribu)}\end{aligned}$$ (a) $k=2$: Rp120.000 dengan 180 tiket; (b) harga Rp150.000, pendapatan maksimum Rp22.500.000

---

Latihan Soal Persamaan Kuadrat: Set 4

Sebuah foto berukuran $12\ \text{cm}\times 8\ \text{cm}$ dipasang pada pigura dengan lebar bingkai yang sama di semua sisi, yaitu $x$ cm. Luas seluruh pigura (foto dan bingkai) adalah $140\ \text{cm}^2$. Tentukan lebar bingkai.

Lihat pembahasan

Ukuran luar pigura: panjang $12+2x$ dan lebar $8+2x$ (bingkai ada di dua sisi).

$$\begin{aligned}(12+2x)(8+2x)&=140\\96+24x+16x+4x^2&=140\\4x^2+40x-44&=0\\x^2+10x-11&=0\\(x+11)(x-1)&=0\\x=-11\ &\text{atau}\ x=1\end{aligned}$$

Lebar bingkai tidak boleh negatif, sehingga $x=1$ cm. Cek: $14\times 10=140$ (benar).

Lebar bingkai 1 cm

Penampang melintang sebuah saluran irigasi berbentuk trapesium. Lebar dasar saluran $x$ m, lebar permukaan air $4$ m lebih lebar daripada dasarnya, dan kedalaman air $1$ m kurang dari lebar dasarnya. Jika luas penampang yang terisi air $54\ \text{m}^2$, tentukan lebar dasar, lebar permukaan, dan kedalaman air.

Lihat pembahasan

Luas trapesium = $\dfrac{1}{2}\times$ jumlah sisi sejajar $\times$ tinggi.

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}\,[x+(x+4)]\,(x-1)&=54\\(x+2)(x-1)&=54\\x^2+x-2&=54\\x^2+x-56&=0\\(x+8)(x-7)&=0\\x=-8\ &\text{atau}\ x=7\end{aligned}$$

Lebar dasar harus positif, jadi $x=7$ m (juga memenuhi $x\gt 1$ agar kedalaman positif).

$$\begin{aligned}\text{lebar permukaan}&=x+4=11\ \text{m}\\\text{kedalaman}&=x-1=6\ \text{m}\end{aligned}$$

Cek: $\dfrac{1}{2}(7+11)(6)=54$ (benar).

Dasar 7 m, permukaan 11 m, kedalaman 6 m

Sebuah kaleng cat berbentuk tabung tertutup. Jari-jarinya $r$ cm dan tingginya $3$ cm lebih dari jari-jarinya. Luas seluruh permukaan kaleng adalah $88\pi\ \text{cm}^2$. Tentukan jari-jari dan tinggi kaleng.

Lihat pembahasan

Luas permukaan tabung tertutup $=2\pi r^2+2\pi r t$ dengan $t=r+3$.

$$\begin{aligned}2\pi r^2+2\pi r(r+3)&=88\pi\\2r^2+2r(r+3)&=88\\4r^2+6r-88&=0\\2r^2+3r-44&=0\\(2r+11)(r-4)&=0\\r=-\dfrac{11}{2}\ &\text{atau}\ r=4\end{aligned}$$

Jari-jari tidak boleh negatif, jadi $r=4$ cm dan tinggi $t=r+3=7$ cm.

Cek: $2\pi(16)+2\pi(4)(7)=32\pi+56\pi=88\pi$ (benar).

Jari-jari 4 cm dan tinggi 7 cm

Pada percobaan optik, sebuah benda dan layar dipasang tetap dengan jarak $45$ cm. Sebuah lensa cembung dengan jarak fokus $f=10$ cm digeser di antara keduanya. Jarak benda ke lensa $s$ dan jarak lensa ke layar $s'=45-s$. Berlaku rumus lensa $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s'}$.

(a) Tentukan dua posisi lensa ($s$) yang menghasilkan bayangan tajam pada layar.
(b) Hitung perbesaran $M=\dfrac{s'}{s}$ untuk tiap posisi dan tentukan posisi mana yang membesarkan bayangan.
(c) Jika jarak benda ke layar diganti $L$, tunjukkan dengan diskriminan bahwa bayangan tajam hanya mungkin terbentuk jika $L\ge 4f$.

Lihat pembahasan

(a) Substitusi $s'=45-s$ ke rumus lensa.

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{10}&=\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{45-s}\\\dfrac{1}{10}&=\dfrac{(45-s)+s}{s(45-s)}\\s(45-s)&=450\\s^2-45s+450&=0\\(s-15)(s-30)&=0\\s=15\ &\text{atau}\ s=30\end{aligned}$$

Kedua nilai berada di antara $0$ dan $45$, jadi dua-duanya valid.

(b) Perbesaran untuk tiap posisi:

$$\begin{aligned}s=15&:\ s'=30,\ M=\dfrac{30}{15}=2\ \text{(diperbesar)}\\s=30&:\ s'=15,\ M=\dfrac{15}{30}=\dfrac{1}{2}\ \text{(diperkecil)}\end{aligned}$$

Dua posisi itu saling bertukar peran: jarak benda dan jarak bayangan saling tertukar.

(c) Dengan jarak total $L$, $s'=L-s$ sehingga $s(L-s)=Lf$.

$$\begin{aligned}s^2-Ls+Lf&=0\\D&=L^2-4Lf\\&=L(L-4f)\end{aligned}$$

Agar ada posisi lensa nyata, $D\ge 0$ sehingga $L\ge 4f$. Pada percobaan ini $4f=40$ cm. Untuk $L=45$: $D=2025-1800=225$, akar $s=\dfrac{45\pm 15}{2}$, sesuai bagian (a). Jika $L=40$ hanya ada satu posisi ($s=20$), dan jika $L\lt 40$ tidak ada.

(a) $s=15$ cm atau $s=30$ cm; (b) $M=2$ (s = 15) dan $M=\dfrac{1}{2}$ (s = 30); (c) $L\ge 4f$

Gas dinitrogen tetraoksida terurai menurut kesetimbangan $\text{N}_2\text{O}_4(g)\rightleftharpoons 2\,\text{NO}_2(g)$ dengan $K_c=2$ pada suhu tertentu. Sebanyak $1$ mol $\text{N}_2\text{O}_4$ dimasukkan ke wadah bervolume $1$ L. Misalkan $x$ mol/L $\text{N}_2\text{O}_4$ terurai hingga setimbang.

(a) Tentukan konsentrasi $\text{N}_2\text{O}_4$ dan $\text{NO}_2$ saat setimbang serta derajat disosiasi $\alpha$.
(b) Pada suhu yang sama, $3$ mol $\text{N}_2\text{O}_4$ dimasukkan ke wadah $1$ L. Tentukan $\alpha$-nya, bandingkan dengan bagian (a), dan jelaskan mengapa hasilnya masuk akal menurut asas Le Chatelier.

Lihat pembahasan

(a) Tabel konsentrasi (mol/L):

$$\begin{aligned}{[\text{N}_2\text{O}_4]}_{\text{setimbang}}&=1-x\\{[\text{NO}_2]}_{\text{setimbang}}&=2x\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}K_c&=\dfrac{[\text{NO}_2]^2}{[\text{N}_2\text{O}_4]}\\2&=\dfrac{(2x)^2}{1-x}\\4x^2&=2-2x\\4x^2+2x-2&=0\\2x^2+x-1&=0\\(2x-1)(x+1)&=0\\x=\dfrac{1}{2}\ &\text{atau}\ x=-1\end{aligned}$$

Konsentrasi zat yang terurai tidak boleh negatif, jadi $x=0{,}5$.

$$\begin{aligned}{[\text{N}_2\text{O}_4]}&=1-0{,}5=0{,}5\ \text{M}\\{[\text{NO}_2]}&=2(0{,}5)=1\ \text{M}\\\alpha&=\dfrac{0{,}5}{1}=0{,}5=50\%\end{aligned}$$

Cek: $K_c=\dfrac{1^2}{0{,}5}=2$ (benar).

(b) Konsentrasi awal $3$ M:

$$\begin{aligned}2&=\dfrac{(2x)^2}{3-x}\\4x^2&=6-2x\\4x^2+2x-6&=0\\2x^2+x-3&=0\\(2x+3)(x-1)&=0\\x=-\dfrac{3}{2}\ &\text{atau}\ x=1\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\alpha&=\dfrac{1}{3}\approx 33\%\end{aligned}$$

Cek: $K_c=\dfrac{2^2}{3-1}=2$ (benar). Derajat disosiasi turun dari $50\%$ menjadi $33\%$ ketika konsentrasi awal dinaikkan. Menaikkan konsentrasi (tekanan) menggeser kesetimbangan ke sisi dengan jumlah mol gas lebih sedikit, yaitu $\text{N}_2\text{O}_4$ ($1$ mol) dibanding $\text{NO}_2$ ($2$ mol), sehingga uraiannya berkurang secara relatif.

(a) [N₂O₄] = 0,5 M; [NO₂] = 1 M; α = 50%. (b) α ≈ 33%, lebih kecil