Simulasi Matematika Interaktif: Perbandingan Trigonometri

Pernahkah kamu bertanya-tanya bagaimana tinggi Monas, lebar sungai, atau jarak dua kapal di laut bisa dihitung tanpa mengukurnya langsung? Jawabannya ada pada trigonometri, cabang matematika yang menghubungkan besar sudut dengan panjang sisi sebuah segitiga. Pada simulasi ini kamu akan belajar dalam empat tahap: (1) perbandingan dasar pada segitiga siku-siku, (2) relasi sudut di semua kuadran melalui lingkaran satuan, (3) aturan sinus dan cosinus untuk segitiga sembarang, serta (4) soal cerita bertahap dari sketsa sampai jawaban. Baca teorinya terlebih dahulu, lalu geser slider dan tarik titiknya sampai kamu bisa menebak hasilnya sebelum angkanya muncul.

Teori: Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga siku-siku dengan sudut lancip θ, ketiga sisinya diberi nama menurut posisinya terhadap θ:

Depan: sisi yang berhadapan dengan θ.
Samping: sisi yang menempel pada θ (selain sisi miring).
Miring (hipotenusa): sisi di hadapan sudut siku-siku, yang terpanjang.

Tiga perbandingan:
\sin\theta=\dfrac{\text{depan}}{\text{miring}}   \cos\theta=\dfrac{\text{samping}}{\text{miring}}   \tan\theta=\dfrac{\text{depan}}{\text{samping}}

Singkatan SOH-CAH-TOA. Ini jembatan keledai dari bahasa Inggris: Sin = Opposite per Hypotenuse (depan per miring), Cos = Adjacent per Hypotenuse (samping per miring), Tan = Opposite per Adjacent (depan per samping). Opposite = depan, Adjacent = samping, Hypotenuse = miring.

Hubungan penting: \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} dan \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. Nilai pada sudut istimewa 0°, 30°, 45°, 60°, 90° dapat dilihat pada tabel di bawah.

Sudut elevasi adalah sudut antara garis mendatar dan garis pandang ke atas. Jika jarak mendatar d dan sudut elevasi θ diketahui, maka tinggi objek h=d\tan\theta. Sudut depresi dari puncak ke pengamat sama besar dengan sudut elevasi.

Dari mana nilai sudut istimewa? Segitiga sama sisi bersisi 2 yang dibelah dua menghasilkan segitiga siku-siku bersisi 1, \sqrt{3}, dan 2 (sudut 30° dan 60°). Persegi bersisi 1 yang dipotong diagonalnya menghasilkan sisi 1, 1, dan \sqrt{2} (sudut 45°). Lihat tab Asal nilai.

Identitas dasar. Pythagoras pada segitiga berhipotenusa 1 memberi \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, karena sisi depan = sin θ dan sisi samping = cos θ.

Mencari sudut. Jika perbandingannya diketahui, sudut dicari dengan fungsi invers: \sin\theta=x\Rightarrow\theta=\sin^{-1}x, begitu pula \cos^{-1} dan \tan^{-1}. Tanda -1 di sini bukan pangkat, melainkan tanda fungsi invers.

Sudut θ

Sorot rumus

\sin\theta=\dfrac{\text{depan}}{\text{miring}}

\cos\theta=\dfrac{\text{samping}}{\text{miring}}

\tan\theta=\dfrac{\text{depan}}{\text{samping}}

\sin^2\theta+\cos^2\theta

Hipotenusa dibuat 1 satuan agar sisi depan sama dengan sin θ dan sisi samping sama dengan cos θ.

Belah bangun

Mengukur tinggi gedung dari jarak d dengan sudut elevasi θ.

Sudut elevasi

Jarak d

Tinggi h

Benar: 0 / 0

Tabel sudut istimewa (klik baris)

Kuis subbab 1

Teori: Lingkaran Satuan dan Relasi Sudut

Pada lingkaran satuan (jari-jari 1, pusat di titik asal), titik yang terbentuk oleh sudut θ dari sumbu x positif memiliki koordinat (\cos\theta,\ \sin\theta). Jadi cos θ adalah koordinat x, sin θ adalah koordinat y, dan \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} (tidak terdefinisi jika cos θ = 0, yaitu pada 90° dan 270°).

Singkatan ASTC ("Semua Sin Tan Cos") menunjukkan nilai yang bertanda positif di tiap kuadran: kuadran I semua positif; kuadran II hanya sin positif; kuadran III hanya tan positif; kuadran IV hanya cos positif. Nilai lainnya negatif.

Sudut acuan adalah sudut lancip antara garis sudut θ dan sumbu x. Nilai trigonometri sudut di kuadran mana pun sama dengan nilai sudut acuannya, hanya tandanya mengikuti ASTC. Relasi yang sering dipakai:

\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta

\sin(180^\circ+\theta)=-\sin\theta
\cos(180^\circ+\theta)=-\cos\theta
\sin(360^\circ-\theta)=-\sin\theta
\cos(360^\circ-\theta)=\cos\theta

Radian. Satu radian adalah sudut pusat yang panjang busurnya sama dengan jari-jari. Keliling lingkaran 2\pi R, sehingga satu putaran penuh = 2\pi rad = 360°, atau \pi\text{ rad}=180^\circ. Konversi: \theta_{\text{rad}}=\theta^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}.

Grafik. Saat titik bergerak di lingkaran satuan, sin (koordinat y) dan cos (koordinat x) berulang tiap 360°, sedangkan tan berulang tiap 180°. Itulah sifat periodik. Karena jari-jari 1, nilai sin dan cos selalu berada di antara −1 dan 1.

Sudut θ

sin θ

cos θ

tan θ

Kuadran / sudut acuan

Dalam radian

Relasi sudut

Kesalahan umum: lupa tanda. Tentukan sudut acuan lebih dulu, lalu pakai ASTC untuk tandanya.

Sudut θ

Kabin kincir ria berputar; tingginya dari tanah bergantung pada sudut putar θ (diukur dari titik terbawah).

Sudut putar

Jari-jari R

h=R(1-\cos\theta)

Sudut istimewa semua kuadran

Kuis subbab 2

Teori: Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Pada segitiga sembarang ABC, sisi a berhadapan dengan sudut A, sisi b dengan sudut B, dan sisi c dengan sudut C. Dua aturan berikut berlaku untuk segitiga apa pun:

Aturan sinus
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}

Aturan cosinus
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Jika A = 90°, maka cos A = 0 dan aturan cosinus menjadi teorema Pythagoras. Luas segitiga: L=\dfrac{1}{2}bc\sin A.

Singkatan SSS, SAS, ASA, AAS, SSA. Huruf S berarti side (sisi) dan A berarti angle (sudut), dibaca sesuai urutan letaknya pada segitiga. SSS: tiga sisi diketahui. SAS: dua sisi dan sudut yang diapit keduanya. ASA/AAS: dua sudut dan satu sisi. SSA: dua sisi dan sudut yang bukan diapit keduanya (sudut di hadapan salah satu sisi), yang bisa menghasilkan kasus ambigu.

Dari mana rumusnya? Keduanya diturunkan dari rasio segitiga siku-siku (tab 1). Buka tab Bukti untuk melihat langkahnya dengan garis tinggi.

Cara memilih. Jika ada pasangan sisi dan sudut yang berhadapan lengkap (a dengan A, atau b dengan B), pakai aturan sinus. Jika tidak ada pasangan seperti itu (SSS atau SAS), pakai aturan cosinus.

Aturan sinus

Aturan cosinus

Tarik garis tinggi dari C ke sisi AB, lalu pakai rasio segitiga siku-siku. Tekan tombol untuk melihat langkah satu per satu (titik segitiga masih bisa ditarik).

Kasus SSA: diketahui sisi a, sisi b, dan sudut A (di hadapan sisi a). Bisa ada 0, 1, atau 2 segitiga.

Sudut A

Sisi b

Sisi a

Jumlah segitiga

Dua kapal diamati dari mercusuar O. Jarak kedua kapal dicari dengan aturan cosinus (kasus SAS).

r₁

r₂

Sudut θ

Jarak d

Pakai aturan apa?

Pilih jenis data yang diketahui.

Latihan: pilih aturan, lalu hitung

Kuis subbab 3

Teori: Strategi Menyelesaikan Soal Cerita

Soal cerita trigonometri paling mudah diselesaikan dengan lima langkah: (1) sketsa, (2) tandai yang diketahui dan ditanya, (3) pilih rasio atau aturan, (4) hitung, dan (5) periksa kewajaran (misalnya sisi miring harus yang terpanjang).

Sudut elevasi: dari garis mendatar ke atas menuju objek.
Sudut depresi: dari garis mendatar ke bawah menuju objek. Besarnya sama dengan sudut elevasi dari objek ke pengamat (sudut dalam berseberangan).

Bearing (arah baring): sudut yang diukur dari arah utara searah jarum jam, ditulis tiga angka, misalnya 045° (timur laut), 090° (timur), 180° (selatan). Sudut antara dua lintasan adalah selisih kedua bearing.