Bagaimana speedometer menunjukkan kecepatan tepat pada satu detik, atau pabrik menentukan produksi agar laba maksimum? Semuanya memakai turunan fungsi. Geser slider, amati garis singgung, lalu uji pemahamanmu lewat soal cerita dan 8 soal latihan di bagian akhir.
Geser slider, klik tombol, dan buka pembahasan. Semua bagian bisa dicoba langsung.
Limit dan Kontinuitas
Limit fungsi: \(\lim_{x\to a} f(x)=L\) artinya nilai \(f(x)\) mendekati \(L\) ketika \(x\) mendekati \(a\) (tanpa harus sama dengan \(a\)).
Contoh 1. Tentukan \(\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\).
$$\begin{aligned}\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}&=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\\&=\lim_{x\to 2}(x+2)\\&=4\end{aligned}$$
Perhatikan: \(f(2)\) tidak terdefinisi, tetapi limitnya ada.
Contoh 2. \(\lim_{x\to 3}(x^2+2x)=3^2+2\cdot3=15\) (substitusi langsung karena tidak menghasilkan \(\frac00\)).
Fungsi \(f\) kontinu di \(x=a\) jika: (1) \(f(a)\) ada, (2) \(\lim_{x\to a}f(x)\) ada, (3) \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Contoh: \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) tidak kontinu di \(x=2\) karena syarat (1) gagal.
Contoh: \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) tidak kontinu di \(x=2\) karena syarat (1) gagal.
Fungsi harus kontinu di suatu titik agar dapat diturunkan di titik itu. Namun kontinu belum tentu dapat diturunkan, contoh \(f(x)=|x|\) di \(x=0\) (grafiknya berbentuk sudut runcing).
Konsep Turunan: dari Tali Busur ke Garis Singgung
Fungsi \(f(x)=x^2\). Titik \(P\) tetap di \(x=a\), titik \(Q\) di \(x=a+h\). Kecilkan \(h\) dan lihat garis merah (tali busur \(PQ\)) mendekati garis hijau putus-putus (garis singgung).
a =
h:
Definisi turunan:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Turunan adalah gradien garis singgung kurva sekaligus laju perubahan sesaat.
Contoh 3. Turunan \(f(x)=3x^2\) dengan definisi, lalu hitung \(f'(1)\).
$$\begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)^2-3x^2}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{6xh+3h^2}{h}\\&=\lim_{h\to0}(6x+3h)=6x\end{aligned}$$
Jadi \(f'(1)=6\).
Penulisan Turunan
| Notasi | Dibaca | Contoh untuk \(y=x^2\) |
|---|---|---|
| \(f'(x)\) (Lagrange) | f aksen x | \(f'(x)=2x\) |
| \(y'\) | y aksen | \(y'=2x\) |
| \(\dfrac{dy}{dx}\) (Leibniz) | d y per d x | \(\dfrac{dy}{dx}=2x\) |
| \(\dfrac{d}{dx}f(x)\) | turunan f terhadap x | \(\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x\) |
Menemukan Sifat Turunan
Pilih \(n\), lalu bandingkan nilai gradien di \(x=2\) yang dihitung dengan \(h=0{,}0001\) terhadap rumus \(n\cdot 2^{n-1}\).
n =
Bukti untuk \(f(x)=x^3\):
$$\begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}\\&=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\end{aligned}$$
Pola: pangkat turun menjadi koefisien, pangkat baru berkurang 1.
Rumus Dasar (aljabar, trigonometri, eksponensial)
| Fungsi | Turunan | Fungsi | Turunan |
|---|---|---|---|
| \(k\) (konstanta) | \(0\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(k\,f(x)\) | \(k\,f'(x)\) | \(\tan x\) | \(\sec^2 x\) |
| \(u\pm v\) | \(u'\pm v'\) | \(\sin(ax+b)\) | \(a\cos(ax+b)\) |
| \(u\cdot v\) | \(u'v+uv'\) | \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\dfrac uv\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) | \(e^{ax+b}\) | \(a\,e^{ax+b}\) |
| \([f(x)]^n\) | \(n[f(x)]^{n-1}f'(x)\) | \(a^x\) | \(a^x\ln a\) |
Contoh Penyelesaian
Pilih contoh:
Persamaan Garis Singgung
Garis singgung kurva \(y=f(x)\) di titik \((a,f(a))\) memiliki gradien \(m=f'(a)\):
$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$
Kurva \(f(x)=x^3-3x\), \(f'(x)=3x^2-3\). Geser titik singgung.
a =
Contoh 1. Garis singgung \(y=x^2-4x+3\) di titik berabsis 3.
$$\begin{aligned}f(3)&=9-12+3=0\\f'(x)&=2x-4\ \Rightarrow\ m=f'(3)=2\\y-0&=2(x-3)\\y&=2x-6\end{aligned}$$
Contoh 2. Garis singgung \(y=x^3-2x\) yang sejajar garis \(y=x+5\).
$$\begin{aligned}m&=1\ \Rightarrow\ 3x^2-2=1\ \Rightarrow\ x=\pm1\\x=1:\ y&=-1\ \Rightarrow\ y+1=1(x-1)\ \Rightarrow\ y=x-2\\x=-1:\ y&=1\ \Rightarrow\ y-1=1(x+1)\ \Rightarrow\ y=x+2\end{aligned}$$
Fungsi Naik, Turun, dan Diam
\(f'(x)>0\) fungsi naik; \(f'(x)<0\) fungsi turun; \(f'(x)=0\) stasioner (diam, kemungkinan titik ekstrem).
Kurva \(f(x)=x^3-3x\). Geser titik dan amati tanda \(f'(x)\) serta kemiringan garis singgung.
x =
■ naik■ turun● titik ekstrem
Titik Ekstrem dan Nilai Balik
Langkah: (1) cari \(f'(x)=0\); (2) uji tanda \(f'\) di kiri-kanan titik tersebut. Jika berubah \(+\to-\): maksimum; jika \(-\to+\): minimum. Nilai \(f(x)\) di titik itu disebut nilai balik.
Uji turunan kedua: \(f''<0\) maksimum, \(f''>0\) minimum.
Uji turunan kedua: \(f''<0\) maksimum, \(f''>0\) minimum.
Contoh. \(f(x)=2x^3-9x^2+12x\).
$$\begin{aligned}f'(x)&=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)\\f'(x)=0&\Rightarrow x=1\text{ atau }x=2\\f''(x)&=12x-18\\f''(1)&=-6<0\Rightarrow\text{maksimum},\ f(1)=5\\f''(2)&=6>0\Rightarrow\text{minimum},\ f(2)=4\end{aligned}$$
Naik pada \(x<1\) atau \(x>2\); turun pada \(1<x<2\).
Aplikasi di Berbagai Bidang
Fisika (kecepatan). Tinggi bola \(h(t)=30t-5t^2\) meter. Kecepatan \(v=h'(t)\).
$$\begin{aligned}v&=30-10t\\v(1)&=20\text{ m/s}\\v=0&\Rightarrow t=3\text{ s (titik tertinggi)}\\h(3)&=90-45=45\text{ m}\end{aligned}$$
Ekonomi (laba maksimum). Laba \(P(x)=-x^2+60x-200\) (ribu rupiah) untuk \(x\) unit.
$$\begin{aligned}P'(x)&=-2x+60=0\Rightarrow x=30\\P(30)&=-900+1800-200=700\end{aligned}$$
Laba maksimum Rp700.000 pada produksi 30 unit.
Biologi (laju pertumbuhan). Populasi bakteri \(N(t)=500e^{0{,}2t}\).
$$\begin{aligned}N'(t)&=500\cdot0{,}2\,e^{0{,}2t}=100e^{0{,}2t}\\N'(0)&=100\text{ bakteri/jam}\end{aligned}$$
Soal Cerita: Kotak Terbuka Volume Maksimum
Karton persegi sisi 24 cm. Keempat pojoknya dipotong persegi sisi \(x\), lalu dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Volume \(V=x(24-2x)^2\). Geser \(x\) untuk mencari volume terbesar.
x = cm
Pembahasan:
$$\begin{aligned}V&=4x^3-96x^2+576x\\V'&=12x^2-192x+576=12(x-4)(x-12)\\V'=0&\Rightarrow x=4\ (x=12\text{ tidak mungkin})\\V(4)&=4\cdot16^2=1024\end{aligned}$$
Volume maksimum 1.024 cm3 saat \(x=4\) cm (di titik ini garis singgung mendatar).
8 Soal Latihan (Pemancing)
Coba kerjakan dulu, baru buka pembahasan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar