Peluang tidak hanya soal melempar dadu atau koin. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi dua kejadian sekaligus, misalnya hujan dan macet, atau siswa yang suka kimia dan ikut klub sains. Pada simulasi ini, kamu akan belajar menghitung peluang gabungan, irisan, dan komplemen, membedakan kejadian saling lepas dan saling bebas, memahami peluang bersyarat, serta memperkirakan banyaknya kejadian lewat frekuensi harapan. Geser slider, ubah angkanya, dan amati sendiri bagaimana hasilnya berubah.
Matematika Wajib Kelas 12. Pilih subtopik, geser slider, ubah angka, lalu amati hasilnya.
Peluang gabungan, irisan, dan komplemen
Kejadian majemuk dibentuk dari dua kejadian \(A\) dan \(B\). Gabungan \(A\cup B\) berarti A atau B terjadi. Irisan \(A\cap B\) berarti A dan B terjadi bersamaan. Komplemen \(A^c\) berarti A tidak terjadi.
Contoh
Contoh 1: Survei ekskul (diagram Venn)
Dari 40 siswa, 22 mengikuti Pramuka, 18 mengikuti PMR, dan 8 mengikuti keduanya. Jika satu siswa dipilih acak, tentukan peluang ia mengikuti Pramuka atau PMR.
$$\begin{aligned}P(A)&=\tfrac{22}{40},\ P(B)=\tfrac{18}{40},\ P(A\cap B)=\tfrac{8}{40}\\P(A\cup B)&=\tfrac{22}{40}+\tfrac{18}{40}-\tfrac{8}{40}\\&=\tfrac{32}{40}=\tfrac{4}{5}\end{aligned}$$Contoh 2: Komplemen
Peluang hujan besok 0,35. Peluang tidak hujan:
$$\begin{aligned}P(H^c)&=1-P(H)\\&=1-0{,}35\\&=0{,}65\end{aligned}$$Contoh 3: Tabel dua dadu
Dua dadu dilempar. A: jumlah mata 7, B: kedua mata sama. Peluang A atau B?
$$\begin{aligned}n(S)&=36,\ n(A)=6,\ n(B)=6,\ n(A\cap B)=0\\P(A\cup B)&=\tfrac{6}{36}+\tfrac{6}{36}-0\\&=\tfrac{12}{36}=\tfrac13\end{aligned}$$Saling lepas dan saling bebas
Saling lepas: A dan B tidak mungkin terjadi bersamaan, sehingga \(P(A\cap B)=0\). Saling bebas: terjadinya A tidak mempengaruhi peluang B.
Saling bebas: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
Perhatian: dua kejadian yang peluangnya tidak nol dan saling lepas pasti tidak saling bebas, karena jika A terjadi maka B pasti tidak terjadi.
Contoh
Contoh 1: Saling lepas
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 biru, dan 2 hijau. Satu bola diambil. Peluang merah atau biru?
$$\begin{aligned}P(M\cup B)&=P(M)+P(B)\\&=\tfrac{5}{10}+\tfrac{3}{10}\\&=\tfrac{4}{5}\end{aligned}$$Contoh 2: Saling bebas
Peluang Ani lulus tes motor 0,8 dan Budi 0,7, keduanya tes terpisah. Peluang keduanya lulus, dan peluang paling sedikit satu lulus:
$$\begin{aligned}P(A\cap B)&=0{,}8\times0{,}7=0{,}56\\P(A\cup B)&=0{,}8+0{,}7-0{,}56\\&=0{,}94\end{aligned}$$Contoh 3: Dari informasi peluang
\(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cup B)=0{,}7\). Apa hubungan A dan B?
$$\begin{aligned}P(A\cap B)&=0{,}4+0{,}5-0{,}7=0{,}2\\P(A)P(B)&=0{,}4\times0{,}5=0{,}2\end{aligned}$$Karena \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), A dan B saling bebas (dan tidak saling lepas).
Peluang bersyarat
Peluang A jika B sudah diketahui terjadi. Ruang sampel "menyempit" menjadi B saja.
Jika A dan B saling bebas: \(P(A\mid B)=P(A)\)
| B: ikut klub sains | Bc: tidak ikut | |
|---|---|---|
| A: suka kimia | ||
| Ac: tidak suka |
Contoh
Contoh 1: Dari peluang gabungan
\(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}3\). Tentukan \(P(A\mid B)\) dan \(P(B\mid A)\).
$$\begin{aligned}P(A\mid B)&=\tfrac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6\\P(B\mid A)&=\tfrac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5\end{aligned}$$Hasilnya sama dengan \(P(A)\) dan \(P(B)\), jadi A dan B saling bebas.
Contoh 2: Dua dadu
Dua dadu dilempar. Jika diketahui jumlah mata 8, berapa peluang kedua mata sama?
$$\begin{aligned}B&=\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\},\ n(B)=5\\A\cap B&=\{(4,4)\}\\P(A\mid B)&=\tfrac{1}{5}\end{aligned}$$Contoh 3: Dengan kaidah pencacahan
Kantong berisi 5 bola merah dan 3 biru. Dua bola diambil sekaligus. Jika diketahui paling sedikit satu bola merah, peluang keduanya merah?
$$\begin{aligned}n(S)&=C(8,2)=28\\B&=\text{paling sedikit 1 merah}=28-C(3,2)=25\\A\cap B&=\text{keduanya merah}=C(5,2)=10\\P(A\mid B)&=\tfrac{10}{25}=\tfrac25\end{aligned}$$Frekuensi harapan
Perkiraan banyaknya kejadian A jika percobaan dilakukan \(n\) kali.
Contoh
Contoh 1: Dadu
Sebuah dadu dilempar 60 kali. Berapa frekuensi harapan muncul mata genap atau lebih dari 4?
$$\begin{aligned}A&=\{2,4,5,6\},\ P(A)=\tfrac46=\tfrac23\\F_h&=60\times\tfrac23\\&=40\end{aligned}$$Contoh 2: Estimasi nyata
Peluang siswa lulus teori 0,8 dan praktik 0,75 (saling bebas). Dari 200 siswa, berapa diperkirakan lulus keduanya?
$$\begin{aligned}P(T\cap P)&=0{,}8\times0{,}75=0{,}6\\F_h&=200\times0{,}6=120\end{aligned}$$Sekitar 120 siswa. Ini perkiraan, hasil sebenarnya bisa sedikit berbeda.
8 Soal Pemancing
Coba kerjakan dulu, lalu buka pembahasannya.
Pembahasan
$$\begin{aligned}P(A\cap B)&=0{,}5+0{,}4-0{,}7=0{,}2\\P((A\cup B)^c)&=1-0{,}7=0{,}3\end{aligned}$$Pembahasan
$$\begin{aligned}n(A\cup B)&=40-6=34\\n(A\cap B)&=25+18-34=9\\P&=\tfrac{9}{40}\end{aligned}$$Pembahasan
$$\begin{aligned}P(A\cap B)&=0{,}3\times0{,}5=0{,}15\\P(A\cup B)&=0{,}3+0{,}5-0{,}15\\&=0{,}65\end{aligned}$$Pembahasan
$$\begin{aligned}P(A\cap B)&=0{,}3\neq0\ \Rightarrow\ \text{tidak saling lepas}\\P(A)P(B)&=0{,}6\times0{,}5=0{,}3=P(A\cap B)\ \Rightarrow\ \text{saling bebas}\end{aligned}$$Pembahasan
$$\begin{aligned}n(B)&=12+15=27\\P(L\mid B)&=\tfrac{12}{27}\\&=\tfrac49\end{aligned}$$Pembahasan
$$\begin{aligned}P(A\mid B)&=\tfrac{0{,}24}{0{,}6}=0{,}4\end{aligned}$$Sama dengan \(P(A)\), jadi A dan B saling bebas.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar