Polinomial

Dari menghitung volume kotak karton sampai biaya produksi, semuanya bisa dimodelkan dengan polinomial (suku banyak). Di sini kamu akan mempelajari operasi, pembagian (bersusun dan Horner), faktor dan akar, serta identitas polinomial, lengkap dengan simulator, contoh, soal cerita, dan 8 soal latihan. Tulis koefisien dari pangkat tertinggi, dipisah koma, misalnya 2, -3, 0, 5 untuk 2x³ − 3x² + 5.

Cara memakai. Pilih tab di bawah. Tiap tab berisi ringkasan konsep, simulator (ubah isian lalu tekan tombol oranye, atau pakai tombol contoh), dan contoh soal beserta langkahnya. Koefisien ditulis dari pangkat tertinggi, dipisah koma. Contoh: 2, -3, 0, 5 artinya 2x³ − 3x² + 5.

Polinomial dan Fungsi Polinomial

Polinomial (suku banyak) dalam x berbentuk \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) dengan \(a_n \text{ tidak sama dengan } 0\) dan pangkat \(n\) bilangan cacah. \(a_n\) disebut koefisien utama, \(a_0\) suku tetap, dan \(n\) adalah derajat. Fungsi polinomial: \(f(x)=a_nx^n+\dots+a_0\).

Simulator 1: Bedah polinomial
f(x) =

Nilai x = 2

Uji pemahaman: polinomial atau bukan?

Contoh. Untuk \(f(x)=2x^3-5x^2+x-4\): derajat 3, koefisien utama 2, koefisien \(x^2\) adalah \(-5\), suku tetap \(-4\). Nilai fungsi di \(x=2\): $$\begin{aligned}f(2)&=2(2)^3-5(2)^2+2-4\\&=16-20+2-4\\&=-6\end{aligned}$$

Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian

Jumlah/selisih: operasikan koefisien dari pangkat yang sama (suku sejenis). Perkalian: kalikan tiap suku dengan tiap suku (sifat distributif), lalu gabungkan suku sejenis. Derajat hasil kali = jumlah derajat kedua faktor.

Simulator 2: Kalkulator operasi
P(x) =
Q(x) =
Operasi:
Contoh:

Contoh. Hitung \((2x^2+3x-1)(x-4)\). $$\begin{aligned}(2x^2+3x-1)(x-4)&=2x^3-8x^2+3x^2-12x-x+4\\&=2x^3-5x^2-13x+4\end{aligned}$$

Pembagian Polinomial

Jika \(P(x)\) dibagi \(D(x)\), maka \(P(x)=D(x)\cdot H(x)+S(x)\) dengan \(H(x)\) hasil bagi dan \(S(x)\) sisa, derajat \(S\) lebih kecil dari derajat \(D\). Untuk pembagi \((x-k)\), pakai skema Horner, dan sisanya \(P(k)\) (Teorema Sisa).

Simulator 3: Pembagian bersusun dan Horner
P(x) =
Pembagi =
Contoh:

Contoh. \(2x^3+x^2-7x+3\) dibagi \((x-1)\) dengan Horner, \(k=1\): koefisien 2, 1, −7, 3 menghasilkan 2, 3, −4, dan sisa −1. $$\begin{aligned}H(x)&=2x^2+3x-4\\S&=P(1)=2+1-7+3=-1\end{aligned}$$

Faktor dan Pembuat Nol Polinomial

Teorema Faktor: \((x-k)\) faktor dari \(P(x)\) jika dan hanya jika \(P(k)=0\), yaitu \(k\) adalah akar (pembuat nol). Untuk koefisien bulat, akar rasional \(\dfrac{p}{q}\) hanya mungkin dengan \(p\) pembagi suku tetap dan \(q\) pembagi koefisien utama.

Simulator 4: Pencari akar dan faktor
P(x) =
Contoh:
Uji sendiri k =

Contoh. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Kandidat akar: pembagi 6, yaitu \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). $$\begin{aligned}P(1)&=1-6+11-6=0\ \Rightarrow (x-1)\text{ faktor}\\x^3-6x^2+11x-6&=(x-1)(x^2-5x+6)\\&=(x-1)(x-2)(x-3)\end{aligned}$$

Identitas Polinomial

Dua polinomial identik (\(A(x)\equiv B(x)\)) jika nilainya sama untuk setiap x. Syaratnya, koefisien suku-suku yang berpangkat sama harus sama. Ini dipakai untuk mencari koefisien yang belum diketahui.

Simulator 5: Uji identitas
Faktor A =
Faktor B =
Ruas kanan =
Contoh:

Contoh. Tentukan \(a,b\) agar \(x^2-7x+12\equiv(x-a)(x-b)\). $$\begin{aligned}x^2-7x+12&\equiv x^2-(a+b)x+ab\\a+b&=7,\quad ab=12\\a=3,\ b&=4\end{aligned}$$

Soal Cerita dan Masalah Kontekstual

Cerita 1: Kotak dari karton (simulator)

Selembar karton berukuran 30 cm × 20 cm. Keempat pojoknya dipotong persegi sisi x cm, lalu dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Volume: V(x) = x(30 − 2x)(20 − 2x) = 4x³ − 100x² + 600x. Geser x sampai volume mendekati 1.008 cm³. Ada dua nilai x yang cocok!

x = 1.0 cm

Lihat pembahasan

$$\begin{aligned}4x^3-100x^2+600x&=1008\\x^3-25x^2+150x-252&=0\\x=3:\ 27-225+450-252&=0\ \Rightarrow x=3\text{ akar}\\(x-3)(x^2-22x+84)&=0\\x&=\tfrac{22\pm\sqrt{148}}{2}\approx 5{,}08\ \text{atau}\ 16{,}9\ (\text{tidak memenuhi, }x<10)\end{aligned}$$

Cerita 2: Ukuran balok. Volume sebuah balok \(V(x)=x^3+6x^2+11x+6\) cm³. Tingginya \((x+1)\) cm dan panjangnya \((x+2)\) cm. Tentukan lebarnya dan volume saat \(x=2\).

Lihat pembahasan

Lebar = V dibagi (tinggi × panjang). Bagi dengan \((x+1)\) memakai Horner, \(k=-1\): koefisien 1, 6, 11, 6 menghasilkan 1, 5, 6, sisa 0. Lalu \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). $$\begin{aligned}V(x)&=(x+1)(x+2)(x+3)\\\text{lebar}&=(x+3)\ \text{cm}\\V(2)&=3\cdot4\cdot5=60\ \text{cm}^3\end{aligned}$$

Cerita 3: Biaya produksi. Biaya produksi \(B(x)=2x^3-5x^2+3x+10\) juta rupiah untuk \(x\) ratus unit. Hitung biaya untuk 400 unit memakai skema Horner, lalu jelaskan hubungannya dengan sisa pembagian.

Lihat pembahasan

400 unit berarti \(x=4\). Horner dengan \(k=4\): koefisien 2, −5, 3, 10 menghasilkan 2, 3, 15, 70. $$\begin{aligned}B(4)&=2(64)-5(16)+3(4)+10\\&=128-80+12+10=70\end{aligned}$$ Biayanya 70 juta rupiah. Angka 70 juga sisa jika \(B(x)\) dibagi \((x-4)\), sesuai Teorema Sisa.

Latihan: 8 Soal Pemancing

Kerjakan dulu di kertas, baru buka pembahasannya.

1. Tentukan derajat dan koefisien \(x^2\) dari \((2x-1)^2(x+3)\).

Pembahasan

$$\begin{aligned}(2x-1)^2(x+3)&=(4x^2-4x+1)(x+3)\\&=4x^3+12x^2-4x^2-12x+x+3\\&=4x^3+8x^2-11x+3\end{aligned}$$ Derajat 3 dan koefisien \(x^2\) adalah 8 (bukan 4, karena ada dua suku \(x^2\) yang digabung).

2. Diketahui \(f(x)=x^3-2x^2+ax+6\) dan \(f(2)=10\). Tentukan \(a\).

Pembahasan

$$\begin{aligned}f(2)&=8-8+2a+6=10\\2a+6&=10\\a&=2\end{aligned}$$

3. Tentukan hasil bagi dan sisa \(2x^3-3x^2+x-5\) dibagi \((x-2)\) dengan skema Horner.

Pembahasan

Dengan \(k=2\): 2; \(-3+2\cdot2=1\); \(1+2\cdot1=3\); \(-5+2\cdot3=1\). $$\begin{aligned}H(x)&=2x^2+x+3\\S&=1\end{aligned}$$

4. Suku banyak \(x^4-3x^3+ax-6\) habis dibagi \((x-2)\). Tentukan \(a\).

Pembahasan

Habis dibagi berarti sisa \(P(2)=0\). $$\begin{aligned}P(2)&=16-24+2a-6\\&=2a-14=0\\a&=7\end{aligned}$$

5. Faktorkan \(x^3-2x^2-5x+6\) dan tentukan semua akarnya.

Pembahasan

Kandidat: \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). \(P(1)=1-2-5+6=0\). Horner \(k=1\): 1, −1, −6, sisa 0. $$\begin{aligned}x^3-2x^2-5x+6&=(x-1)(x^2-x-6)\\&=(x-1)(x-3)(x+2)\end{aligned}$$ Akarnya \(1,\ 3,\ -2\).

6. Tentukan \(a,b,c\) jika \(x^2+4x+7\equiv a(x+1)^2+b(x+1)+c\).

Pembahasan

$$\begin{aligned}a(x+1)^2+b(x+1)+c&=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)\\a&=1\\2a+b&=4\Rightarrow b=2\\a+b+c&=7\Rightarrow c=4\end{aligned}$$

7. Volume balok \(V(x)=x^3+4x^2+x-6\) cm³, tingginya \((x-1)\) cm dan lebarnya \((x+2)\) cm. Tentukan panjang dan volume saat \(x=3\).

Pembahasan

\(V(1)=0\), jadi \((x-1)\) faktor. Horner \(k=1\): 1, 5, 6, sisa 0, sehingga \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). $$\begin{aligned}V(x)&=(x-1)(x+2)(x+3)\\\text{panjang}&=(x+3)\ \text{cm}\\x=3:\ V&=2\cdot5\cdot6=60\ \text{cm}^3\end{aligned}$$

8. \(P(x)\) dibagi \((x-1)\) bersisa 3 dan dibagi \((x+2)\) bersisa −3. Tentukan sisa jika \(P(x)\) dibagi \((x-1)(x+2)\).

Pembahasan

Pembagi berderajat 2, sehingga sisa berbentuk \(S(x)=ax+b\). Teorema Sisa: \(P(1)=3\) dan \(P(-2)=-3\), dan nilai itu sama dengan \(S\) di titik yang sama. $$\begin{aligned}a+b&=3\\-2a+b&=-3\\3a&=6\Rightarrow a=2,\ b=1\end{aligned}$$ Sisanya \(S(x)=2x+1\).