Penurunan Rumus Densitas dan Efisiensi Packing Kisi Kristal

Berikut penurunan rumus densitas/kerapatan dan efisien packing kisi kristal per satuan sel. Yang disajikan meliputi penurunan densitas dan efisien packing untuk kisi kristal: kubus sederhana/primitif (SC), kubus pusat badan (BCC), kubus pusat muka (FCC), model ZnS, NaCl, dan heksagonal (HCP). Catatan ini diperuntukkan untuk pengayaan pelajaran kimia di tingkat MA/SMA/SMK.

Visual 3D interaktif untuk kristal yang dibahas pada tulisan ini dapat dilihat di sini.

Secara ringkas rumus densitas dapat ditulis sebagai berikut:

Rumus densitas SC: $ \rho = \dfrac{M}{a^{3} N_{A}}$

Rumus densitas BCC: $ \rho = \dfrac{2M}{a^{3}N_{A}}$

Rumus densitas FCC: $ \rho = \dfrac{4M}{a^{3}N_{A}}$

Rumus densitas ZnS: $\rho = \dfrac{4(M_{Zn} + M_S)}{a^{3}N_{A}}$

Rumus densitas NaCl: $\rho = \dfrac{4 (M_{\text{Na}} + M_{\text{Cl}})}{a^3 N_A}$

Rumus densitas HCP: $\rho = \dfrac{2M}{\sqrt{2}a^{3}N_{A}}$

Penurunan Rumus Densitas dan Efisiensi Packing Kisi Kristal Kubus Sederhana (SC)

1. Struktur Kisi Kubus Sederhana (SC)

• Ciri-ciri:
  • Atom hanya terletak di 8 sudut kubus
  • Setiap atom sudut dimiliki oleh 8 sel satuan sekaligus (kontribusi tiap atom = 1/8)
• Jumlah atom per sel satuan: \[ 8 \text{ sudut} \times \dfrac{1}{8} \text{ atom} = 1 \text{ atom} \]
• Panjang rusuk (a): Jarak antara dua atom terdekat = \(a\)
• Jari-jari atom (r): \[ a = 2r \quad \text{(karena atom bersentuhan di sepanjang rusuk)} \]

2. Penurunan Rumus Densitas (\(\rho\))

Densitas didefinisikan sebagai massa per volume. Langkah penurunannya:

a. Massa Sel Satuan

Massa 1 atom = \(\dfrac{M}{N_{A}}\) (dimana \(M\) = massa molar, \(N_{A}\) = bilangan Avogadro).

Karena hanya ada 1 atom per sel satuan:

\[ \text{Massa sel} = 1 \times \dfrac{M}{N_{A}} \]

b. Volume Sel Satuan

Volume kubus:

\[ V_{\text{sel}} = a^{3} \]

c. Rumus Densitas

$$\rho = \dfrac{\text{Massa sel}}{\text{Volume sel}} = \dfrac{\dfrac{M}{N_{A}}}{a^{3}} = \dfrac{M}{a^{3} N_{A}} $$

Dalam bentuk standar:

\[ \boxed{\rho = \dfrac{M}{a^{3} N_{A}}} \]

Satuan: \(a\) dalam cm, \(\rho\) dalam g/cm\(^{3}\).

3. Contoh Perhitungan

Hitung densitas polonium (Po) yang memiliki struktur SC dengan data:

• \(a = 3,36 \, \text{Å} = 3,36 \times 10^{-8} \, \text{cm}\)
• \(M_{\text{Po}} = 209 \, \text{g/mol}\)
• \(N_{A} = 6,022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)

Langkah 1: Hitung volume sel satuan

\[ a^{3} = (3,36 \times 10^{-8})^{3} = 3,79 \times 10^{-23} \, \text{cm}^{3} \]

Langkah 2: Hitung massa sel satuan

\[ \text{Massa sel} = \dfrac{209}{6,022 \times 10^{23}} = 3,47 \times 10^{-22} \, \text{g} \]

Langkah 3: Hitung densitas

\[ \text{Massa sel} = \dfrac{209}{6,022 \times 10^{23}} = 3,47 \times 10^{-22} \, \text{g} \]

(Nilai eksperimen Po ≈ 9,32 g/cm\(^{3}\) — mendekati! Perbedaan mungkin akibat cacat kristal atau suhu).

4. Hubungan \(a\) dan \(r\)

Jika diketahui jari-jari atom (\(r\)) (misal \(r_{\text{Po}} = 1,68 \, \text{Å}\)):

\[ a = 2r = 2 \times 1,68 = 3,36 \, \text{Å} \]

Rumus densitas bisa ditulis dalam \(r\):

\[ \rho = \dfrac{M}{(2r)^{3} N_{A}} \]

5. Perbandingan dengan Kisi Lain

Struktur	Packing Efficiency	Jumlah Atom per Sel
SC	52%	1
BCC	68%	2
FCC	74%	4

SC memiliki densitas terendah karena packing efficiency hanya 52% (ruang kosong lebih besar).

6. Catatan Penting

• Pastikan satuan konsisten (konversi Å ke cm jika perlu).
• Untuk logam, struktur SC jarang ditemukan (hanya Po pada kondisi tertentu).
• Jika soal memberikan jari-jari atom, gunakan \(a = 2r\) untuk mencari \(a\).

7. Kesimpulan

Rumus densitas SC:

\[ \boxed{\rho = \dfrac{M}{a^{3} N_{A}}} \]

Contoh: Polonium (Po) dengan \(a = 3,36 \, \text{Å}\) → \(\rho \approx 9,16 \, \text{g/cm}^{3}\).

Penjelasan Efisiensi Packing 52% pada Kisi SC

1. Definisi Packing Efficiency

Packing efficiency adalah persentase volume sel satuan yang ditempati oleh atom-atom (dianggap sebagai bola keras): \[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{\text{Total volume atom dalam sel}}{\text{Volume sel satuan}} \right) \times 100\% \]

2. Penghitungan untuk Struktur SC

a. Volume Sel Satuan (\(V_{\text{sel}}\))

\[ V_{\text{sel}} = a^{3} \] dimana \(a\) = panjang rusuk sel satuan.

b. Volume Atom dalam Sel Satuan

Dalam SC terdapat 1 atom per sel satuan (8 sudut × 1/8 atom).
Volume 1 atom (bola): \[ V_{\text{atom}} = \dfrac{4}{3}\pi r^{3} \] dimana \(r\) = jari-jari atom.

c. Hubungan \(a\) dan \(r\)

Pada SC, atom-atom bersentuhan sepanjang rusuk: \[ a = 2r \] atau \[ r = \dfrac{a}{2} \]

d. Substitusi \(r\) ke Volume Atom

\[ V_{\text{atom}} = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \dfrac{a^{3}}{8} = \dfrac{\pi a^{3}}{6} \]

e. Menghitung Packing Efficiency

\[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{V_{\text{atom}}}{V_{\text{sel}}} \right) \times 100\% = \left( \dfrac{\dfrac{\pi a^{3}}{6}}{a^{3}} \right) \times 100\% \] \[ = \dfrac{\pi}{6} \times 100\% \approx 52,36\% \]

3. Interpretasi Nilai 52%

• Hanya 52% volume sel yang ditempati atom
• 48% volume sel merupakan ruang kosong
• Struktur SC memiliki efisiensi terendah dibanding BCC (68%) dan FCC (74%)

4. Contoh Perhitungan Numerik

Untuk logam hipotetik dengan struktur SC (\(r = 1,5 \, \text{Å}\)):
\[ a = 2r = 3,0 \, \text{Å} \] \[ V_{\text{sel}} = (3,0 \times 10^{-8})^{3} = 2,7 \times 10^{-23} \, \text{cm}^{3} \] \[ V_{\text{atom}} = \dfrac{4}{3}\pi (1,5 \times 10^{-8})^{3} \approx 1,41 \times 10^{-23} \, \text{cm}^{3} \] \[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{1,41 \times 10^{-23}}{2,7 \times 10^{-23}} \right) \times 100\% \approx 52\% \]

5. Alasan Rendahnya Packing Efficiency SC

• Atom hanya berada di sudut-sudut kubus
• Tidak ada atom di pusat atau sisi kubus
• Ruang tengah kubus tidak termanfaatkan

---

Penurunan Rumus Densitas dan Efisiensi Packing BCC

1. Struktur Kisi BCC (Body-Centered Cubic)

• Ciri-ciri:
  • Atom terletak di 8 sudut kubus + 1 atom di pusat kubus
  • Setiap atom sudut berkontribusi 1/8, atom pusat berkontribusi penuh
• Jumlah atom per sel satuan: \[ 8 \text{ sudut} \times \dfrac{1}{8} \text{ atom} + 1 \text{ atom pusat} = 2 \text{ atom} \]
• Panjang rusuk (\(a\)): Diagonal ruang = \(a\sqrt{3}\)
• Jari-jari atom (\(r\)): \[ 4r = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \dfrac{4r}{\sqrt{3}} \]

2. Penurunan Rumus Densitas (\(\rho\))

a. Massa Sel Satuan

\[ \text{Massa sel} = 2 \times \dfrac{M}{N_{A}} \] (2 atom per sel, \(M\) = massa molar, \(N_{A}\) = bilangan Avogadro)

b. Volume Sel Satuan

\[ V_{\text{sel}} = a^{3} = \left(\dfrac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \dfrac{64r^{3}}{3\sqrt{3}} \]

c. Rumus Densitas

\[ \rho = \dfrac{\text{Massa sel}}{V_{\text{sel}}} = \dfrac{2 \times \dfrac{M}{N_{A}}}{a^{3}} \] \[ \boxed{\rho = \dfrac{2M}{a^{3}N_{A}}} \]

3. Contoh Perhitungan Densitas

Hitung densitas besi (Fe) BCC:
Diketahui:

• \( r = 1,24 \, \text{Å} = 1,24 \times 10^{-8} \, \text{cm} \)
• \( M_{\text{Fe}} = 55,85 \, \text{g/mol} \)
• \( N_{A} = 6,022 \times 10^{23} \, \text{atom/mol} \)

Langkah 1: Hitung \( a \) \[ a = \dfrac{4 \times 1,24 \times 10^{-8}}{\sqrt{3}} \approx 2,86 \times 10^{-8} \, \text{cm} \] Langkah 2: Hitung \( a^{3} \) \[ a^{3} = (2,86 \times 10^{-8})^{3} \approx 2,34 \times 10^{-23} \, \text{cm}^{3} \] Langkah 3: Hitung densitas \[ \rho = \dfrac{2 \times 55,85}{2,34 \times 10^{-23} \times 6,022 \times 10^{23}} \approx 7,92 \, \text{g/cm}^{3} \] (Nilai eksperimen Fe BCC = 7.87 g/cm³)

4. Penurunan Efisiensi Packing BCC

a. Volume Atom dalam Sel

\[ V_{\text{atom}} = 2 \times \dfrac{4}{3}\pi r^{3} \] (2 atom per sel)

b. Substitusi \( r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \)

\[ V_{\text{atom}} = 2 \times \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\right)^{3} = \dfrac{\sqrt{3}\pi a^{3}}{8} \]

c. Efisiensi Packing

\[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{V_{\text{atom}}}{V_{\text{sel}}} \right) \times 100\% = \left( \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}\pi a^{3}}{8}}{a^{3}} \right) \times 100\% \] \[ = \dfrac{\sqrt{3}\pi}{8} \times 100\% \approx 68\% \]

5. Interpretasi Nilai 68%

• 68% volume sel terisi atom
• 32% volume sel merupakan ruang kosong
• Lebih efisien dibanding SC (52%) tapi kurang dari FCC (74%)
• Contoh material BCC: Fe (α), Cr, W, Mo

---

Penurunan Rumus Densitas dan Efisiensi Packing FCC

1. Struktur Kisi FCC (Face-Centered Cubic)

• Ciri-ciri:
  • Atom terletak di 8 sudut kubus + 6 atom di pusat setiap sisi
  • Setiap atom sudut berkontribusi 1/8, atom sisi berkontribusi 1/2
• Jumlah atom per sel satuan: \[ 8 \text{ sudut} \times \dfrac{1}{8} \text{ atom} + 6 \text{ sisi} \times \dfrac{1}{2} \text{ atom} = 4 \text{ atom} \]
• Panjang rusuk (\(a\)): Diagonal sisi = \(a\sqrt{2}\)
• Jari-jari atom (\(r\)): \[ 4r = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \dfrac{4r}{\sqrt{2}} = 2r\sqrt{2} \]

2. Penurunan Rumus Densitas (\(\rho\))

a. Massa Sel Satuan

\[ \text{Massa sel} = 4 \times \dfrac{M}{N_{A}} \] (4 atom per sel, \(M\) = massa molar, \(N_{A}\) = bilangan Avogadro)

b. Volume Sel Satuan

\[ V_{\text{sel}} = a^{3} = (2r\sqrt{2})^{3} = 16\sqrt{2}r^{3} \]

c. Rumus Densitas

\[ \rho = \dfrac{\text{Massa sel}}{V_{\text{sel}}} = \dfrac{4 \times \dfrac{M}{N_{A}}}{a^{3}} \] \[ \boxed{\rho = \dfrac{4M}{a^{3}N_{A}}} \]

3. Contoh Perhitungan Densitas

Hitung densitas tembaga (Cu) FCC:
Diketahui:

• \( r = 1.28 \, \text{Å} = 1.28 \times 10^{-8} \, \text{cm} \)
• \( M_{\text{Cu}} = 63.55 \, \text{g/mol} \)
• \( N_{A} = 6,022 \times 10^{23} \, \text{atom/mol} \)

Langkah 1: Hitung \( a \) \[ a = 2 \times 1,28 \times 10^{-8} \times \sqrt{2} \approx 3,62 \times 10^{-8} \, \text{cm} \] Langkah 2: Hitung \( a^{3} \) \[ a^{3} = (3,62 \times 10^{-8})^{3} \approx 4,72 \times 10^{-23} \, \text{cm}^{3} \] Langkah 3: Hitung densitas \[ \rho = \dfrac{4 \times 63,55}{4.72 \times 10^{-23} \times 6,022 \times 10^{23}} \approx 8,96 \, \text{g/cm}^{3} \] (Nilai eksperimen Cu FCC = 8,96 g/cm³)

4. Penurunan Efisiensi Packing FCC

a. Volume Atom dalam Sel

\[ V_{\text{atom}} = 4 \times \dfrac{4}{3}\pi r^{3} \] (4 atom per sel)

b. Substitusi \( r = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} \)

\[ V_{\text{atom}} = 4 \times \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2\sqrt{2}}\right)^{3} = \dfrac{\pi a^{3}}{3\sqrt{2}} \]

c. Efisiensi Packing

\[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{V_{\text{atom}}}{V_{\text{sel}}} \right) \times 100\% = \left( \dfrac{\dfrac{\pi a^{3}}{3\sqrt{2}}}{a^{3}} \right) \times 100\% \] \[ = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} \times 100\% \approx 74\% \]

5. Interpretasi Nilai 74%

• 74% volume sel terisi atom (paling efisien di antara SC dan BCC)
• 26% volume sel merupakan ruang kosong
• Contoh material FCC: Cu, Al, Au, Ag, Ni
• Struktur ini disebut juga close-packed cubic

---

Penurunan Rumus Densitas dan Efisiensi Packing ZnS (Zinc Blende)

1. Struktur Kristal ZnS (Zinc Blende)

• Ciri-ciri:
  • Struktur FCC dengan basis 2-atom (Zn dan S)
  • 4 atom Zn di posisi FCC + 4 atom S di lubang tetrahedral
  • Setiap Zn dikelilingi 4 S (koordinasi tetrahedral) dan sebaliknya
• Jumlah rumus ZnS per sel satuan: \[ 4 \text{ Zn} + 4 \text{ S} = 4 \text{ ZnS} \]
• Panjang rusuk (\(a\)): Jarak Zn-S = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
• Jari-jari ion: \[ r_{Zn^{2+}} + r_{S^{2-}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \]

2. Penurunan Rumus Densitas (\(\rho\))

a. Massa Sel Satuan

\[ \text{Massa sel} = 4 \times \dfrac{(M_{Zn} + M_S)}{N_{A}} \] (4 rumus ZnS per sel, \(M\) = massa molar, \(N_{A}\) = bilangan Avogadro)

b. Volume Sel Satuan

\[ V_{\text{sel}} = a^{3} \]

c. Rumus Densitas

\[ \rho = \dfrac{\text{Massa sel}}{V_{\text{sel}}} = \dfrac{4 \times (M_{Zn} + M_S)}{a^{3}N_{A}} \] $$\boxed{\rho = \dfrac{4(M_{Zn} + M_S)}{a^{3}N_{A}}}$$

3. Contoh Perhitungan Densitas

Hitung densitas ZnS (Zinc Blende):
Diketahui:

• \( a = 5,41 \, \text{Å} = 5,41 \times 10^{-8} \, \text{cm} \)
• \( M_{Zn} = 65,38 \, \text{g/mol} \)
• \( M_S = 32,06 \, \text{g/mol} \)
• \( N_{A} = 6,022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \)

Langkah 1: Hitung massa total \[ 4 \times (65,38 + 32,06) = 389,76 \, \text{g/mol} \] Langkah 2: Hitung \( a^{3} \) \[ a^{3} = (5,41 \times 10^{-8})^{3} = 1,58 \times 10^{-22} \, \text{cm}^{3} \] Langkah 3: Hitung densitas \[ \rho = \dfrac{389,76}{1,58 \times 10^{-22} \times 6,022 \times 10^{23}} \approx 4,09 \, \text{g/cm}^{3} \] (Nilai eksperimen ZnS ≈ 4,10 g/cm³)

4. Penurunan Efisiensi Packing ZnS

a. Volume Ion dalam Sel

\[ V_{\text{ion}} = 4 \times \left( \dfrac{4}{3}\pi r_{Zn^{2+}}^{3} + \dfrac{4}{3}\pi r_{S^{2-}}^{3} \right) \]

b. Efisiensi Packing

\[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{V_{\text{ion}}}{V_{\text{sel}}} \right) \times 100\% \] Untuk ZnS dengan \( r_{Zn^{2+}} = 0,74 \, \text{Å} \) dan \( r_{S^{2-}} = 1,84 \, \text{Å} \): \[ V_{\text{ion}} = 4 \times \dfrac{4}{3}\pi (0,74^{3} + 1,84^{3}) \times 10^{-24} \approx 0,68 \times 10^{-22} \, \text{cm}^{3} \] \[ V_{\text{sel}} = 1,58 \times 10^{-22} \, \text{cm}^{3} \] \[ \text{Packing Efficiency} \approx \left( \dfrac{0,68}{1,58} \right) \times 100\% \approx 43\% \]

5. Interpretasi Struktur ZnS

• Efisiensi packing lebih rendah (∼43%) karena:
  • Adanya ruang kosong dalam koordinasi tetrahedral
  • Perbedaan ukuran ion Zn²⁺ (kecil) dan S²⁻ (besar)
• Struktur alternatif: Wurtzite (heksagonal) dengan efisiensi serupa
• Contoh material: ZnS, GaAs, CuCl

---

Penurunan Rumus Densitas Kristal Natrium Klorida

Kristal NaCl memiliki struktur kubus berpusat muka (FCC) dengan susunan ion Na⁺ dan Cl^- yang berselang-seling.

1. Ciri-Ciri Struktur NaCl

• Sel satuan: FCC dengan basis dua atom (Na⁺ dan Cl^-)
• Posisi ion:
  • Na⁺: di sudut (0,0,0) dan pusat muka
  • Cl^-: di tengah rusuk dan pusat sel
• Jumlah ion per sel satuan: \[ 4 \text{ Na}^+ \text{ dan } 4 \text{ Cl}^- \text{ (total 8 ion, 4 pasang NaCl)} \]
• Koordinasi: Setiap ion dikelilingi 6 ion lawan (oktahedral)

2. Penurunan Rumus Densitas (ρ) NaCl

a. Massa Sel Satuan

\[ \text{Massa sel} = 4 \times \dfrac{M_{\text{Na}} + M_{\text{Cl}}}{N_A} \] (4 pasang NaCl per sel, \(N_A\) = bilangan Avogadro)

b. Volume Sel Satuan

\[ V_{\text{sel}} = a^3 \] (\(a\) = panjang rusuk sel satuan)

c. Rumus Densitas

\[ \rho = \dfrac{4 \times (M_{\text{Na}} + M_{\text{Cl}})}{a^3 \times N_A} \]

3. Parameter Kisi dan Jari-Jari Ion

Parameter	Nilai	Keterangan
Jarak Na+-Cl-	\( \dfrac{a}{2} \)	Setengah panjang rusuk kubus
Jari-jari ion Na+	1,02 Å
Jari-jari ion Cl-	1,81 Å
Panjang rusuk (\(a\))	\( 2(r_{\text{Na}^+} + r_{\text{Cl}^-}) \)	5.64 Å (hasil eksperimen)

4. Contoh Perhitungan Densitas

Diketahui:

• \( a = 5,64 \, \text{Å} = 5,64 \times 10^{-8} \, \text{cm} \)
• \( M_{\text{Na}} = 22,99 \, \text{g/mol} \)
• \( M_{\text{Cl}} = 35,45 \, \text{g/mol} \)
• \( N_A = 6,022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \)

Langkah 1: Hitung massa sel

\[ 4 \times (22,99 + 35,45) = 233,76 \, \text{g/mol} \]

Langkah 2: Hitung volume sel

\[ a^3 = (5,64 \times 10^{-8})^3 = 1,794 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3 \]

Langkah 3: Hitung densitas

\[ \rho = \dfrac{233,76}{1,794 \times 10^{-22} \times 6,022 \times 10^{23}} \approx 2,16 \, \text{g/cm}^3 \]

(Nilai eksperimen NaCl = 2,165 g/cm³)

5. Efisiensi Packing NaCl

Efisiensi packing dihitung dari volume ion dalam sel:

\[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{4 \times \frac{4}{3}\pi r_{\text{Na}^+}^3 + 4 \times \dfrac{4}{3}\pi r_{\text{Cl}^-}^3}{a^3} \right) \times 100\% \]

Dengan data jari-jari ion:

\[ \approx \left( \dfrac{4 \times 4,45 + 4 \times 24,81}{179,4} \right) \times 100\% \approx 65\% \]

---

Penurunan Rumus Densitas dan Efisiensi Packing HCP

1. Struktur Kristal Heksagonal (HCP)

• Ciri-ciri:
  • Susunan lapisan atom ABAB...
  • Setiap atom dikelilingi 12 atom tetangga terdekat (6 di lapisan sama, 3 di atas, 3 di bawah)
  • Memiliki 2 parameter kisi: \(a\) (rusuk heksagon) dan \(c\) (tinggi sel)
• Jumlah atom per sel satuan: \[ 12 \text{ sudut} \times \dfrac{1}{6} + 2 \text{ pusat} \times \dfrac{1}{2} + 3 \text{ internal} = 6 \text{ atom} \]
• Rasio \(c/a\) ideal: \[ \dfrac{c}{a} = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx 1,633 \]
• Jari-jari atom (\(r\)): \[ a = 2r \]

2. Penurunan Rumus Densitas (\(\rho\))

a. Massa Sel Satuan

\[ \text{Massa sel} = 6 \times \dfrac{M}{N_{A}} \] (6 atom per sel, \(M\) = massa molar, \(N_{A}\) = bilangan Avogadro)

b. Volume Sel Satuan

\[ V_{\text{sel}} = \text{Luas alas} \times \text{Tinggi} = \left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2} \right) \times c \] Untuk rasio ideal \(c/a = \sqrt{\dfrac{8}{3}}\): \[ V_{\text{sel}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2} \times a\sqrt{\dfrac{8}{3}} = 3\sqrt{2}a^{3} \]

c. Rumus Densitas

\[ \rho = \frac{\text{Massa sel}}{V_{\text{cell}}} = \frac{6 \cdot \frac{M}{N_A}}{3 \sqrt{2} a^3} \] $$\boxed{\rho = \dfrac{2M}{\sqrt{2}a^{3}N_{A}}}$$

3. Contoh Perhitungan Densitas

Hitung densitas magnesium (Mg) HCP:
Diketahui:

• \( a = 3,21 \, \text{Å} = 3,21 \times 10^{-8} \, \text{cm} \)
• \( c = 5,21 \, \text{Å} \) (rasio \(c/a = 1,623\) mendekati ideal)
• \( M_{\text{Mg}} = 24,31 \, \text{g/mol} \)
• \( N_{A} = 6,022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \)

Langkah 1: Hitung volume sel \[ V_{\text{sel}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(3,21 \times 10^{-8})^{2} \times 5,21 \times 10^{-8} \approx 1,39 \times 10^{-22} \, \text{cm}^{3} \] Langkah 2: Hitung massa sel \[ \text{Massa sel} = 6 \times \dfrac{24,31}{6,022 \times 10^{23}} \approx 2,42 \times 10^{-22} \, \text{g} \] Langkah 3: Hitung densitas \[ \rho = \dfrac{2,42 \times 10^{-22}}{1,39 \times 10^{-22}} \approx 1,74 \, \text{g/cm}^{3} \] (Nilai eksperimen Mg ≈ 1,738 g/cm³)

4. Penurunan Efisiensi Packing HCP

a. Volume Atom dalam Sel

\[ V_{\text{atom}} = 6 \times \dfrac{4}{3}\pi r^{3} \] (6 atom per sel)

b. Substitusi \( r = \dfrac{a}{2} \)

\[ V_{\text{atom}} = 6 \times \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^{3} = \pi a^{3} \]

c. Efisiensi Packing

\[ \text{Packing Efficiency} = \left( \dfrac{V_{\text{atom}}}{V_{\text{sel}}} \right) \times 100\% = \left( \dfrac{\pi a^{3}}{3\sqrt{2}a^{3}} \right) \times 100\% \] \[ = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} \times 100\% \approx 74\% \] (Sama dengan FCC karena keduanya close-packed)

5. Interpretasi Struktur HCP

• Efisiensi packing sama dengan FCC (74%) karena keduanya susunan close-packed
• Perbedaan dengan FCC hanya pada urutan lapisan (ABAB vs ABCABC)
• Contoh material HCP: Mg, Zn, Ti, Co, Cd
• Struktur HCP ideal memiliki rasio \(c/a = 1,633\)