Simulasi Bangun Ruang Sisi Lengkung - Matematika Kelas 9

Berikut ini bahan belajar matematika interaktif untuk SMP kelas 9, pokok bahasan "Bangun Ruang Sisi Lengkung". Subpokok bahasan dipisahkan pada tab berbeda.

Tautan singkat materi ini: s.id/sikung.
Simulasi materi matematika lain akan diperbaharui secara berkala di s.id/simatika

Tabung, Kerucut, dan Bola. Geser, putar, dan buktikan sendiri rumusnya!

🥫 Tabung

\(V=\pi r^{2}t\)
\(L=2\pi r(r+t)\)

🍦 Kerucut

\(V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}t\)
\(L=\pi r(r+s)\), dengan \(s^{2}=r^{2}+t^{2}\)

⚽ Bola

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\)
\(L=4\pi r^{2}\)

Nilai π yang dipakai:

Simulasi 0A: Unsur-Unsur Lingkaran

Tabung, kerucut, dan bola semuanya berhubungan dengan lingkaran. Klik nama unsur untuk menyorotnya pada gambar, lalu geser r.

Jari-jari (r)

Simulasi 0B: Keliling dan Luas Lingkaran

Gulirkan lingkaran satu putaran lalu bentangkan lurus. Panjangnya selalu sekitar 3 kali diameter lebih sedikit. Bilangan itulah π.

Jari-jari (r)

Simulasi 0C: Busur dan Juring

Juring adalah "potongan pizza" lingkaran. Ubah sudut pusatnya dan lihat busur serta luasnya ikut berubah sebanding.

Jari-jari (r)

Sudut pusat

Kenapa lingkaran jadi prasyarat?

🥫 Tabung

Alas dan tutup = 2 lingkaran. Selimut = persegi panjang yang panjangnya keliling alas (\(2\pi r\)).

🍦 Kerucut

Alas = lingkaran. Selimut = juring berjari-jari s dengan panjang busur = keliling alas.

⚽ Bola

Irisan terbesar = lingkaran berjari-jari r. Luas permukaan bola = 4 × luas lingkaran itu.

Latihan Prasyarat

Kerjakan dulu, lalu cek pembahasannya.

1Taman bundar

Taman berbentuk lingkaran berdiameter 28 m. Hitung keliling dan luasnya. (\(\pi=\dfrac{22}{7}\))

$$\begin{aligned} r &= \dfrac{28}{2} = 14\ \text{m}\\ K &= 2\pi r\\ &= 2 \times \dfrac{22}{7} \times 14\\ &= 88\ \text{m} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} L &= \pi r^{2}\\ &= \dfrac{22}{7} \times 14 \times 14\\ &= 616\ \text{m}^{2} \end{aligned}$$

2Roda sepeda

Roda sepeda berdiameter 70 cm. Berapa kali roda berputar untuk menempuh 220 m? (\(\pi=\dfrac{22}{7}\))

$$\begin{aligned} K &= \pi d\\ &= \dfrac{22}{7} \times 70\\ &= 220\ \text{cm} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{Jarak} &= 220\ \text{m} = 22.000\ \text{cm}\\ \text{Putaran} &= \dfrac{22.000}{220}\\ &= 100\ \text{kali} \end{aligned}$$

Jebakan: satuan m dan cm harus disamakan dulu.

3Juring

Sebuah juring bersudut pusat \(90^{\circ}\) pada lingkaran r = 14 cm. Hitung panjang busur, luas juring, dan keliling juring. (\(\pi=\dfrac{22}{7}\))

$$\begin{aligned} \text{Busur} &= \dfrac{90}{360} \times 2\pi r\\ &= \dfrac{1}{4} \times 2 \times \dfrac{22}{7} \times 14\\ &= \dfrac{1}{4} \times 88\\ &= 22\ \text{cm} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} L_{\text{juring}} &= \dfrac{90}{360} \times \pi r^{2}\\ &= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{22}{7} \times 14^{2}\\ &= \dfrac{1}{4} \times 616\\ &= 154\ \text{cm}^{2} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} K_{\text{juring}} &= \text{busur} + 2r\\ &= 22 + 2(14)\\ &= 22 + 28\\ &= 50\ \text{cm} \end{aligned}$$

Jangan lupa dua jari-jarinya.

4Tali busur dan apotema

Lingkaran berjari-jari 13 cm memiliki tali busur 24 cm. Berapa jarak tali busur itu dari pusat (apotema)?

Apotema membagi tali busur menjadi dua sama panjang, lalu terbentuk segitiga siku-siku.

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\,\text{tali busur} &= \dfrac{24}{2} = 12\ \text{cm}\\ a^{2} + 12^{2} &= 13^{2}\\ a^{2} &= 169 - 144\\ &= 25\\ a &= \sqrt{25}\\ &= 5\ \text{cm} \end{aligned}$$

Ini tripel 5-12-13. Pythagoras akan dipakai lagi untuk garis pelukis kerucut.

Simulasi 1: Tabung

Geser r dan t, lalu lihat tabungnya berubah. Isi air untuk merasakan arti volume. Klik Jaring-jaring untuk melihat dari mana rumus luas selimut berasal.

Jari-jari (r)

Tinggi (t)

Isi air

Simulasi 2: Kerucut

Kerucut punya satu ukuran tambahan: garis pelukis (s), yaitu sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi r dan t. Coba juga tombol tripel Pythagoras supaya s berupa bilangan bulat.

Jari-jari (r)

Tinggi (t)

Tripel Pythagoras:

Percobaan: kenapa ada \(\dfrac{1}{3}\) pada volume kerucut?

Kerucut dan tabung ini punya alas dan tinggi yang sama. Tuang air dari kerucut ke tabung. Berapa kali sampai tabungnya penuh?

Simulasi 3: Bola

Pilih tampilan di bawah. Pada Bola dalam tabung kamu akan menemukan hubungan menarik antara volume bola dan volume tabung yang membungkusnya.

Jari-jari (r)

Simulasi 4: Bangun Gabungan di Kehidupan Nyata

Benda di sekitar kita sering gabungan dari beberapa bangun ruang. Pilih satu benda, ubah ukurannya, dan lihat hitungannya.

Soal Pemancing: Coba Dulu, Baru Intip Pembahasan!

Kerjakan di kertas dulu ya. Setelah punya jawaban, klik tombol untuk melihat pembahasan. Ingat, pilih nilai π sesuai soal.

1Kaleng biskuit

Sebuah kaleng berbentuk tabung berjari-jari 7 cm dan tinggi 10 cm. Berapa volumenya, dan berapa luas seluruh permukaannya? (\(\pi=\dfrac{22}{7}\))

$$\begin{aligned} V &= \pi r^{2} t\\ &= \dfrac{22}{7} \times 7^{2} \times 10\\ &= \dfrac{22}{7} \times 49 \times 10\\ &= 22 \times 7 \times 10\\ &= 1.540\ \text{cm}^{3} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} L &= 2\pi r(r+t)\\ &= 2 \times \dfrac{22}{7} \times 7 \times (7+10)\\ &= 2 \times 22 \times 17\\ &= 748\ \text{cm}^{2} \end{aligned}$$

Tips: kalau r = 7, angka 7 pada penyebut 22/7 habis tercoret, jadi hitungannya mudah.

2Topi ulang tahun

Topi ulang tahun berbentuk kerucut dengan diameter alas 14 cm dan tinggi 24 cm. Berapa luas kertas minimum untuk membuat topi itu (tanpa alas)? Berapa juga volumenya? (\(\pi=\dfrac{22}{7}\))

$$\begin{aligned} r &= \dfrac{14}{2} = 7\ \text{cm}\\ s &= \sqrt{r^{2} + t^{2}}\\ &= \sqrt{7^{2} + 24^{2}}\\ &= \sqrt{49 + 576}\\ &= \sqrt{625}\\ &= 25\ \text{cm} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} L_{\text{selimut}} &= \pi r s\\ &= \dfrac{22}{7} \times 7 \times 25\\ &= 22 \times 25\\ &= 550\ \text{cm}^{2} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3}\pi r^{2} t\\ &= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{22}{7} \times 7^{2} \times 24\\ &= \dfrac{1}{3} \times 22 \times 7 \times 24\\ &= 22 \times 7 \times 8\\ &= 1.232\ \text{cm}^{3} \end{aligned}$$

Jebakan: memakai \(t=24\) pada rumus selimut. Yang dipakai adalah \(s=25\), bukan \(t\).

3Bola yang kembar angka

Sebuah bola memiliki volume \(36\pi\ \text{cm}^{3}\). Berapa luas permukaannya? Apa yang kamu perhatikan dari kedua angkanya?

$$\begin{aligned} \dfrac{4}{3}\pi r^{3} &= 36\pi\\ r^{3} &= 36 \times \dfrac{3}{4}\\ &= 27\\ r &= \sqrt[3]{27}\\ &= 3\ \text{cm} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} L &= 4\pi r^{2}\\ &= 4\pi \times 3^{2}\\ &= 36\pi\ \text{cm}^{2} \end{aligned}$$

Angkanya sama (\(36\pi\)) hanya kebetulan untuk \(r=3\), karena satuannya berbeda (\(\text{cm}^{3}\) dan \(\text{cm}^{2}\)). Untuk r lain, keduanya tidak sama.

4Mana yang lebih berpengaruh?

Sebuah tabung berjari-jari 3 cm dan tinggi 5 cm. Jika jari-jarinya dijadikan 2 kali lipat, volume menjadi berapa kali lipat? Bagaimana jika yang dijadikan 2 kali lipat adalah tingginya?

$$\begin{aligned} V_{\text{awal}} &= \pi \times 3^{2} \times 5\\ &= 45\pi\ \text{cm}^{3} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V_{r=6} &= \pi \times 6^{2} \times 5\\ &= 180\pi\ \text{cm}^{3}\\ \dfrac{V_{r=6}}{V_{\text{awal}}} &= \dfrac{180\pi}{45\pi}\\ &= 4\ \text{kali lipat} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V_{t=10} &= \pi \times 3^{2} \times 10\\ &= 90\pi\ \text{cm}^{3}\\ \dfrac{V_{t=10}}{V_{\text{awal}}} &= \dfrac{90\pi}{45\pi}\\ &= 2\ \text{kali lipat} \end{aligned}$$

Jadi jari-jari jauh lebih berpengaruh daripada tinggi (karena r dikuadratkan). Kamu bisa membuktikannya di Simulasi 1.

5Es krim meleleh

Sebuah es krim berupa kerucut (r = 6 cm, t = 12 cm) dengan satu scoop es krim berbentuk setengah bola berjari-jari 6 cm di atasnya. Jika scoop itu meleleh semuanya ke dalam kerucut, apakah kerucutnya akan tumpah, tepat penuh, atau masih ada ruang?

$$\begin{aligned} V_{\text{kerucut}} &= \dfrac{1}{3}\pi r^{2} t\\ &= \dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 12\\ &= 144\pi\ \text{cm}^{3} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V_{\text{setengah bola}} &= \dfrac{2}{3}\pi r^{3}\\ &= \dfrac{2}{3} \times \pi \times 216\\ &= 144\pi\ \text{cm}^{3} \end{aligned}$$

Keduanya sama, jadi kerucut akan tepat penuh. Ini selalu terjadi jika \(t=2r\). Coba buktikan di Simulasi 4 (es krim)!