Matriks

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom, dan sering dipakai untuk merapikan data serta menyelesaikan masalah sehari-hari, misalnya mencatat penjualan toko atau menentukan harga barang dari beberapa transaksi.

Pada simulasi interaktif ini, kamu akan mempelajari ordo dan notasi matriks, jenis-jenis matriks, transpose, operasi hitung, determinan dan invers, hingga penerapannya dalam menyelesaikan sistem persamaan linear melalui soal cerita. Ubah angka pada setiap kotak simulasi, amati hasilnya, lalu uji pemahamanmu lewat 8 soal latihan di bagian akhir.

Matriks: Simulasi Interaktif

Pelajari matriks langkah demi langkah. Pilih topik di bawah, baca konsepnya, lalu coba ubah angka pada kotak simulasi dan perhatikan hasilnya.

Pengertian, Notasi, dan Ordo

Matriks adalah susunan bilangan (disebut elemen) berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris (mendatar) dan kolom (tegak), diapit tanda kurung. Matriks dinamai huruf kapital, misalnya \(A\). Elemen pada baris ke-\(i\) kolom ke-\(j\) ditulis \(a_{ij}\). Matriks dengan \(m\) baris dan \(n\) kolom memiliki ordo \(m\times n\). $$A_{m\times n}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$

Contoh 1. Diberikan \(A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 4\\0 & 3 & 5\end{bmatrix}\). Ada 2 baris dan 3 kolom, sehingga ordo \(A\) adalah \(2\times3\) dengan 6 elemen. Elemen \(a_{12}=-1\) (baris 1, kolom 2) dan \(a_{23}=5\) (baris 2, kolom 3).

Contoh 2 (kontekstual). Toko kue mencatat penjualan: Senin 12 roti dan 8 donat, Selasa 15 roti dan 10 donat, Rabu 9 roti dan 14 donat. Dengan baris = hari dan kolom = jenis kue: $$P=\begin{bmatrix}12 & 8\\15 & 10\\9 & 14\end{bmatrix}$$ Ordo \(P\) adalah \(3\times2\). Elemen \(p_{32}=14\) artinya pada hari ke-3 (Rabu) terjual 14 donat.

Simulasi: Ordo dan Elemen

Baris (m): 1234 Kolom (n): 1234 tampilkan notasi \(a_{ij}\)

Jenis-Jenis Matriks

Matriks Baris

hanya 1 baris (ordo \(1\times n\))

\(\begin{bmatrix}3 & -1 & 5\end{bmatrix}\)

Matriks Kolom

hanya 1 kolom (ordo \(m\times1\))

\(\begin{bmatrix}2\\0\\-4\end{bmatrix}\)

Matriks Persegi

banyak baris = banyak kolom

\(\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\)

Matriks Nol

semua elemen 0

\(\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\)

Matriks Diagonal

persegi; elemen di luar diagonal utama 0

\(\begin{bmatrix}5 & 0 & 0\\0 & -2 & 0\\0 & 0 & 3\end{bmatrix}\)

Matriks Skalar

diagonal dengan elemen diagonal sama

\(\begin{bmatrix}4 & 0\\0 & 4\end{bmatrix}\)

Matriks Identitas (\(I\))

skalar dengan diagonal 1

\(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

Segitiga Atas

elemen di bawah diagonal utama 0

\(\begin{bmatrix}2 & 3 & 1\\0 & 4 & 5\\0 & 0 & 6\end{bmatrix}\)

Segitiga Bawah

elemen di atas diagonal utama 0

\(\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\3 & 4 & 0\\1 & 5 & 6\end{bmatrix}\)

Matriks Simetris

persegi dengan \(a_{ij}=a_{ji}\)

\(\begin{bmatrix}1 & 7 & 2\\7 & 3 & -4\\2 & -4 & 5\end{bmatrix}\)

Simulasi: Detektor Jenis Matriks

Baris: 123 Kolom: 123

Isi elemen sesuka hati. Satu matriks bisa termasuk lebih dari satu jenis.

Transpose Matriks

Transpose dari \(A\), ditulis \(A^t\), diperoleh dengan mengubah baris menjadi kolom (baris ke-\(i\) menjadi kolom ke-\(i\)). Jika \(A\) berordo \(m\times n\), maka \(A^t\) berordo \(n\times m\). Sifat: \((A^t)^t=A\), \((A+B)^t=A^t+B^t\), \((kA)^t=kA^t\), \((AB)^t=B^tA^t\).

Contoh. $$A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\4 & 0 & 5\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ A^t=\begin{bmatrix}1 & 4\\-2 & 0\\3 & 5\end{bmatrix}$$ Ordo \(A=2\times3\), ordo \(A^t=3\times2\).

Simulasi: Transpose

Baris: 123 Kolom: 123

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks \(A\) dan \(B\) sama (\(A=B\)) jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh. Tentukan \(x\) dan \(y\) jika \(\begin{bmatrix}x+y & 3\\4 & x-y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 & 3\\4 & 1\end{bmatrix}\). $$\begin{aligned}x+y&=7\\x-y&=1\\\hline 2x&=8\Rightarrow x=4,\ y=3\end{aligned}$$

Simulasi: Apakah A = B?

Operasi Hitung Matriks

Penjumlahan/pengurangan hanya bisa jika ordonya sama: jumlahkan/kurangkan elemen seletak. Perkalian skalar \(kA\): kalikan setiap elemen dengan \(k\). Perkalian \(A_{m\times n}\cdot B_{p\times q}\) hanya bisa jika \(n=p\) (kolom \(A\) = baris \(B\)), hasilnya berordo \(m\times q\). Elemen \(c_{ij}\) = baris ke-\(i\) dari \(A\) dikalikan kolom ke-\(j\) dari \(B\), lalu dijumlahkan. Sifat: \(AB\neq BA\) (umumnya), \(A(BC)=(AB)C\), \(A(B+C)=AB+AC\), \(AI=IA=A\).

Contoh 1. Jika \(A=\begin{bmatrix}2 & -1\\3 & 4\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}1 & 5\\-2 & 0\end{bmatrix}\): $$\begin{aligned}A+B&=\begin{bmatrix}2+1 & -1+5\\3+(-2) & 4+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4\\1 & 4\end{bmatrix}\\A-B&=\begin{bmatrix}2-1 & -1-5\\3-(-2) & 4-0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -6\\5 & 4\end{bmatrix}\\3A&=\begin{bmatrix}6 & -3\\9 & 12\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Contoh 2. \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\0 & -1 & 4\end{bmatrix}_{2\times3}\), \(B=\begin{bmatrix}2 & 1\\0 & 3\\-1 & 2\end{bmatrix}_{3\times2}\). Kolom \(A\) = baris \(B\) = 3, jadi \(AB\) berordo \(2\times2\). $$\begin{aligned}AB&=\begin{bmatrix}1\cdot2+2\cdot0+3\cdot(-1) & 1\cdot1+2\cdot3+3\cdot2\\0\cdot2+(-1)\cdot0+4\cdot(-1) & 0\cdot1+(-1)\cdot3+4\cdot2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}-1 & 13\\-4 & 5\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Contoh 3 (kontekstual). Toko A menjual 10 buku dan 5 pulpen, Toko B menjual 8 buku dan 6 pulpen. Harga buku Rp4.000 dan pulpen Rp2.000 (dalam ribuan: 4 dan 2). Pendapatan tiap toko: $$\begin{bmatrix}10 & 5\\8 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\cdot4+5\cdot2\\8\cdot4+6\cdot2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}50\\44\end{bmatrix}$$ Pendapatan Toko A Rp50.000 dan Toko B Rp44.000.

Simulasi: Kalkulator Operasi Matriks

Ordo: 23 k =

A = B =

Pada perkalian, klik sebuah elemen hasil untuk melihat cara menghitungnya. Bandingkan A×B dengan B×A!

Determinan dan Invers Matriks

Untuk \(A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\): determinan \(\det A=ad-bc\). Invers \(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\), dengan syarat \(\det A\neq0\). Jika \(\det A=0\), \(A\) disebut matriks singular dan tidak punya invers. Sifat: \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\), \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\), \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

Contoh 1. Tentukan invers \(A=\begin{bmatrix}4 & 3\\2 & 2\end{bmatrix}\). $$\begin{aligned}\det A&=4\cdot2-3\cdot2=2\\A^{-1}&=\frac12\begin{bmatrix}2 & -3\\-2 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -\frac32\\-1 & 2\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Simulasi: Determinan dan Invers 2×2

A =

Determinan Matriks 3×3 (Aturan Sarrus)

Tulis ulang dua kolom pertama di sebelah kanan, jumlahkan hasil kali diagonal turun (↘), kurangi jumlah hasil kali diagonal naik (↗). $$\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{vmatrix}=(aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)$$ Contoh 2. $$\begin{aligned}\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\3 & 1 & 2\\0 & -1 & 4\end{vmatrix}&=(1\cdot1\cdot4+2\cdot2\cdot0+0\cdot3\cdot(-1))-(0\cdot1\cdot0+1\cdot2\cdot(-1)+2\cdot3\cdot4)\\&=(4+0+0)-(0-2+24)\\&=4-22=-18\end{aligned}$$

Simulasi: Determinan 3×3

A =

Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Sistem \(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\) dapat ditulis \(\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\) atau \(AX=B\). Jika \(\det A\neq0\), maka \(X=A^{-1}B\). Secara geometri, penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis.

Contoh. Selesaikan \(2x+y=7\) dan \(x+3y=11\). $$\begin{aligned}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}7\\11\end{bmatrix}=\frac15\begin{bmatrix}3 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7\\11\end{bmatrix}\\&=\frac15\begin{bmatrix}10\\15\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\end{aligned}$$ Jadi \(x=2\) dan \(y=3\).

Simulasi: Soal Cerita → Model Matriks → Penyelesaian

Pilih soal:

Matriks augmentasi \([A\,|\,B]\):

8 Soal Pemancing dan Pembahasan

Kerjakan dulu di kertas, baru buka pembahasannya.

Soal 1. Diketahui \(A=\begin{bmatrix}5 & -2 & 7 & 1\\0 & 3 & -4 & 6\\8 & 9 & 2 & -5\end{bmatrix}\). Tentukan ordo \(A\), banyak elemennya, dan nilai \(a_{23}+a_{34}\). Pemancing: jangan tertukar baris dan kolom!

Pembahasan

Ada 3 baris dan 4 kolom, jadi ordo \(3\times4\) dengan \(3\times4=12\) elemen. \(a_{23}\) = baris 2 kolom 3 = \(-4\), \(a_{34}\) = baris 3 kolom 4 = \(-5\). $$a_{23}+a_{34}=-4+(-5)=-9$$

Soal 2. Jika \(\begin{bmatrix}2x & y-1\\3 & x+y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 4\\3 & 8\end{bmatrix}\), tentukan \(x\) dan \(y\).

Pembahasan

$$\begin{aligned}2x=6&\Rightarrow x=3\\y-1=4&\Rightarrow y=5\\\text{Cek: }x+y&=3+5=8\ (\text{sesuai})\end{aligned}$$ Jadi \(x=3\) dan \(y=5\).

Soal 3. Diketahui \(A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}0 & 1\\-1 & 2\end{bmatrix}\). Tentukan \((AB)^t\). Pemancing: \((AB)^t\neq A^tB^t\).

Pembahasan

$$\begin{aligned}AB&=\begin{bmatrix}1\cdot0+2\cdot(-1) & 1\cdot1+2\cdot2\\3\cdot0+4\cdot(-1) & 3\cdot1+4\cdot2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & 5\\-4 & 11\end{bmatrix}\\(AB)^t&=\begin{bmatrix}-2 & -4\\5 & 11\end{bmatrix}\end{aligned}$$ Cek dengan \(B^tA^t=\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3\\2 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & -4\\5 & 11\end{bmatrix}\) (sama).

Soal 4. Jika \(A=\begin{bmatrix}3 & 1\\-2 & 4\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}1 & 0\\5 & -2\end{bmatrix}\), tentukan \(2A-3B\).

Pembahasan

$$\begin{aligned}2A-3B&=\begin{bmatrix}6 & 2\\-4 & 8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3 & 0\\15 & -6\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}3 & 2\\-19 & 14\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Soal 5. Diketahui \(A=\begin{bmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}1 & 0\\3 & 1\end{bmatrix}\). Apakah \(AB=BA\)? Pemancing: banyak yang menjawab "pasti sama".

Pembahasan

$$\begin{aligned}AB&=\begin{bmatrix}1+6 & 0+2\\3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 & 2\\3 & 1\end{bmatrix}\\BA&=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 6+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 7\end{bmatrix}\end{aligned}$$ Ternyata \(AB\neq BA\): perkalian matriks tidak komutatif.

Soal 6. Hitung \(\det A\) untuk \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\\0 & -1 & 2\\1 & 4 & 0\end{bmatrix}\).

Pembahasan

$$\begin{aligned}\det A&=(2\cdot(-1)\cdot0+1\cdot2\cdot1+3\cdot0\cdot4)-(3\cdot(-1)\cdot1+2\cdot2\cdot4+1\cdot0\cdot0)\\&=(0+2+0)-(-3+16+0)\\&=2-13=-11\end{aligned}$$

Soal 7. Matriks \(A=\begin{bmatrix}k & 4\\2 & k+2\end{bmatrix}\) tidak memiliki invers. Tentukan nilai \(k\). Pemancing: ada dua nilai \(k\).

Pembahasan

Tidak punya invers berarti \(\det A=0\). $$\begin{aligned}k(k+2)-4\cdot2&=0\\k^2+2k-8&=0\\(k+4)(k-2)&=0\end{aligned}$$ Jadi \(k=-4\) atau \(k=2\).

Soal 8. Dina membeli 3 pensil dan 2 buku seharga Rp19.000. Eka membeli 2 pensil dan 5 buku seharga Rp31.000. Berapa harga 4 pensil dan 3 buku? Pemancing: yang ditanya bukan harga satuan!

Pembahasan

Misalkan \(x\) = harga pensil dan \(y\) = harga buku (dalam ribuan rupiah). $$\begin{aligned}\begin{bmatrix}3 & 2\\2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}19\\31\end{bmatrix}\\\det&=15-4=11\\\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&=\frac1{11}\begin{bmatrix}5 & -2\\-2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}19\\31\end{bmatrix}=\frac1{11}\begin{bmatrix}33\\55\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}\end{aligned}$$ Pensil Rp3.000 dan buku Rp5.000. Harga 4 pensil dan 3 buku: \(4(3000)+3(5000)=12.000+15.000=\) Rp27.000.