Transformasi geometri adalah cara memindahkan, memutar, mencerminkan, atau mengubah ukuran suatu bangun pada bidang Kartesius dengan aturan yang pasti.
Pada materi ini, kamu akan menjelajahi empat jenis transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi), melihat bagaimana setiap transformasi dapat dinyatakan dengan matriks, lalu menggabungkannya menjadi komposisi. Ubah angka dan pilihan pada simulasi di bawah, amati bayangan bangun yang terbentuk, kemudian uji pemahamanmu lewat soal cerita dan 8 soal latihan di bagian akhir.
Transformasi Geometri
Simulasi interaktif: ubah angka atau pilih tombol, lalu amati bangun ABC dengan A(1, 1), B(4, 1), C(2, 3) bergerak di bidang Kartesius.
Transformasi pada Bidang Kartesius
Transformasi adalah pemetaan yang memindahkan setiap titik \((x,y)\) ke titik bayangan \((x',y')\). Translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah bentuk maupun ukuran (isometri), sedangkan dilatasi mengubah ukuran.
Pcermin sumbu xcermin sumbu ycermin titik asal
Contoh 1: menentukan kuadran
Titik \(P(-3,4)\) memiliki \(x<0\) dan \(y>0\), sehingga berada di kuadran II. Titik \(Q(5,-1)\) berada di kuadran IV.Contoh 2: jarak titik ke titik asal
\[\begin{aligned}OP&=\sqrt{x^2+y^2}\\&=\sqrt{(-3)^2+4^2}\\&=\sqrt{25}=5\end{aligned}\]Transformasi isometri menjaga jarak ini: jarak antara dua titik sebelum dan sesudah transformasi tetap sama.Jenis-jenis Transformasi Geometri
| Jenis | Aturan titik \((x,y)\to(x',y')\) |
|---|---|
| Translasi \(T(h,k)\) | \((x+h,\;y+k)\) |
| Refleksi sumbu x / sumbu y | \((x,-y)\) / \((-x,y)\) |
| Refleksi \(y=x\) / \(y=-x\) | \((y,x)\) / \((-y,-x)\) |
| Refleksi \(x=h\) / \(y=k\) | \((2h-x,\;y)\) / \((x,\;2k-y)\) |
| Rotasi \([O,\theta]\) | \((x\cos\theta-y\sin\theta,\;x\sin\theta+y\cos\theta)\) |
| Dilatasi \([P(a,b),k]\) | \((a+k(x-a),\;b+k(y-b))\) |
Sudut rotasi positif berlawanan arah jarum jam.
bangun awalbayangancermin / pusat
Contoh 1: translasi
\[\begin{aligned}A(-1,4)\xrightarrow{T(3,-2)}A'&=(-1+3,\;4-2)\\&=(2,2)\end{aligned}\]Contoh 2: refleksi
\(A(3,-2)\) terhadap \(y=x\) menjadi \((-2,3)\). Terhadap garis \(x=5\): \(x'=2(5)-3=7\), sehingga \(A'(7,-2)\).Contoh 3: rotasi
Rotasi \(90^\circ\) pusat \(P(1,1)\) pada \(Q(4,1)\): vektor relatif \((3,0)\) berputar menjadi \((0,3)\), sehingga \(Q'=(1+0,\;1+3)=(1,4)\).Contoh 4: dilatasi
\[\begin{aligned}A(2,0),\;[P(1,1),3]:\;A'&=(1,1)+3\big((2,0)-(1,1)\big)\\&=(1,1)+3(1,-1)\\&=(4,-2)\end{aligned}\]Kaitan Matriks dengan Transformasi
Refleksi, rotasi, dan dilatasi berpusat di O dapat ditulis sebagai perkalian matriks: \(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\). Kolom pertama adalah bayangan vektor \(\vec i=(1,0)\), kolom kedua bayangan \(\vec j=(0,1)\). Translasi memakai penjumlahan vektor, bukan perkalian matriks.
ABCA'B'C'vektor i' dan j'
Contoh 1: bayangan titik
\[\begin{aligned}\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}8-3\\-4-9\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}5\\-13\end{pmatrix}\end{aligned}\]Contoh 2: menyusun matriks dari bayangan vektor satuan
Jika \((1,0)\to(3,1)\) dan \((0,1)\to(-2,4)\), maka \(M=\begin{pmatrix}3&-2\\1&4\end{pmatrix}\). Determinannya \(12+2=14\), sehingga luas bangun menjadi 14 kali semula.Komposisi Transformasi dengan Matriks
\(T_2\circ T_1\) berarti T1 dikerjakan lebih dulu, lalu T2. Matriksnya: \(M=M_2\cdot M_1\) (urutan matriks dibalik). Perkalian matriks tidak komutatif, jadi urutan penting.
ABCsetelah T1setelah T2
Contoh 1: rotasi 90° dilanjutkan refleksi sumbu x
\[\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\end{aligned}\]Ini adalah matriks refleksi terhadap \(y=-x\).Contoh 2: dilatasi [O,2] dilanjutkan rotasi 180°
\[\begin{aligned}\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-4\\-6\end{pmatrix}\end{aligned}\]Catatan: komposisi dua translasi
\(T(a,b)\) dilanjutkan \(T(c,d)\) sama dengan \(T(a+c,\;b+d)\). Untuk translasi, urutan tidak berpengaruh.Penyelesaian Masalah Kontekstual
8 Soal Pemancing dan Pembahasan
Coba kerjakan dulu di kertas, lalu buka pembahasannya.
Soal 1. Titik \(A(3,-2)\) ditranslasi oleh \(T(-1,5)\), kemudian dicerminkan terhadap garis \(y=x\). Tentukan bayangan akhirnya.
Pembahasan
\[\begin{aligned}A\xrightarrow{T}A'&=(3-1,\;-2+5)=(2,3)\\A'\xrightarrow{y=x}A''&=(3,2)\end{aligned}\]Soal 2. Tentukan bayangan garis \(y=2x-3\) oleh rotasi \(90^\circ\) berpusat di O.
Pembahasan
\[\begin{aligned}x'=-y,\;y'=x&\Rightarrow x=y',\;y=-x'\\-x'&=2y'-3\\x'+2y'&=3\end{aligned}\]Bayangannya: \(x+2y=3\).Soal 3. Titik \(A(3,-1)\) didilatasi oleh \([P(1,2),-3]\). Tentukan \(A'\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}A'&=(1,2)+(-3)\big((3,-1)-(1,2)\big)\\&=(1,2)+(-3)(2,-3)\\&=(1-6,\;2+9)=(-5,11)\end{aligned}\]Faktor negatif membuat bayangan berada di seberang pusat.Soal 4. Transformasi T memetakan \((1,0)\to(2,1)\) dan \((0,1)\to(-1,3)\). Tentukan bayangan \((3,2)\), lalu luas bayangan segitiga yang luas awalnya 5 satuan.
Pembahasan
\[\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}\\M\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}6-2\\3+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}\\\det M&=6+1=7\\L'&=7\times5=35\end{aligned}\]Soal 5. Refleksi terhadap \(y=-x\) dilanjutkan rotasi \(90^\circ\) pusat O sama dengan transformasi apa?
Pembahasan
\[\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\end{aligned}\]Hasilnya refleksi terhadap sumbu x.Soal 6. Tentukan bayangan kurva \(y=x^2-4x+3\) oleh refleksi terhadap garis \(y=x\).
Pembahasan
\[\begin{aligned}x'=y,\;y'=x&\Rightarrow x=y',\;y=x'\\x'&=y'^2-4y'+3\end{aligned}\]Bayangannya parabola mendatar \(x=y^2-4y+3\).Soal 7. Segitiga luas 8 satuan ditransformasikan oleh matriks \(\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\). Berapa luas bayangannya? Apakah orientasinya berubah?
Pembahasan
\[\begin{aligned}\det&=2\cdot2-1\cdot3=1\\L'&=|1|\times8=8\end{aligned}\]Luas tetap meskipun bentuknya bisa berubah. Karena \(\det>0\), orientasi tidak berbalik.Soal 8. Titik \(P(a,b)\) ditranslasi oleh \(T(2,-3)\), lalu dirotasi \(90^\circ\) pusat O, menghasilkan \((5,4)\). Tentukan \(P\).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar