Peluang membantu kita mengukur seberapa mungkin suatu kejadian terjadi, mulai dari melempar koin dan dadu hingga memperkirakan cuaca atau mutu produk. Pada simulasi ini, kamu akan mempelajari ruang sampel dan kejadian, peluang teoretis dan empiris, kejadian saling lepas dan saling bebas, peluang kejadian majemuk, serta frekuensi harapan. Setiap konsep dilengkapi simulasi interaktif, contoh, dan soal cerita. Cobalah semua simulasinya, amati hasilnya, lalu simpulkan sendiri polanya.
Simulasi interaktif Matematika Wajib Kelas X SMA. Belajar dengan cara mencoba, mengamati, lalu menyimpulkan sendiri.
Yang akan kamu pelajari: ruang sampel dan kejadian • peluang teoretis dan empiris • frekuensi relatif • kejadian saling lepas dan saling bebas • peluang kejadian majemuk • frekuensi harapan • soal cerita.
Ringkasan rumus (klik untuk membuka)
| Konsep | Rumus |
|---|---|
| Peluang kejadian A | \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}\), dengan \(0\le P(A)\le 1\) |
| Frekuensi relatif (peluang empiris) | \(f_r(A)=\dfrac{f(A)}{n}\) |
| Komplemen | \(P(A^c)=1-P(A)\) |
| Gabungan dua kejadian | \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) |
| Saling lepas | \(A\cap B=\emptyset\), sehingga \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) |
| Saling bebas | \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) |
| Frekuensi harapan | \(F_h(A)=n\times P(A)\) |
1. Ruang Sampel dan Kejadian
Konsep dasar
- Percobaan: kegiatan yang hasilnya dapat diamati, misalnya melempar dadu.
- Ruang sampel (S): himpunan semua hasil yang mungkin muncul. Setiap anggotanya disebut titik sampel. Banyaknya ditulis \(n(S)\).
- Kejadian (A): himpunan bagian dari S, yaitu hasil-hasil yang kita perhatikan.
- Peluang kejadian A (jika setiap titik sampel sama mungkin):
- Selalu berlaku \(0\le P(A)\le 1\). Kejadian pasti: \(P(S)=1\). Kejadian mustahil: \(P(\emptyset)=0\).
Tiga cara menyusun ruang sampel
Cara 1 - Mendaftar. Untuk satu dadu: \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\), jadi \(n(S)=6\).
Cara 2 - Diagram pohon. Cocok untuk percobaan bertahap. Diagram di bawah ini untuk pelemparan 3 koin (A = Angka, G = Gambar). Hasil yang berwarna oranye adalah kejadian "tepat dua Angka".
Dengan aturan perkalian: \(n(S)=2\times2\times2=8\).
Cara 3 - Tabel. Cocok untuk dua tahap, misalnya dua dadu (lihat kotak-kotak di Simulator 1 saat memilih "2 dadu": ada \(6\times6=36\) titik sampel).
Kartu remi (sering dipakai pada soal peluang)
Satu set kartu remi berisi 52 kartu: 4 jenis (Hati dan Wajik berwarna merah; Sekop dan Keriting berwarna hitam). Tiap jenis ada 13 kartu: As, 2, 3, ..., 10, Jack (J), Queen (Q), King (K). Kartu bergambar adalah J, Q, K (ada 12 kartu).
Simulator 1: Bangun kejadianmu sendiri
Pilih percobaan, lalu klik titik sampel untuk membentuk kejadian A, atau pakai tombol kejadian siap pakai.
Contoh 1.1 - Koin dan dadu
Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersamaan. Tentukan n(S) dan peluang muncul Angka dan mata dadu ganjil.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}n(S)&=2\times6=12\\A&=\{A1,A3,A5\}\Rightarrow n(A)=3\\P(A)&=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\end{aligned}$$Contoh 1.2 - Dua dadu
Dua dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu sama dengan 8.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}n(S)&=6\times6=36\\A&=\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}\Rightarrow n(A)=5\\P(A)&=\dfrac{5}{36}\end{aligned}$$Contoh 1.3 - Tiga koin
Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul tepat dua Angka.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}n(S)&=2^3=8\\A&=\{AAG,AGA,GAA\}\Rightarrow n(A)=3\\P(A)&=\dfrac{3}{8}\end{aligned}$$Contoh 1.4 - Kartu remi
Satu kartu diambil acak dari 52 kartu remi. Tentukan peluang terambil (a) kartu hati, (b) kartu bergambar berwarna merah.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}\text{(a) } P(\text{hati})&=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\\\text{(b) } n(\text{gambar merah})&=2\times3=6\\P(\text{gambar merah})&=\dfrac{6}{52}=\dfrac{3}{26}\end{aligned}$$2. Peluang Teoretis, Peluang Empiris, dan Frekuensi Relatif
Konsep dasar
- Peluang teoretis: dihitung dengan menganalisis ruang sampel, tanpa melakukan percobaan. Contoh: peluang Angka pada koin seimbang adalah \(\dfrac{1}{2}\).
- Peluang empiris: diperoleh dari hasil percobaan atau pengamatan nyata. Nilainya sama dengan frekuensi relatif:
dengan \(f(A)\) = banyak kejadian A muncul dan \(n\) = banyak percobaan.
- Hubungan keduanya: makin besar \(n\), frekuensi relatif cenderung mendekati peluang teoretis (disebut hukum bilangan besar). Dekat, bukan berarti persis sama.
- Jumlah frekuensi relatif semua hasil yang mungkin selalu sama dengan 1.
- Jika peluang teoretis tidak bisa dihitung (misalnya peluang produk cacat atau peluang hujan), peluang dipakai dari data, yaitu peluang empiris.
Simulator 2A: Frekuensi relatif mendekati peluang teoretis
Pilih percobaan, lalu lakukan percobaan berulang. Perhatikan grafik: garis biru (frekuensi relatif) makin mendekati garis putus-putus oranye (peluang teoretis).
Simulator 2B: Semua mata dadu
Lempar satu dadu berkali-kali. Tiap mata punya peluang teoretis \(\dfrac{1}{6}\approx0{,}167\). Lihat bagaimana tinggi batang-batang itu menjadi hampir sama dan jumlahnya selalu 1.
Kalkulator 2C: Hitung frekuensi relatif
Contoh 2.1 - Koin
Sebuah koin dilempar 80 kali dan muncul Angka sebanyak 46 kali. Tentukan frekuensi relatif Angka dan bandingkan dengan peluang teoretisnya.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}f_r(\text{Angka})&=\dfrac{46}{80}=\dfrac{23}{40}=0{,}575\\P(\text{Angka})&=\dfrac{1}{2}=0{,}5\\\text{Selisih}&=0{,}575-0{,}5=0{,}075\end{aligned}$$Selisihnya kecil. Dengan percobaan yang lebih banyak, selisih ini cenderung makin mengecil.
Contoh 2.2 - Data pabrik (peluang empiris)
Dari 500 bohlam yang diuji, ditemukan 15 bohlam rusak. Berapa peluang empiris sebuah bohlam rusak?
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}P(\text{rusak})&=f_r=\dfrac{15}{500}\\&=\dfrac{3}{100}=0{,}03=3\%\end{aligned}$$Di sini peluang tidak bisa dihitung dari ruang sampel (bohlam rusak dan baik tidak sama mungkin), sehingga dipakai data pengamatan.
Contoh 2.3 - Tabel hasil lempar dadu
Sebuah dadu dilempar 60 kali dengan hasil berikut.
| Mata dadu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Frekuensi | 8 | 11 | 9 | 12 | 10 | 10 |
Tentukan frekuensi relatif mata 4 dan mata genap, lalu bandingkan dengan peluang teoretis mata genap.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}f_r(4)&=\dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5}\\f(\text{genap})&=11+12+10=33\\f_r(\text{genap})&=\dfrac{33}{60}=\dfrac{11}{20}=0{,}55\\P(\text{genap})&=\dfrac{3}{6}=0{,}5\end{aligned}$$3. Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas
Konsep dasar
Saling lepas
Dua kejadian tidak mungkin terjadi bersamaan. Tidak ada titik sampel yang sama:
$$A\cap B=\emptyset\ \Rightarrow\ P(A\cap B)=0$$Contoh: pada satu lemparan dadu, "muncul genap" dan "muncul ganjil".
Saling bebas
Terjadinya kejadian yang satu tidak memengaruhi peluang kejadian yang lain:
$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$Contoh: hasil lemparan dadu pertama dan hasil lemparan dadu kedua.
Simulator 3A: Uji saling lepas dan saling bebas pada satu dadu
Ruang sampel: \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\). Pilih anggota kejadian A (biru) dan kejadian B (oranye), atau coba contoh siap pakai.
Kejadian A:
Kejadian B:
Simulator 3B: Mengambil dua kelereng, dengan dan tanpa pengembalian
Dalam kantong ada kelereng merah (M) dan biru (B). Dua kelereng diambil satu per satu. Apakah pengambilan ke-2 dipengaruhi pengambilan ke-1?
Contoh 3.1 - Saling lepas (kartu)
Satu kartu diambil dari 52 kartu remi. Misalkan A = terambil As dan B = terambil Raja (King). Apakah A dan B saling lepas? Tentukan P(A atau B).
Lihat penyelesaian
Tidak ada kartu yang sekaligus As dan Raja, jadi \(A\cap B=\emptyset\): saling lepas.
$$\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\\&=\dfrac{4}{52}+\dfrac{4}{52}=\dfrac{8}{52}=\dfrac{2}{13}\end{aligned}$$Contoh 3.2 - Saling bebas (dua dadu)
Dua dadu dilempar. Tentukan peluang dadu pertama muncul genap dan dadu kedua muncul mata 6.
Lihat penyelesaian
Hasil dadu pertama tidak memengaruhi dadu kedua, jadi kejadiannya saling bebas.
$$\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A)\times P(B)\\&=\dfrac{3}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}\end{aligned}$$Cek dengan menghitung langsung: pasangan yang memenuhi adalah (2,6), (4,6), (6,6), yaitu 3 dari 36 pasangan. Hasilnya sama, \(\dfrac{1}{12}\).
Contoh 3.3 - Saling bebas tetapi tidak saling lepas
Satu kartu diambil dari 52 kartu remi. A = terambil As dan B = terambil kartu Hati. Selidiki apakah A dan B saling lepas dan/atau saling bebas.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}A\cap B&=\{\text{As Hati}\}\neq\emptyset\ \Rightarrow\ \text{tidak saling lepas}\\P(A)&=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13},\quad P(B)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\\P(A)\times P(B)&=\dfrac{1}{13}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{52}\\P(A\cap B)&=\dfrac{1}{52}\end{aligned}$$Karena \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\), maka A dan B saling bebas.
Contoh 3.4 - Tidak saling lepas dan tidak saling bebas
Pada satu lemparan dadu, A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}. Selidiki hubungan A dan B.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}A\cap B&=\{3\}\neq\emptyset\ \Rightarrow\ \text{tidak saling lepas}\\P(A)\times P(B)&=\dfrac{3}{6}\times\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{4}\\P(A\cap B)&=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{4}&\neq\dfrac{1}{6}\ \Rightarrow\ \text{tidak saling bebas}\end{aligned}$$4. Peluang Kejadian Majemuk
Konsep dasar
Kejadian majemuk adalah gabungan dari beberapa kejadian, dihubungkan dengan kata "atau" (gabungan, \(\cup\)), "dan" (irisan, \(\cap\)), atau "bukan" (komplemen).
| Jenis | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|
| Komplemen | \(P(A^c)=1-P(A)\) | peluang A tidak terjadi |
| Gabungan (umum) | \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) | irisan dikurangi agar tidak terhitung dua kali |
| Gabungan, saling lepas | \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) | karena \(P(A\cap B)=0\) |
| Irisan, saling bebas | \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) | kejadian tidak saling memengaruhi |
Simulator 4: Diagram Venn dan peluang gabungan
Atur banyak anggota ruang sampel dan kejadian dengan penggeser. Angka pada diagram menunjukkan banyak anggota tiap daerah.
Contoh 4.1 - Komplemen
Peluang hujan besok adalah 0,35. Berapa peluang besok tidak hujan?
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}P(\text{tidak hujan})&=1-P(\text{hujan})\\&=1-0{,}35=0{,}65\end{aligned}$$Contoh 4.2 - Gabungan (tidak saling lepas)
Satu kartu diambil dari 52 kartu remi. Tentukan peluang terambil kartu Hati atau As.
Lihat penyelesaian
A = Hati, B = As. Ada satu kartu yang keduanya (As Hati), jadi \(A\cap B\neq\emptyset\).
$$\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\&=\dfrac{13}{52}+\dfrac{4}{52}-\dfrac{1}{52}\\&=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}\end{aligned}$$Contoh 4.3 - Gabungan (saling lepas)
Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul mata kurang dari 3 atau lebih dari 4.
Lihat penyelesaian
A = {1, 2} dan B = {5, 6}. Tidak ada anggota yang sama, jadi saling lepas.
$$\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\\&=\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\end{aligned}$$Contoh 4.4 - Irisan (saling bebas)
Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul Angka dan mata dadu lebih dari 4.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}P(\text{Angka})&=\dfrac{1}{2},\quad P(\text{mata}>4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\\P(\text{Angka}\cap\text{mata}>4)&=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\end{aligned}$$Contoh 4.5 - Paling sedikit satu
Tiga koin dilempar bersamaan. Tentukan peluang muncul paling sedikit satu Angka.
Lihat penyelesaian
Lawan dari "paling sedikit satu Angka" adalah "tidak ada Angka" (GGG).
$$\begin{aligned}P(\text{GGG})&=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\\P(\text{paling sedikit 1 Angka})&=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}\end{aligned}$$5. Frekuensi Harapan dan Penerapan Kontekstual
Konsep dasar
Frekuensi harapan adalah perkiraan banyaknya kejadian A muncul jika percobaan dilakukan sebanyak \(n\) kali:
$$F_h(A)=n\times P(A)$$- Ini adalah perkiraan (nilai yang diharapkan), bukan jaminan. Hasil nyata bisa sedikit berbeda.
- Jika hasilnya pecahan, dibulatkan sesuai konteks (banyak orang, banyak produk, dan seterusnya).
- Peluang \(P(A)\) bisa berasal dari analisis ruang sampel (teoretis) atau dari data (empiris).
Simulator 5: Berapa yang diharapkan?
Pilih situasi, atur peluang dan banyak percobaan, lalu bandingkan frekuensi harapan dengan hasil simulasi acak.
Contoh 5.1 - Dadu
Sebuah dadu dilempar 90 kali. Tentukan frekuensi harapan muncul (a) mata 6 dan (b) mata genap.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}\text{(a) } F_h&=90\times\dfrac{1}{6}=15\text{ kali}\\\text{(b) } F_h&=90\times\dfrac{3}{6}=45\text{ kali}\end{aligned}$$Contoh 5.2 - Dua koin
Dua koin dilempar bersamaan sebanyak 200 kali. Tentukan frekuensi harapan muncul dua Angka.
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}P(AA)&=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\\F_h&=200\times\dfrac{1}{4}=50\text{ kali}\end{aligned}$$Contoh 5.3 - Produksi pabrik (peluang empiris)
Dari hasil pengujian, peluang sebuah bohlam rusak adalah 0,03. Jika pabrik memproduksi 20.000 bohlam, berapa bohlam yang diperkirakan rusak dan berapa yang baik?
Lihat penyelesaian
$$\begin{aligned}F_h(\text{rusak})&=20.000\times0{,}03=600\\F_h(\text{baik})&=20.000\times(1-0{,}03)\\&=20.000\times0{,}97=19.400\end{aligned}$$Contoh 5.4 - Dua dadu
Dua dadu dilempar bersamaan 108 kali. Tentukan frekuensi harapan jumlah kedua mata kurang dari 5.
Lihat penyelesaian
Jumlah 2: (1,1) 1 cara. Jumlah 3: (1,2),(2,1) 2 cara. Jumlah 4: (1,3),(2,2),(3,1) 3 cara. Total 6 cara.
$$\begin{aligned}P(A)&=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\\F_h&=108\times\dfrac{1}{6}=18\text{ kali}\end{aligned}$$6. Penyelesaian Soal Cerita Kontekstual
Cerita 1 - Undian Bazar Sekolah
Pada bazar sekolah, panitia menyiapkan kotak berisi 40 kupon undian: 4 kupon berhadiah utama, 10 kupon berhadiah hiburan, dan sisanya tidak berhadiah. Rani mengambil satu kupon secara acak. Berapa peluang Rani mendapat hadiah (utama atau hiburan)?
Langkah 1 - Pahami masalah
Satu kupon diambil acak dari 40 kupon. Yang ditanyakan: peluang mendapat hadiah utama atau hiburan.
Langkah 2 - Tentukan S dan kejadian
\(n(S)=40\). Misalkan A = hadiah utama, \(n(A)=4\); B = hadiah hiburan, \(n(B)=10\). Satu kupon tidak mungkin sekaligus utama dan hiburan, jadi A dan B saling lepas.
Langkah 3 - Pilih rumus
Untuk kejadian saling lepas: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
Langkah 4 - Hitung
$$\begin{aligned}P(A)&=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}\\P(B)&=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}\\P(A\cup B)&=\dfrac{4}{40}+\dfrac{10}{40}=\dfrac{14}{40}=\dfrac{7}{20}\end{aligned}$$Langkah 5 - Tafsirkan
Peluang Rani mendapat hadiah adalah \(\dfrac{7}{20}=0{,}35=35\%\). Artinya, dari 100 orang yang mengambil kupon, sekitar 35 orang mendapat hadiah.
Cerita 2 - Prakiraan Cuaca Akhir Pekan
Peluang hujan pada hari Sabtu adalah 0,3 dan pada hari Minggu adalah 0,4. Anggap hujan kedua hari saling bebas. Tentukan peluang (a) hujan pada kedua hari, (b) hujan paling sedikit satu hari, (c) tidak hujan sama sekali.
Langkah 1 - Pahami masalah
Ada dua kejadian: hujan Sabtu dan hujan Minggu. Diketahui keduanya saling bebas. Ada tiga hal yang ditanyakan: "dan", "atau (paling sedikit satu)", dan "tidak sama sekali".
Langkah 2 - Tentukan kejadian
A = hujan hari Sabtu, \(P(A)=0{,}3\). B = hujan hari Minggu, \(P(B)=0{,}4\). Saling bebas, sehingga \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).
Langkah 3 - Pilih rumus
(a) irisan saling bebas; (b) gabungan umum \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\); (c) komplemen dari gabungan.
Langkah 4 - Hitung
$$\begin{aligned}\text{(a) } P(A\cap B)&=0{,}3\times0{,}4=0{,}12\\\text{(b) } P(A\cup B)&=0{,}3+0{,}4-0{,}12=0{,}58\\\text{(c) } P((A\cup B)^c)&=1-0{,}58=0{,}42\end{aligned}$$Cek (c) langsung: \((1-0{,}3)\times(1-0{,}4)=0{,}7\times0{,}6=0{,}42\). Hasilnya sama.
Langkah 5 - Tafsirkan
Peluang hujan di kedua hari hanya 12%, tetapi peluang hujan setidaknya sekali selama akhir pekan cukup besar, yaitu 58%.
Cerita 3 - Survei Ekstrakurikuler
Di suatu kelas terdapat 36 siswa. Sebanyak 20 siswa suka basket, 15 siswa suka voli, dan 7 siswa suka keduanya. Seorang siswa dipilih acak. Tentukan peluang siswa itu (a) suka basket atau voli, (b) tidak suka keduanya, (c) hanya suka basket.
Langkah 1 - Pahami masalah
Data berupa banyak siswa untuk tiap kelompok. Ada siswa yang termasuk dua kelompok sekaligus (7 orang), jadi tidak boleh dijumlahkan begitu saja.
Langkah 2 - Tentukan S dan kejadian
\(n(S)=36\). A = suka basket, \(n(A)=20\). B = suka voli, \(n(B)=15\). \(n(A\cap B)=7\).
Langkah 3 - Pilih rumus
Gabungan umum: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Untuk "tidak keduanya" pakai komplemen. Untuk "hanya basket" gunakan \(n(A)-n(A\cap B)\).
Langkah 4 - Hitung
$$\begin{aligned}\text{(a) } P(A\cup B)&=\dfrac{20}{36}+\dfrac{15}{36}-\dfrac{7}{36}=\dfrac{28}{36}=\dfrac{7}{9}\\\text{(b) } P((A\cup B)^c)&=1-\dfrac{7}{9}=\dfrac{2}{9}\\\text{(c) } P(\text{hanya basket})&=\dfrac{20-7}{36}=\dfrac{13}{36}\end{aligned}$$Langkah 5 - Tafsirkan
Ada 28 siswa yang suka basket atau voli, dan 8 siswa tidak suka keduanya (\(\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}\), cocok dengan hasil komplemen).
Cerita 4 - Adu Penalti Futsal
Peluang Andi mencetak gol dari penalti adalah 0,8 dan peluang Budi adalah 0,7. Keduanya menendang secara bergantian dan saling bebas. Tentukan peluang (a) keduanya mencetak gol, (b) tepat satu yang mencetak gol, (c) paling sedikit satu yang mencetak gol.
Langkah 1 - Pahami masalah
Dua penendang dengan peluang berbeda dan saling bebas. Perhatikan frasa "tepat satu": ada dua kemungkinan (Andi gol, Budi gagal) atau (Andi gagal, Budi gol).
Langkah 2 - Tentukan kejadian
A = Andi gol, \(P(A)=0{,}8\), \(P(A^c)=0{,}2\). B = Budi gol, \(P(B)=0{,}7\), \(P(B^c)=0{,}3\).
Langkah 3 - Pilih rumus
Irisan saling bebas; "tepat satu" = jumlah dua kejadian saling lepas; "paling sedikit satu" = 1 dikurangi peluang keduanya gagal.
Langkah 4 - Hitung
$$\begin{aligned}\text{(a) } P(A\cap B)&=0{,}8\times0{,}7=0{,}56\\\text{(b) } P(\text{tepat satu})&=(0{,}8\times0{,}3)+(0{,}2\times0{,}7)\\&=0{,}24+0{,}14=0{,}38\\\text{(c) } P(\text{paling sedikit satu})&=1-(0{,}2\times0{,}3)\\&=1-0{,}06=0{,}94\end{aligned}$$Langkah 5 - Tafsirkan
Pemeriksaan: keduanya gol (0,56) + tepat satu gol (0,38) + keduanya gagal (0,06) = 1. Semua kemungkinan sudah terhitung.
Cerita 5 - Kontrol Mutu Lampu LED
Pabrik lampu menguji 400 lampu dan menemukan 12 lampu mati. (a) Berapa peluang empiris sebuah lampu mati? (b) Jika pabrik memproduksi 15.000 lampu, berapa lampu yang diperkirakan mati? (c) Dua lampu dipilih acak (saling bebas), berapa peluang keduanya menyala?
Langkah 1 - Pahami masalah
Peluang tidak bisa ditebak dari ruang sampel, jadi peluangnya diambil dari data pengujian (peluang empiris), lalu dipakai untuk memperkirakan banyak lampu rusak (frekuensi harapan).
Langkah 2 - Tentukan data
\(n=400\), \(f(\text{mati})=12\). Produksi total 15.000 lampu.
Langkah 3 - Pilih rumus
(a) \(f_r=\dfrac{f}{n}\); (b) \(F_h=n\times P\); (c) komplemen, lalu irisan saling bebas.
Langkah 4 - Hitung
$$\begin{aligned}\text{(a) } P(\text{mati})&=\dfrac{12}{400}=0{,}03\\\text{(b) } F_h&=15.000\times0{,}03=450\\\text{(c) } P(\text{menyala})&=1-0{,}03=0{,}97\\P(\text{keduanya menyala})&=0{,}97\times0{,}97=0{,}9409\end{aligned}$$Langkah 5 - Tafsirkan
Dari 15.000 lampu, kira-kira 450 lampu mati. Peluang dua lampu yang dipilih keduanya menyala sekitar 94,09%.
Cerita 6 - Roda Keberuntungan Pasar Malam
Sebuah roda dibagi menjadi 12 sektor sama besar: 2 sektor hadiah sepeda, 4 sektor hadiah boneka, dan 6 sektor tidak berhadiah. Dalam semalam ada 180 pemain yang memutar roda. (a) Berapa pemain yang diharapkan mendapat sepeda? (b) Berapa pemain yang diharapkan mendapat hadiah apa pun? (c) Jika harga sepeda Rp600.000 dan boneka Rp50.000, berapa perkiraan biaya hadiah semalam?
Langkah 1 - Pahami masalah
Setiap putaran punya peluang tetap, dan ada 180 putaran. Ini soal frekuensi harapan, lalu dikalikan nilai hadiah.
Langkah 2 - Tentukan S dan kejadian
\(n(S)=12\). A = sepeda, \(n(A)=2\). B = boneka, \(n(B)=4\). Satu putaran tidak bisa menghasilkan dua hadiah, jadi A dan B saling lepas.
Langkah 3 - Pilih rumus
\(F_h=n\times P\). Untuk "hadiah apa pun" gunakan \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) karena saling lepas.
Langkah 4 - Hitung
$$\begin{aligned}\text{(a) } F_h(A)&=180\times\dfrac{2}{12}=30\\\text{(b) } P(A\cup B)&=\dfrac{2}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{2}\\F_h&=180\times\dfrac{1}{2}=90\\\text{(c) } F_h(B)&=180\times\dfrac{4}{12}=60\\\text{Biaya}&=30\times600.000+60\times50.000\\&=18.000.000+3.000.000=21.000.000\end{aligned}$$Langkah 5 - Tafsirkan
Dalam semalam diperkirakan 30 sepeda dan 60 boneka dibagikan, dengan biaya sekitar Rp21.000.000. Hasil nyata bisa sedikit berbeda karena sifatnya perkiraan.
7. Latihan: 8 Soal Pemantik
Soal 1 - Ruang sampel (tiga koin)
Tiga koin dilempar bersamaan. (a) Tentukan n(S). (b) Tentukan peluang muncul paling sedikit dua Gambar.
Lihat pembahasan
$$\begin{aligned}\text{(a) } n(S)&=2\times2\times2=8\\\text{(b) } A&=\{GGG,GGA,GAG,AGG\}\\n(A)&=4\\P(A)&=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$$Soal 2 - Dua dadu
Dua dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang jumlah kedua mata dadu lebih dari 8.
Lihat pembahasan
Jumlah 9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) = 4 cara. Jumlah 10: (4,6),(5,5),(6,4) = 3 cara. Jumlah 11: (5,6),(6,5) = 2 cara. Jumlah 12: (6,6) = 1 cara.
$$\begin{aligned}n(A)&=4+3+2+1=10\\n(S)&=36\\P(A)&=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}\end{aligned}$$Soal 3 - Frekuensi relatif
Sebuah dadu dilempar 150 kali dengan hasil: mata 1 muncul 22 kali, mata 2 muncul 27 kali, mata 3 muncul 24 kali, mata 4 muncul 26 kali, mata 5 muncul 28 kali, dan mata 6 muncul 23 kali. (a) Tentukan frekuensi relatif mata 5. (b) Berapa selisihnya dengan peluang teoretis mata 5? (c) Apa yang terjadi pada selisih itu jika dadu dilempar 3.000 kali?
Lihat pembahasan
$$\begin{aligned}\text{(a) } f_r(5)&=\dfrac{28}{150}=\dfrac{14}{75}\approx0{,}187\\\text{(b) } P(5)&=\dfrac{1}{6}\approx0{,}167\\\text{Selisih}&=\dfrac{28}{150}-\dfrac{25}{150}=\dfrac{3}{150}=0{,}02\end{aligned}$$(c) Dengan percobaan yang jauh lebih banyak, frekuensi relatif cenderung semakin mendekati \(\dfrac{1}{6}\), sehingga selisihnya biasanya makin kecil.
Soal 4 - Saling lepas
Satu kartu diambil dari 52 kartu remi. Tentukan peluang terambil kartu As atau kartu bergambar (J, Q, K).
Lihat pembahasan
Kartu As tidak termasuk kartu bergambar, jadi kedua kejadian saling lepas.
$$\begin{aligned}P(\text{As}\cup\text{gambar})&=P(\text{As})+P(\text{gambar})\\&=\dfrac{4}{52}+\dfrac{12}{52}\\&=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}\end{aligned}$$Soal 5 - Saling bebas
Dua dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang dadu pertama muncul bilangan prima dan dadu kedua muncul kelipatan 3.
Lihat pembahasan
$$\begin{aligned}P(\text{prima})&=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\quad(2,3,5)\\P(\text{kelipatan }3)&=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\quad(3,6)\\P(\text{keduanya})&=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\end{aligned}$$Soal 6 - Kejadian majemuk (Venn)
Dari 40 siswa, 24 siswa ikut Pramuka, 18 siswa ikut PMR, dan 8 siswa ikut keduanya. Seorang siswa dipilih acak. Tentukan peluang siswa itu (a) ikut paling sedikit satu kegiatan, (b) tidak ikut keduanya, (c) hanya ikut Pramuka.
Lihat pembahasan
$$\begin{aligned}\text{(a) } P(P\cup M)&=\dfrac{24}{40}+\dfrac{18}{40}-\dfrac{8}{40}=\dfrac{34}{40}=\dfrac{17}{20}\\\text{(b) } P((P\cup M)^c)&=1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}\\\text{(c) } P(\text{hanya Pramuka})&=\dfrac{24-8}{40}=\dfrac{16}{40}=\dfrac{2}{5}\end{aligned}$$Soal 7 - Komplemen ("paling sedikit satu")
Peluang seorang pemanah mengenai sasaran pada setiap anak panah adalah 0,8. Ia memanah 3 kali dan setiap tembakan saling bebas. Tentukan peluang ia mengenai sasaran paling sedikit satu kali.
Lihat pembahasan
$$\begin{aligned}P(\text{meleset})&=1-0{,}8=0{,}2\\P(\text{meleset 3 kali})&=0{,}2\times0{,}2\times0{,}2=0{,}008\\P(\text{paling sedikit 1 kena})&=1-0{,}008=0{,}992\end{aligned}$$Soal 8 - Frekuensi harapan
Dua dadu dilempar bersamaan sebanyak 360 kali. Tentukan frekuensi harapan muncul jumlah mata dadu 7 atau 11.
Lihat pembahasan
Jumlah 7 ada 6 cara, jumlah 11 ada 2 cara. Kedua kejadian saling lepas (satu lemparan tidak mungkin berjumlah 7 sekaligus 11).
$$\begin{aligned}P(7\cup11)&=\dfrac{6}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}\\F_h&=360\times\dfrac{2}{9}=80\text{ kali}\end{aligned}$$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar