Limit adalah dasar kalkulus yang menjelaskan nilai suatu fungsi ketika peubahnya semakin dekat ke titik tertentu, tanpa harus sama dengan titik itu. Simulasi interaktif ini membahas definisi dan sifat limit, limit fungsi aljabar, limit fungsi trigonometri, limit tak hingga, serta penerapannya pada soal cerita. Setiap subtopik dilengkapi slider, tabel nilai, grafik, dan contoh bertahap, dan ditutup dengan 8 soal pemancing beserta pembahasan.
Klik di sini untuk melihat daftar semua simulasi matematika SMA
atau ketik s.id/simatama di browser.
Pilih subtopik di bawah, lalu gerakkan slider atau tekan tombol untuk melihat sendiri bagaimana nilai fungsi berperilaku. Di bagian akhir ada 8 soal pemancing beserta pembahasan.
Definisi Limit
Limit menanyakan: f(x) mendekati nilai berapa ketika x mendekati a, tanpa harus sama dengan a. Ditulis \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\).
Limit ada hanya jika limit kiri sama dengan limit kanan: \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L\).
Simulator: x mendekati a dari kiri dan kanan
Titik oranye: dari kiri. Titik biru: dari kanan. Lingkaran kosong: nilai yang didekati.
Amati: pada fungsi pertama f(2) tidak ada, tetapi limitnya tetap ada. Pada fungsi kedua kedua sisi menuju nilai berbeda, jadi limitnya tidak ada.
Sifat-sifat Limit
Misalkan \(\lim_{x\to a}f(x)=A\) dan \(\lim_{x\to a}g(x)=B\), k konstanta, n bilangan bulat positif.
Kalkulator sifat limit
Contoh 1: memakai sifat limit
Diketahui \(\lim_{x\to2}f(x)=4\) dan \(\lim_{x\to2}g(x)=-3\). Tentukan \(\lim_{x\to2}\dfrac{2f(x)+[g(x)]^2}{f(x)-g(x)}\).
\[\begin{aligned}\lim_{x\to2}\dfrac{2f(x)+[g(x)]^2}{f(x)-g(x)}&=\dfrac{2\cdot\lim f(x)+\left[\lim g(x)\right]^2}{\lim f(x)-\lim g(x)}\\&=\dfrac{2(4)+(-3)^2}{4-(-3)}\\&=\dfrac{8+9}{7}=\dfrac{17}{7}\end{aligned}\]Contoh 2: membaca tabel nilai
Untuk f(x) = 2x + 1, nilai f(0,9)=2,8; f(0,99)=2,98; f(0,999)=2,998 dan dari kanan f(1,001)=3,002; f(1,01)=3,02. Kedua sisi menuju 3, sehingga \(\lim_{x\to1}(2x+1)=3\).
Limit Fungsi Aljabar
Strategi: (1) substitusi langsung. (2) Jika hasilnya \(\dfrac00\) (bentuk tak tentu), ubah fungsinya: faktorkan lalu coret, atau kalikan sekawan untuk bentuk akar. (3) Substitusi lagi.
Mencoret faktor \((x-a)\) boleh, karena x hanya mendekati a dan tidak pernah sama dengan a.
Jelajah contoh (klik langkah demi langkah)
Limit Fungsi Trigonometri
Rumus dasar (x dalam radian, \(a,b\neq0\)):
\[\lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{bx}=\dfrac ab,\quad \lim_{x\to0}\dfrac{\tan ax}{bx}=\dfrac ab,\quad \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{\sin bx}=\dfrac ab\]Identitas bantu: \(1-\cos2x=2\sin^2x\).
Simulator: mengapa sin x / x menuju 1?
Jelajah contoh
Limit dan Ketakhinggaan
Kunci: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^n}=0\). Untuk \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{ax^n+\dots}{bx^m+\dots}\), bandingkan pangkat tertinggi: n < m hasil 0; n = m hasil \(\dfrac ab\); n > m hasil \(\pm\infty\).
Bentuk \(\infty-\infty\): \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+qx+r}\right)=\dfrac{b-q}{2\sqrt a}\).
Limit tak hingga di titik hingga: \(\lim_{x\to a^+}\dfrac{1}{x-a}=+\infty\) dan \(\lim_{x\to a^-}\dfrac{1}{x-a}=-\infty\) (asimtot tegak).
Kalkulator perbandingan derajat
Jelajah contoh
Aplikasi Limit dalam Soal Cerita
Langkah: (1) modelkan situasi menjadi fungsi, (2) tentukan limit apa yang ditanyakan (t mendekati nilai tertentu, atau menuju tak hingga), (3) hitung, (4) tafsirkan hasil beserta satuannya.
Soal 1: Kecepatan sesaat bola
Bola dilempar ke atas, tingginya \(h(t)=20t-5t^2\) meter pada detik ke-t. Tentukan kecepatan sesaat bola pada t = 1 detik.
Garis oranye (tali busur) makin menyerupai garis singgung saat Δt mengecil.
Lihat penyelesaian
\[\begin{aligned}v(1)&=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{h(1+\Delta t)-h(1)}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\left[20(1+\Delta t)-5(1+\Delta t)^2\right]-15}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{10\Delta t-5(\Delta t)^2}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}(10-5\Delta t)=10\end{aligned}\]Kecepatan sesaat bola pada t = 1 detik adalah 10 m/s ke atas.
Soal 2: Konsentrasi obat dalam darah
Konsentrasi obat t jam setelah disuntik: \(C(t)=\dfrac{8t}{t+2}\) mg/L. (a) Ke nilai berapa konsentrasi mendekati untuk waktu sangat lama? (b) Kapan konsentrasi mencapai 90% dari nilai itu?
Lihat penyelesaian
\[\begin{aligned}\text{(a)}\ \lim_{t\to\infty}\dfrac{8t}{t+2}&=\lim_{t\to\infty}\dfrac{8}{1+\dfrac2t}=\dfrac{8}{1+0}=8\ \text{mg/L}\\ \text{(b)}\ \dfrac{8t}{t+2}&=0{,}9\times8=7{,}2\\8t&=7{,}2t+14{,}4\\0{,}8t&=14{,}4\\t&=18\ \text{jam}\end{aligned}\]Soal 3: Biaya rata-rata produksi
Pabrik tempe memiliki biaya tetap Rp2.000.000 per hari dan biaya variabel Rp5.000 per bungkus. Biaya rata-rata per bungkus untuk x bungkus adalah \(R(x)=\dfrac{2.000.000+5.000x}{x}\). Berapa biaya rata-rata jika produksi terus ditingkatkan tanpa batas?
Sumbu y dalam ribu rupiah.
Lihat penyelesaian
\[\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{2.000.000+5.000x}{x}&=\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{2.000.000}{x}+5.000\right)\\&=0+5.000=5.000\end{aligned}\]Biaya rata-rata mendekati Rp5.000 per bungkus, yaitu biaya variabelnya. Biaya tetap "terbagi habis" oleh jumlah produksi yang sangat besar.
8 Soal Pemancing
Coba kerjakan dulu di kertas, baru buka pembahasan.
Soal 1. Diketahui \(f(x)=x+1\) untuk \(x\lt2\), \(f(2)=7\), dan \(f(x)=5-x\) untuk \(x\gt2\). Tentukan \(\lim_{x\to2}f(x)\) dan bandingkan dengan \(f(2)\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}\lim_{x\to2^-}f(x)&=2+1=3\\\lim_{x\to2^+}f(x)&=5-2=3\end{aligned}\]Limit kiri sama dengan limit kanan, maka \(\lim_{x\to2}f(x)=3\), padahal \(f(2)=7\). Limit tidak bergantung pada nilai fungsi di titik itu.
Soal 2. Tentukan \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x^2-1}\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x^2-1}&=\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}\\&=\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\\&=\dfrac{1+1+1}{1+1}=\dfrac32\end{aligned}\]Soal 3. Tentukan \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}&=\lim_{x\to0}\dfrac{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}{(1+x)-(1-x)}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}{2x}\\&=\dfrac{1+1}{2}=1\end{aligned}\]Soal 4. Tentukan \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan2x-\sin2x}{x^3}\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}\tan2x-\sin2x&=\sin2x\left(\dfrac{1}{\cos2x}-1\right)=\dfrac{\sin2x\,(1-\cos2x)}{\cos2x}=\dfrac{\sin2x\cdot2\sin^2x}{\cos2x}\\\lim_{x\to0}\dfrac{\tan2x-\sin2x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\sin2x}{x}\cdot2\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\dfrac{1}{\cos2x}\\&=2\cdot2\cdot1^2\cdot1=4\end{aligned}\]Soal 5. Tentukan \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^23x}{x\tan2x}\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^23x}{x\tan2x}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}\cdot\dfrac{\sin3x}{\tan2x}\\&=3\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin3x}{3x}\cdot\dfrac{2x}{\tan2x}\cdot\dfrac32\right)\\&=3\cdot\dfrac32=\dfrac92\end{aligned}\]Soal 6. Tentukan \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+x}-2x\right)\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+x}-2x\right)&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{(4x^2+x)-4x^2}{\sqrt{4x^2+x}+2x}\\&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}\\&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{4+\dfrac1x}+2}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14\end{aligned}\]Cocok dengan rumus \(\dfrac{b-q}{2\sqrt a}=\dfrac{1-0}{2\cdot2}\).
Soal 7. Tentukan \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{\sqrt{x^2+2}}\).
Pembahasan
Untuk \(x\gt0\), \(\sqrt{x^2}=x\). Bagi pembilang dan penyebut dengan x: \[\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{\sqrt{x^2+2}}&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3+\dfrac1x}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}}\\&=\dfrac{3+0}{\sqrt{1+0}}=3\end{aligned}\]Akar dihitung sebagai berderajat 1, jadi derajat pembilang sama dengan penyebut.
Soal 8. Suhu teh setelah t menit adalah \(T(t)=28+\dfrac{72}{t+1}\ ^\circ\text{C}\). (a) Berapa suhu teh setelah sangat lama? (b) Berapa laju perubahan suhu sesaat pada t = 1 menit?
Pembahasan
\[\begin{aligned}\text{(a)}\ \lim_{t\to\infty}T(t)&=28+\lim_{t\to\infty}\dfrac{72}{t+1}=28+0=28\ ^\circ\text{C}\\ \text{(b)}\ T(1)&=28+36=64\\\lim_{h\to0}\dfrac{T(1+h)-T(1)}{h}&=\lim_{h\to0}\dfrac{\dfrac{72}{2+h}-36}{h}\\&=\lim_{h\to0}\dfrac{72-36(2+h)}{h(2+h)}\\&=\lim_{h\to0}\dfrac{-36h}{h(2+h)}=\lim_{h\to0}\dfrac{-36}{2+h}=-18\end{aligned}\]Suhu teh akhirnya sama dengan suhu ruang, 28 °C. Pada menit pertama suhu turun 18 °C per menit.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar