Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear (Simulasi Matematika-10 Interaktif)

Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear membantu kita menghitung harga barang dari total belanja hingga menentukan jumlah produksi agar laba maksimal. Pada simulasi ini kamu dapat mengubah angkanya sendiri, melihat grafiknya berubah langsung, lalu menguji pemahaman lewat soal cerita dan 8 soal pemancing di bagian akhir.

Klik di sini untuk melihat daftar semua simulasi matematika SMA
atau ketik s.id/simatama di browser.

Matematika SMA – ubah angkanya, lihat grafiknya, lalu selesaikan soal ceritanya.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk umum: \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}
Penyelesaian adalah pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Secara grafik, penyelesaian adalah titik potong dua garis.

Simulasi: dua garis, berapa titik potongnya?

Tiga kemungkinan: berpotongan (tepat satu penyelesaian, D ≠ 0), sejajar (tidak ada penyelesaian), dan berimpit (tak hingga penyelesaian). Dua kasus terakhir terjadi saat D = 0.

Contoh

Contoh 1 – Metode substitusi

Selesaikan x+2y=8 dan 3x-y=3.

\begin{aligned}3x-y=3&\Rightarrow y=3x-3\\x+2(3x-3)&=8\\7x-6&=8\\x&=2\\y&=3(2)-3=3\end{aligned}

Himpunan penyelesaian: \{(2,3)\}

Contoh 2 – Metode eliminasi

Selesaikan 2x+3y=13 dan 4x-y=5.

\begin{aligned}2x+3y&=13&&(\times1)\\4x-y&=5&&(\times3)\\\hline2x+3y&=13\\12x-3y&=15\\\hline14x&=28\Rightarrow x=2\\y&=4(2)-5=3\end{aligned}

Himpunan penyelesaian: \{(2,3)\}

Contoh 3 – Eliminasi dua kali

Selesaikan 3x+2y=7 dan 2x+5y=12.

\begin{aligned}\text{Eliminasi }x:\;6x+4y&=14\\6x+15y&=36\\\hline-11y&=-22\Rightarrow y=2\\\text{Eliminasi }y:\;15x+10y&=35\\4x+10y&=24\\\hline11x&=11\Rightarrow x=1\end{aligned}

Himpunan penyelesaian: \{(1,2)\}. Cek: 3(1)+2(2)=7 dan 2(1)+5(2)=12 (benar).

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum: \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}
Setiap persamaan adalah sebuah bidang di ruang. Penyelesaian tunggal adalah titik tempat ketiga bidang bertemu.

Strategi: (1) pilih satu variabel, eliminasi dari dua pasang persamaan; (2) hasilnya SPLDV, selesaikan; (3) substitusikan ke persamaan awal untuk variabel ketiga; (4) cek ke ketiga persamaan.

Simulasi: pemecah SPLTV (aturan Cramer)

Contoh

Contoh 1 – Eliminasi z lalu SPLDV

Selesaikan x+y+z=9, 2x-y+z=5, x+2y-z=4.

\begin{aligned}(1)+(3):\;2x+3y&=13\quad(4)\\(2)+(3):\;3x+y&=9\quad(5)\\(5)\Rightarrow y&=9-3x\\2x+3(9-3x)&=13\\-7x&=-14\Rightarrow x=2,\;y=3\\z&=9-2-3=4\end{aligned}

\{(2,3,4)\}

Contoh 2 – Bentuk istimewa (variabel berpasangan)

Selesaikan x+y=5, y+z=7, x+z=6.

\begin{aligned}2(x+y+z)&=5+7+6=18\\x+y+z&=9\\z&=9-5=4\\x&=9-7=2\\y&=9-6=3\end{aligned}

\{(2,3,4)\}

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan seperti ax+by\le c memiliki penyelesaian berupa daerah pada bidang. Daerah penyelesaian sistem adalah irisan daerah-daerah tiap pertidaksamaan.

Langkah: (1) gambar garis batas ax+by=c; (2) garis penuh untuk ≤ atau ≥, garis putus-putus untuk < atau >; (3) uji titik (misalnya O(0,0)) untuk menentukan sisi yang diarsir; (4) irisan semua daerah adalah penyelesaian.

Simulasi: klik grafik untuk menguji titik

tambahkan x ≥ 0 dan y ≥ 0

Contoh

Contoh 1 – Satu pertidaksamaan

Gambar daerah 2x+3y\le12,\;x\ge0,\;y\ge0.

\begin{aligned}2x+3y=12:\;x=0&\Rightarrow y=4,\quad y=0\Rightarrow x=6\\\text{Uji }O(0,0):\;0&\le12\;(\text{benar})\end{aligned}

Daerah arsiran berisi titik O, yaitu segitiga dengan titik sudut (0,0), (6,0), (0,4).

Contoh 2 – Sistem dengan garis putus-putus

Tentukan apakah titik (3,2) memenuhi x+y>4,\;2x-y\le5.

\begin{aligned}x+y&=3+2=5>4\;(\text{benar})\\2x-y&=6-2=4\le5\;(\text{benar})\end{aligned}

Titik (3,2) memenuhi kedua pertidaksamaan, jadi berada di daerah penyelesaian.

Contoh 3 – Daerah berbentuk segitiga

Daerah dari x+y\le6,\;2x+y\ge6,\;x\ge0,\;y\ge0.

\begin{aligned}x+y=6&:\;(6,0),(0,6)\\2x+y=6&:\;(3,0),(0,6)\end{aligned}

Daerah di antara kedua garis dan di kuadran I: segitiga dengan titik sudut (3,0), (6,0), (0,6).

Program Linear: Menentukan Nilai Optimum

Masalah nyata dengan batasan (kendala) diubah menjadi sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan Z = px + qy terjadi di salah satu titik sudut daerah penyelesaian.

Langkah: (1) misalkan variabel; (2) tulis model kendala dan fungsi tujuan; (3) gambar daerah penyelesaian; (4) cari titik sudut; (5) hitung Z di tiap titik sudut; (6) pilih terbesar (maks) atau terkecil (min).

Simulasi: ubah nilai tujuan, amati titik optimum

Fungsi tujuan: Z = x + y (isi bilangan positif)

Penyelesaian Soal Cerita

Kerangka: baca soal → tentukan yang ditanya → misalkan variabel → susun model → selesaikan → jawab sesuai pertanyaan → cek.

Cerita 1 – Tiket bioskop (SPLDV)

Tiga tiket dewasa dan dua tiket anak seharga Rp170.000. Dua tiket dewasa dan empat tiket anak seharga Rp180.000. Berapa harga satu tiket dewasa dan satu tiket anak?

\begin{aligned}\text{Misal dewasa}=x,\;\text{anak}=y\\3x+2y&=170\,000\\2x+4y&=180\,000\Rightarrow x+2y=90\,000\\\text{Kurangkan}:\;2x&=80\,000\Rightarrow x=40\,000\\y&=25\,000\end{aligned}

Satu tiket dewasa Rp40.000 dan satu tiket anak Rp25.000 (jumlahnya Rp65.000).

Cerita 2 – Persegi panjang (SPLDV)

Keliling persegi panjang 46 cm. Panjangnya 5 cm lebih dari lebarnya. Tentukan luasnya.

\begin{aligned}2(p+l)&=46\Rightarrow p+l=23\\p&=l+5\\2l+5&=23\Rightarrow l=9,\;p=14\\L&=14\times9=126\end{aligned}

Luasnya 126 cm².

Cerita 3 – Alat tulis (SPLTV)

Pensil, buku, dan penghapus: 1 pensil + 1 buku + 1 penghapus Rp10.000; 2 pensil + 3 buku + 1 penghapus Rp23.000; 1 pensil + 2 buku + 3 penghapus Rp19.000. Tentukan harga masing-masing (dalam ribuan rupiah).

\begin{aligned}p+b+h&=10\quad(1)\\2p+3b+h&=23\quad(2)\\p+2b+3h&=19\quad(3)\\(2)-(1):\;p+2b&=13\quad(4)\\3(1)-(3):\;2p+b&=11\quad(5)\\b=11-2p\Rightarrow p+22-4p&=13\Rightarrow p=3\\b&=5,\;h=2\end{aligned}

Pensil Rp3.000, buku Rp5.000, penghapus Rp2.000.

Cerita 4 – Lahan parkir (program linear)

Lahan parkir 200 m² memuat paling banyak 40 kendaraan. Mobil memerlukan 10 m², motor 2 m². Tarif mobil Rp3.000, motor Rp2.000. Berapa pendapatan maksimum?

\begin{aligned}\text{Model: }&10x+2y\le200\Rightarrow5x+y\le100;\;x+y\le40\\&x\ge0,\;y\ge0;\;Z=3000x+2000y\\\text{Titik sudut: }&(0,0),(20,0),(15,25),(0,40)\\Z&=0,\;60\,000,\;95\,000,\;80\,000\end{aligned}

Pendapatan maksimum Rp95.000 saat 15 mobil dan 25 motor. (Titik (15,25) berasal dari perpotongan 5x+y=100 dan x+y=40.)

8 Soal Pemancing

Coba kerjakan dulu di kertas, baru buka pembahasannya.

Soal 1 – SPLDV

Selesaikan 3x+2y=16 dan x-y=2.

\begin{aligned}x&=y+2\\3(y+2)+2y&=16\\5y&=10\Rightarrow y=2\\x&=4\end{aligned}

\{(4,2)\}

Soal 2 – Jenis penyelesaian

Tanpa menghitung titik potongnya, tunjukkan 2x+3y=6 dan 4x+6y=11 tidak punya penyelesaian. Berapa k agar 4x+6y=k membuat sistem punya tak hingga penyelesaian?

\begin{aligned}2\times(2x+3y=6)&\Rightarrow4x+6y=12\\\text{Padahal }4x+6y&=11\Rightarrow12=11\;(\text{mustahil})\\k&=12\end{aligned}

Garisnya sejajar (tidak ada penyelesaian). Untuk k = 12 garisnya berimpit.

Soal 3 – SPLTV

Selesaikan x+y+z=6, 2x-y+z=3, x+2y-z=2.

\begin{aligned}(1)+(3):\;2x+3y&=8\\(2)-(1):\;x-2y&=-3\Rightarrow x=2y-3\\2(2y-3)+3y&=8\Rightarrow y=2,\;x=1\\z&=6-1-2=3\end{aligned}

\{(1,2,3)\}

Soal 4 – Buah

2 kg jeruk dan 3 kg apel Rp90.000; 3 kg jeruk dan 1 kg apel Rp65.000. Berapa harga 5 kg jeruk dan 4 kg apel?

\begin{aligned}2x+3y&=90\\3x+y&=65\Rightarrow y=65-3x\\2x+195-9x&=90\Rightarrow x=15,\;y=20\\5x+4y&=75+80=155\end{aligned}

Harganya Rp155.000.

Soal 5 – Titik sudut dan nilai maksimum

Daerah: 2x+y\le8,\;x+2y\le8,\;x,y\ge0. Tentukan nilai maksimum Z=3x+2y.

\begin{aligned}\text{Titik potong}:\;2x+y=8,\;x+2y&=8\Rightarrow x=y=\tfrac83\\\text{Titik sudut}:\;(0,0),(4,0),(\tfrac83,\tfrac83),(0,4)\\Z&=0,\;12,\;\tfrac{40}{3},\;8\end{aligned}

Maksimum \tfrac{40}{3} di titik (\tfrac83,\tfrac83).

Soal 6 – Uji titik

Manakah yang memenuhi x+y\ge4,\;2x-y\le5,\;y>1: (3,2) atau (1,1)?

\begin{aligned}(3,2):\;5\ge4,\;4\le5,\;2>1&\Rightarrow\text{memenuhi}\\(1,1):\;2\ge4\;(\text{salah})&\Rightarrow\text{tidak memenuhi}\end{aligned}

Hanya titik (3,2).

Soal 7 – Biaya minimum

Seorang peternak memenuhi x+y\ge6,\;x+2y\ge8,\;x,y\ge0. Tentukan nilai minimum Z=2x+3y.

\begin{aligned}\text{Titik sudut}:\;(0,6),\;(4,2),\;(8,0)\\Z&=18,\;14,\;16\end{aligned}

Minimum 14 di titik (4,2) (perpotongan x+y=6 dan x+2y=8).

Soal 8 – Umur

Jumlah umur ayah dan anak 50 tahun. Lima tahun lalu umur ayah 7 kali umur anak. Berapa umur mereka sekarang?

\begin{aligned}a+b&=50\\a-5&=7(b-5)\Rightarrow a=7b-30\\8b-30&=50\Rightarrow b=10\\a&=40\end{aligned}

Ayah 40 tahun, anak 10 tahun.