Vektor dan Operasinya

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sehingga dapat digambarkan sebagai anak panah pada bidang koordinat. Materi ini membantu kamu memahami penyajian vektor, operasi hitungnya, perkalian titik, proyeksi, hingga penerapannya pada perahu yang menyeberangi sungai dan gaya yang bekerja pada benda. Geser slider pada setiap simulasi, amati perubahan gambar dan angkanya, lalu pelajari contoh dan kerjakan soal latihan di bagian akhir.

Simulasi interaktif Matematika SMA. Geser slider, lihat perubahan gambar, lalu pahami perhitungannya.

Apa itu vektor?

Skalar hanya punya nilai (massa, suhu, waktu). Vektor punya nilai dan arah (perpindahan, kecepatan, gaya). Vektor digambar sebagai anak panah: pangkal = titik awal, ujung = titik akhir, panjang anak panah = besar vektor.

\[\vec{a}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\,\vec{i}+y\,\vec{j},\qquad |\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \hat{a}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\] \[\vec{AB}=B-A=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}\]

Dengan \(\vec{i}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) dan \(\vec{j}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) sebagai vektor satuan pada sumbu X dan Y. \(\hat{a}\) adalah vektor satuan (panjangnya 1) yang searah \(\vec{a}\).

Simulasi 1: Vektor dari titik asal O

Ubah komponen x dan y. Perhatikan garis putus-putus: itu adalah komponen vektor pada sumbu.

Simulasi 2: Vektor dari dua titik (AB = B − A)

Geser titik A dan B. Vektor AB selalu "ujung dikurangi pangkal".

Contoh 1

Diketahui A(1, 2) dan B(4, 6). Tentukan \(\vec{AB}\), panjangnya, dan vektor satuannya.

\[\begin{aligned}\vec{AB}&=B-A=\begin{pmatrix}4-1\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=3\vec{i}+4\vec{j}\\ |\vec{AB}|&=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\\ \hat{AB}&=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\\\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Contoh 2 (kesamaan vektor)

Jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2x-1\\3\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}5\\y+2\end{pmatrix}\) dengan \(\vec{a}=\vec{b}\), tentukan x dan y.

\[\begin{aligned}2x-1&=5\ \Rightarrow\ x=3\\ 3&=y+2\ \Rightarrow\ y=1\end{aligned}\]

Rumus operasi vektor

\[\begin{aligned}\vec{a}+\vec{b}&=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}\\ \vec{a}-\vec{b}&=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}\\ k\vec{a}&=\begin{pmatrix}ka_1\\ka_2\end{pmatrix},\quad |k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\end{aligned}\]

• Metode segitiga: pangkal \(\vec{b}\) di ujung \(\vec{a}\); hasilnya dari pangkal \(\vec{a}\) ke ujung \(\vec{b}\).
• Metode jajargenjang: pangkal \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) disatukan; hasilnya diagonal jajargenjang.
• Sifat: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\), \(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\).
• \(\vec{a}\) sejajar \(\vec{b}\) jika \(\vec{b}=k\vec{a}\) untuk suatu bilangan k.

Simulasi 3: Jumlah, selisih, dan kelipatan

Pilih operasi, lalu ubah vektor a dan b (nilai k dipakai pada operasi ketiga).

Contoh 1

Diketahui \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\). Tentukan \(\vec{a}+\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\), dan \(3\vec{a}-2\vec{b}\).

\[\begin{aligned}\vec{a}+\vec{b}&=\begin{pmatrix}2+(-1)\\3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}\\ \vec{a}-\vec{b}&=\begin{pmatrix}2-(-1)\\3-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\\ 3\vec{a}-2\vec{b}&=\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Contoh 2 (vektor sejajar)

\(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) sejajar \(\vec{b}=\begin{pmatrix}k\\6\end{pmatrix}\). Tentukan k.

\[\begin{aligned}\vec{b}&=m\vec{a}\ \Rightarrow\ \begin{pmatrix}k\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2m\\-3m\end{pmatrix}\\ -3m&=6\ \Rightarrow\ m=-2\\ k&=2m=-4\end{aligned}\]

A. Perkalian titik (dot product)

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,\qquad \cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\]

Hasilnya skalar (bukan vektor). \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor (\(0^\circ\le\theta\le180^\circ\)). Jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) maka kedua vektor tegak lurus.

Contoh 1

Tentukan sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\).

\[\begin{aligned}\vec{a}\cdot\vec{b}&=2\cdot3+2\cdot0=6\\ |\vec{a}|&=\sqrt{8}=2\sqrt{2},\quad |\vec{b}|=3\\ \cos\theta&=\dfrac{6}{2\sqrt{2}\cdot3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \Rightarrow\ \theta=45^\circ\end{aligned}\]

B. Proyeksi vektor

\[\text{proyeksi skalar }\vec{a}\text{ pada }\vec{b}:\ \ \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\qquad\qquad \text{proyeksi vektor}:\ \ \vec{c}=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\,\vec{b}\]

Bayangkan "bayangan" \(\vec{a}\) jika disinari tegak lurus ke garis \(\vec{b}\).

Contoh 2

Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\) pada \(\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\).

\[\begin{aligned}\vec{a}\cdot\vec{b}&=15+20=35,\quad |\vec{b}|^2=9+16=25,\quad |\vec{b}|=5\\ \text{skalar}&=\dfrac{35}{5}=7\\ \vec{c}&=\dfrac{35}{25}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{21}{5}\\\dfrac{28}{5}\end{pmatrix}\end{aligned}\]

C. Perbandingan (pembagian ruas garis)

Titik P membagi ruas garis AB dengan \(AP:PB=m:n\), maka

\[\vec{p}=\dfrac{n\,\vec{a}+m\,\vec{b}}{m+n}\]

Tips: bobot A adalah n (bagian PB), bobot B adalah m (bagian AP). Titik P selalu lebih dekat ke titik yang bagiannya lebih kecil.

Contoh 3

A(1, 2), B(7, 8), titik P pada AB dengan \(AP:PB=2:1\). Tentukan P.

\[\begin{aligned}\vec{p}&=\dfrac{1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}7\\8\end{pmatrix}}{2+1}\\ &=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}15\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ P(5,6)\end{aligned}\]

Vektor dalam kehidupan sehari-hari

Vektor dipakai untuk perpindahan, kecepatan (perahu, pesawat, angin), gaya (menarik, mendorong), dan usaha. Langkah menyelesaikan soal cerita:

1. Ubah informasi menjadi vektor (tentukan sumbu dan arahnya).
2. Buat sketsa anak panah.
3. Pilih operasi: jumlah (resultan), dot product (usaha, sudut), atau proyeksi.
4. Hitung, lalu tulis jawaban lengkap dengan satuan.

Simulasi 4: Perahu menyeberangi sungai

Perahu diarahkan tegak lurus tepi sungai (sumbu Y), arus mengalir ke arah sumbu X. Kecepatan sebenarnya adalah resultan keduanya.

Simulasi 5: Usaha oleh gaya miring

\[W=\vec{F}\cdot\vec{s}=|\vec{F}|\,|\vec{s}|\cos\theta\]

Hanya komponen gaya yang searah perpindahan yang melakukan usaha.

Soal cerita 1 (perahu)

Perahu bergerak 3 m/s ke utara, arus sungai 4 m/s ke timur, lebar sungai 90 m. Tentukan kecepatan perahu sebenarnya, waktu menyeberang, dan jarak hanyut.

\[\begin{aligned}\vec{v}&=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ |\vec{v}|=\sqrt{16+9}=5\ \text{m/s}\\ t&=\dfrac{90}{3}=30\ \text{s}\\ \text{hanyut}&=4\times30=120\ \text{m}\end{aligned}\]

Soal cerita 2 (resultan gaya)

Dua anak menarik sebuah balok: Dina 30 N ke timur, Eko 40 N ke utara. Tentukan besar dan arah resultan gaya.

\[\begin{aligned}\vec{R}&=\begin{pmatrix}30\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30\\40\end{pmatrix}\\ |\vec{R}|&=\sqrt{900+1600}=50\ \text{N}\\ \tan\alpha&=\dfrac{40}{30}\ \Rightarrow\ \alpha\approx53^\circ\ \text{dari arah timur}\end{aligned}\]

Soal cerita 3 (usaha)

Koper ditarik dengan gaya 50 N yang membentuk sudut \(60^\circ\) terhadap lantai, berpindah sejauh 8 m. Berapa usahanya?

\[\begin{aligned}W&=F\,s\cos\theta\\&=50\times8\times\cos60^\circ\\&=50\times8\times\tfrac12=200\ \text{J}\end{aligned}\]

8 Soal Latihan (Pemancing) dan Pembahasan

Kerjakan dulu di buku, lalu klik "Lihat pembahasan" untuk mencocokkan.

Soal 1

Diketahui A(2, −1) dan B(6, 2). Tentukan \(\vec{AB}\) dan \(|\vec{AB}|\).

Pancingan: ujung dikurangi pangkal, atau sebaliknya?

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}\vec{AB}&=B-A=\begin{pmatrix}6-2\\2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\\ |\vec{AB}|&=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\end{aligned}\]

Soal 2

Jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\), tentukan \(2\vec{a}-3\vec{b}\).

Pancingan: kalikan skalar ke tiap komponen dulu, waspadai tanda minus saat mengurangi.

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}2\vec{a}-3\vec{b}&=\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}6+3\\-4-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\-16\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Soal 3

Tentukan vektor satuan dari \(\vec{a}=\begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}\).

Pancingan: berapa panjang vektor satuan? Cari panjang \(\vec{a}\) lebih dulu.

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}|\vec{a}|&=\sqrt{36+64}=10\\ \hat{a}&=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{5}\\\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Soal 4

Vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) tegak lurus \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\k\end{pmatrix}\). Tentukan k.

Pancingan: berapa nilai perkalian titik dua vektor yang saling tegak lurus?

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}\vec{a}\cdot\vec{b}&=0\\2\cdot4+3\cdot k&=0\\8+3k&=0\ \Rightarrow\ k=-\dfrac{8}{3}\end{aligned}\]

Soal 5

Tentukan besar sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).

Pancingan: apa saja yang perlu dihitung sebelum memakai rumus cos?

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}\vec{a}\cdot\vec{b}&=3+2=5\\ |\vec{a}|&=\sqrt{10},\quad|\vec{b}|=\sqrt{5}\\ \cos\theta&=\dfrac{5}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \theta&=45^\circ\end{aligned}\]

Soal 6

Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) pada \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\).

Pancingan: pembagi pada proyeksi vektor adalah \(|\vec{b}|^2\), bukan \(|\vec{b}|\).

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}\vec{a}\cdot\vec{b}&=8-3=5,\quad|\vec{b}|^2=5,\quad|\vec{b}|=\sqrt{5}\\ \text{skalar}&=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\\ \vec{c}&=\dfrac{5}{5}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Soal 7

Diketahui A(−2, 1) dan B(7, 10). Titik P terletak pada AB dengan \(AP:PB=1:2\). Tentukan koordinat P.

Pancingan: bobot mana yang mengalikan A, m atau n? Cek apakah P lebih dekat ke A.

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}\vec{p}&=\dfrac{2\vec{a}+1\cdot\vec{b}}{1+2}=\dfrac{1}{3}\left[\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7\\10\end{pmatrix}\right]\\ &=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ P(1,4)\end{aligned}\] Cek: \(\vec{AB}=(9,9)\), sepertiganya \((3,3)\), dan \(A+(3,3)=(1,4)\). Benar.

Soal 8 (cerita)

Perahu melaju 4 m/s tegak lurus tepi sungai. Arus sungai 3 m/s. Lebar sungai 120 m. Tentukan kecepatan sebenarnya perahu, waktu menyeberang, dan jarak perahu hanyut terbawa arus.

Pancingan: waktu menyeberang ditentukan oleh komponen kecepatan yang mana?

Lihat pembahasan

\[\begin{aligned}\vec{v}&=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ |\vec{v}|=\sqrt{9+16}=5\ \text{m/s}\\ t&=\dfrac{120}{4}=30\ \text{s}\\ \text{hanyut}&=3\times30=90\ \text{m}\end{aligned}\] Arus hanya menggeser perahu ke samping, tidak mempercepat penyeberangan.