Lingkaran (Pengantar)

Lingkaran adalah salah satu bangun datar yang paling sering kita temui, mulai dari roda kendaraan, jam dinding, hingga potongan pizza. Pada simulasi interaktif ini, kamu akan mempelajari unsur-unsur dan teorema lingkaran, busur dan juring, garis singgung, serta tali busur dan segiempat siklik. Geser titik, atur slider, dan amati perubahan sudut maupun panjangnya secara langsung sehingga konsep yang awalnya abstrak menjadi lebih mudah dipahami. Setiap subtopik dilengkapi contoh soal, soal cerita, dan pembahasan, lalu ditutup dengan 8 soal latihan untuk menguji pemahamanmu.

Simulasi interaktif Matematika Wajib Kelas 11 SMA. Geser titik merah pada gambar, atur slider, lalu amati angka-angkanya. Tiap subtopik berisi konsep, simulasi, contoh soal, dan soal cerita.

Cara memakai: pilih tab materi di bawah. Titik berlingkaran merah dapat digeser (dengan mouse atau jari). Tombol "Lihat penyelesaian" membuka pembahasan langkah demi langkah.

A.1 Unsur-unsur Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan semua titik pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap. Titik tetap itu disebut titik pusat (O), dan jarak tetapnya disebut jari-jari (r). Diameter (d) adalah tali busur yang melalui pusat, sehingga \(d=2r\).

Pilih unsur yang ingin dilihat:

Geser titik A dan B pada lingkaran, lalu amati perubahan tiap unsur.

Contoh soal

Contoh 1

Diameter sebuah lingkaran 24 cm. Tentukan jari-jari dan panjang tali busur terpanjang.

$$\begin{aligned}r&=\tfrac12 d=\tfrac12\times 24=12\text{ cm}\end{aligned}$$ Tali busur terpanjang adalah diameter, yaitu 24 cm.

Contoh 2

Lingkaran berjari-jari 6 cm. Mungkinkah terdapat tali busur sepanjang 13 cm?

$$\begin{aligned}d&=2r=2\times 6=12\text{ cm}\end{aligned}$$ Tali busur terpanjang adalah diameter (12 cm). Karena \(13>12\), tali busur 13 cm tidak mungkin ada.

Contoh 3

Sebutkan nama daerah yang (a) dibatasi dua jari-jari dan satu busur, (b) dibatasi satu tali busur dan satu busur.

(a) Juring, seperti potongan pizza. (b) Tembereng, seperti potongan lingkaran yang "terpotong" lurus oleh tali busur.

A.2 Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya di pusat lingkaran (\(\angle AOB\)). Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya di keliling lingkaran (\(\angle ACB\)). Keduanya dikatakan menghadap busur yang sama bila kaki-kakinya melalui titik A dan B.

Teorema 1. Sudut pusat = 2 × sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

$$\angle AOB=2\times\angle ACB$$

Geser titik A, B, dan C. Busur oranye adalah busur AB yang tidak memuat C.

Coba geser C ke busur kecil AB. Apa yang terjadi pada sudut pusatnya?

Contoh soal

Contoh 1

Titik A, B, C pada lingkaran berpusat O. Jika \(\angle AOB=110^\circ\), tentukan \(\angle ACB\) (C pada busur besar AB).

$$\begin{aligned}\angle ACB&=\tfrac12\angle AOB\\&=\tfrac12\times110^\circ\\&=55^\circ\end{aligned}$$

Contoh 2

Diketahui \(\angle ACB=(3x+5)^\circ\) dan \(\angle AOB=(8x-10)^\circ\). Tentukan \(x\) dan kedua sudut itu.

$$\begin{aligned}\angle AOB&=2\angle ACB\\8x-10&=2(3x+5)\\8x-10&=6x+10\\2x&=20\\x&=10\end{aligned}$$ Jadi \(\angle ACB=35^\circ\) dan \(\angle AOB=70^\circ\).

Contoh 3

O adalah pusat lingkaran, \(\angle OAB=25^\circ\), dan C pada busur besar AB. Tentukan \(\angle ACB\).

Segitiga OAB samakaki karena \(OA=OB=r\), sehingga \(\angle OBA=25^\circ\). $$\begin{aligned}\angle AOB&=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ\\\angle ACB&=\tfrac12\times130^\circ=65^\circ\end{aligned}$$

A.3 Sudut-sudut yang Menghadap Busur yang Sama

Teorema 2. Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama.

Teorema 3 (Thales). Sudut keliling yang menghadap diameter (setengah lingkaran) besarnya \(90^\circ\).

Geser titik C, D, E di busur yang sama, lalu amati ketiga sudut. Titik A dan B juga bisa digeser.

Setelah AB menjadi diameter, geser C, D, E. Berapa besar sudutnya?

Contoh soal

Contoh 1

Titik P, Q, R, S terletak pada lingkaran dengan R dan S pada busur yang sama terhadap tali busur PQ. Jika \(\angle PRQ=40^\circ\), tentukan \(\angle PSQ\).

\(\angle PSQ\) dan \(\angle PRQ\) menghadap busur PQ yang sama, sehingga $$\angle PSQ=\angle PRQ=40^\circ$$

Contoh 2

AB adalah diameter lingkaran dan C pada lingkaran. Jika \(\angle CAB=34^\circ\), tentukan \(\angle ABC\).

\(\angle ACB\) menghadap diameter, jadi \(\angle ACB=90^\circ\). $$\begin{aligned}\angle ABC&=180^\circ-90^\circ-34^\circ\\&=56^\circ\end{aligned}$$

Contoh 3

Segitiga ABC dengan AB diameter lingkaran, \(AC=8\) cm dan \(BC=6\) cm. Tentukan jari-jari lingkaran.

Karena AB diameter, \(\angle C=90^\circ\). Dengan Pythagoras: $$\begin{aligned}AB&=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\text{ cm}\\r&=\tfrac12AB=5\text{ cm}\end{aligned}$$

A.4 Teorema Lingkaran dan Pembuktiannya

Ringkasan teorema yang sudah kamu temui: (1) sudut pusat = 2 × sudut keliling, (2) sudut keliling yang menghadap busur sama adalah sama besar, (3) sudut keliling pada diameter adalah \(90^\circ\). Berikut bukti Teorema 1 langkah demi langkah. Tekan Berikutnya.

Bukti Teorema 3 (Thales)

Misalkan AB diameter, maka \(\angle AOB=180^\circ\) (garis lurus melalui pusat). Dengan Teorema 1: $$\begin{aligned}\angle ACB&=\tfrac12\angle AOB\\&=\tfrac12\times180^\circ\\&=90^\circ\end{aligned}$$ Terbukti bahwa sudut keliling pada diameter selalu siku-siku.

Bukti Teorema 2

Misalkan \(\angle ACB\) dan \(\angle ADB\) menghadap busur AB yang sama. Dari Teorema 1: $$\begin{aligned}\angle ACB&=\tfrac12\angle AOB\\\angle ADB&=\tfrac12\angle AOB\end{aligned}$$ Karena keduanya sama dengan \(\tfrac12\angle AOB\), maka \(\angle ACB=\angle ADB\).

Contoh soal

Contoh 1

Pada lingkaran berpusat O, \(\angle PQR=(3x+5)^\circ\) dan \(\angle POR=(8x-10)^\circ\) menghadap busur PR yang sama. Tentukan \(\angle PQR\).

$$\begin{aligned}8x-10&=2(3x+5)\\2x&=20\\x&=10\end{aligned}$$ Maka \(\angle PQR=3(10)+5=35^\circ\).

A.5 Soal Cerita

Soal cerita 1: Taman bundar

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki patung di pusat O. Dua pintu masuk berada di titik A dan B pada tepi taman. Dari titik C di tepi taman (pada busur besar AB), sudut pandang ke pintu A dan B adalah \(55^\circ\). Berapa besar sudut pandang dari patung ke kedua pintu? Jika Dina pindah ke titik D di busur yang sama, berapa sudut pandangnya?

$$\begin{aligned}\angle AOB&=2\times\angle ACB\\&=2\times55^\circ=110^\circ\end{aligned}$$ Dari titik D pada busur yang sama, sudut pandangnya tetap \(\angle ADB=55^\circ\).

Soal cerita 2: Lapangan bola

Dua tiang gawang berada di titik A dan B, ujung-ujung diameter lapangan melingkar. Seorang penonton duduk di titik C pada tepi lapangan. Berapa besar \(\angle ACB\)? Jika \(\angle CAB=50^\circ\), berapa besar \(\angle CBA\)?

AB diameter, sehingga \(\angle ACB=90^\circ\). $$\begin{aligned}\angle CBA&=180^\circ-90^\circ-50^\circ\\&=40^\circ\end{aligned}$$

Soal cerita 3: Kamera pengawas

Kamera di titik C pada tepi lapangan melingkar memiliki sudut pandang \(45^\circ\) yang tepat memuat dua titik A dan B di tepi lapangan. Berapa besar sudut AOB (O pusat)? Jika kamera dipindah ke titik lain pada busur yang sama, berapa sudut pandangnya?

$$\begin{aligned}\angle AOB&=2\times45^\circ=90^\circ\end{aligned}$$ Pada busur yang sama, sudut pandang kamera tetap \(45^\circ\).

B.1 Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

Sebuah juring dengan sudut pusat \(\theta\) adalah \(\dfrac{\theta}{360^\circ}\) bagian dari lingkaran penuh.

$$\text{Panjang busur}=\frac{\theta}{360^\circ}\times 2\pi r\qquad \text{Luas juring}=\frac{\theta}{360^\circ}\times \pi r^2$$

$$\text{Luas tembereng}=\text{luas juring}-\text{luas segitiga }OAB=\frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2-\tfrac12 r^2\sin\theta$$

Sudut pusat θ

Jari-jari r

Nilai π: 22/73,14π kalkulator

Busur   Juring   Tembereng

Contoh soal

Contoh 1: Panjang busur

Tentukan panjang busur dengan sudut pusat \(72^\circ\) pada lingkaran berjari-jari 35 cm (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)).

$$\begin{aligned}\text{Panjang busur}&=\frac{72}{360}\times2\times\frac{22}{7}\times35\\&=\frac15\times220\\&=44\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 2: Luas juring

Tentukan luas juring dengan sudut pusat \(120^\circ\) dan jari-jari 21 cm (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)).

$$\begin{aligned}\text{Luas juring}&=\frac{120}{360}\times\frac{22}{7}\times21^2\\&=\frac13\times\frac{22}{7}\times441\\&=\frac13\times1386\\&=462\text{ cm}^2\end{aligned}$$

Contoh 3: Mencari sudut pusat

Panjang busur sebuah lingkaran 11 cm dan jari-jarinya 7 cm (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)). Tentukan sudut pusatnya.

$$\begin{aligned}11&=\frac{\theta}{360^\circ}\times2\times\frac{22}{7}\times7\\11&=\frac{\theta}{360^\circ}\times44\\\theta&=\frac{11}{44}\times360^\circ=90^\circ\end{aligned}$$

Contoh 4: Tembereng (sudut siku-siku)

Tentukan luas tembereng pada lingkaran berjari-jari 14 cm dengan sudut pusat \(90^\circ\) (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)).

$$\begin{aligned}\text{Luas juring}&=\frac{90}{360}\times\frac{22}{7}\times14^2=\frac14\times616=154\\\text{Luas segitiga}&=\tfrac12\times14\times14=98\\\text{Luas tembereng}&=154-98=56\text{ cm}^2\end{aligned}$$

Contoh 5: Tembereng (sudut 60°)

Tentukan luas tembereng pada lingkaran berjari-jari 10 cm dengan sudut pusat \(60^\circ\). Gunakan \(\pi=3{,}14\) dan \(\sqrt3=1{,}73\).

$$\begin{aligned}\text{Luas juring}&=\frac{60}{360}\times3{,}14\times10^2\approx52{,}33\\\text{Luas segitiga}&=\tfrac12\times10^2\times\sin60^\circ=50\times\tfrac12\sqrt3=25\sqrt3\approx43{,}25\\\text{Luas tembereng}&\approx52{,}33-43{,}25=9{,}08\text{ cm}^2\end{aligned}$$

Kuis cepat: busur dan juring

B.2 Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Pada lingkaran yang sama, sudut pusat, panjang busur, dan luas juring berbanding lurus:

$$\frac{\theta_1}{\theta_2}=\frac{\text{busur}_1}{\text{busur}_2}=\frac{\text{juring}_1}{\text{juring}_2}$$

Sudut juring 1 (biru)

Sudut juring 2 (merah)

Lingkaran berjari-jari 7 cm, \(\pi=\tfrac{22}{7}\).

Contoh soal

Contoh 1

Juring POQ bersudut pusat \(40^\circ\) dengan panjang busur PQ = 14 cm. Tentukan panjang busur RS pada lingkaran yang sama jika sudut pusat ROS = \(100^\circ\).

$$\begin{aligned}\frac{40}{100}&=\frac{14}{RS}\\RS&=\frac{100\times14}{40}=35\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 2

Luas juring AOB = 48 cm² dengan \(\angle AOB=60^\circ\). Tentukan luas juring COD jika \(\angle COD=150^\circ\).

$$\begin{aligned}\frac{60}{150}&=\frac{48}{L}\\L&=\frac{150\times48}{60}=120\text{ cm}^2\end{aligned}$$

Contoh 3

Panjang busur 22 cm pada lingkaran berjari-jari 21 cm. Tentukan sudut pusatnya (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)).

$$\begin{aligned}\text{Keliling}&=2\times\tfrac{22}{7}\times21=132\text{ cm}\\\theta&=\frac{22}{132}\times360^\circ=60^\circ\end{aligned}$$

B.3 Penerapan Konsep Busur pada Masalah Kontekstual

Ujung jarum jam bergerak membentuk busur lingkaran, dan daerah yang disapunya adalah juring. Geser slider menit untuk melihat busur dan juring yang terbentuk.

Waktu berjalan

Panjang jarum menit: 7 cm10,5 cm14 cm21 cm

Soal cerita

Soal cerita 1: Pizza

Sebuah pizza berdiameter 28 cm dipotong menjadi 8 bagian sama besar. Tentukan panjang kulit (busur) dan luas permukaan tiap potong (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)).

Sudut tiap potong \(=\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ\) dan \(r=14\) cm. $$\begin{aligned}\text{Busur}&=\tfrac18\times2\times\tfrac{22}{7}\times14=11\text{ cm}\\\text{Luas}&=\tfrac18\times\tfrac{22}{7}\times14^2=77\text{ cm}^2\end{aligned}$$

Soal cerita 2: Wiper mobil

Sebuah wiper sepanjang 42 cm (dihitung dari poros) menyapu kaca depan sejauh sudut \(150^\circ\). Tentukan panjang lintasan ujung wiper dan luas daerah yang disapu (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)).

$$\begin{aligned}\text{Lintasan}&=\frac{150}{360}\times2\times\frac{22}{7}\times42=\frac{5}{12}\times264=110\text{ cm}\\\text{Luas sapuan}&=\frac{150}{360}\times\frac{22}{7}\times42^2=\frac{5}{12}\times5544=2310\text{ cm}^2\end{aligned}$$

Soal cerita 3: Roda sepeda

Roda sepeda berdiameter 56 cm. Berapa kali roda berputar untuk menempuh jarak 880 m? (\(\pi=\tfrac{22}{7}\))

$$\begin{aligned}\text{Keliling roda}&=\tfrac{22}{7}\times56=176\text{ cm}\\\text{Jarak}&=880\text{ m}=88.000\text{ cm}\\\text{Banyak putaran}&=\frac{88.000}{176}=500\text{ kali}\end{aligned}$$

Soal cerita 4: Petak rumput

Taman berbentuk tembereng dari lingkaran berjari-jari 14 m dengan sudut pusat \(90^\circ\). Biaya penanaman rumput Rp25.000 per m². Berapa total biayanya?

Luas tembereng \(=154-98=56\text{ m}^2\) (lihat Contoh 4). $$\begin{aligned}\text{Biaya}&=56\times25.000\\&=\text{Rp}1.400.000\end{aligned}$$

C.1 Pengertian dan Sifat Garis Singgung

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik, disebut titik singgung. Garis lain bisa memotong di dua titik (garis sekan) atau tidak memotong sama sekali.

Sifat utama. Garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgung: \(OT\perp g\).

Kedudukan garis terhadap lingkaran ditentukan jarak \(d\) dari pusat ke garis: \(d<r\) memotong di 2 titik, \(d=r\) menyinggung, \(d>r\) tidak memotong.

Jarak garis ke pusat (d)

Arah garis

Jari-jari lingkaran r = 5 cm. Naikkan d sampai tepat 5 cm.

Mengapa garis singgung tegak lurus jari-jari?

Andaikan garis singgung g di T tidak tegak lurus OT. Misalkan F kaki tegak lurus dari O ke g, dengan \(F\neq T\). Maka ada titik T′ di g, simetris dengan T terhadap F, dan \(OT'=OT=r\). Jadi g memotong lingkaran di dua titik, bertentangan dengan sifat garis singgung. Maka haruslah \(OT\perp g\).

Contoh soal

Contoh 1

Garis PT menyinggung lingkaran berpusat O di T, dan \(\angle OPT=30^\circ\). Tentukan \(\angle POT\).

\(OT\perp PT\), sehingga \(\angle OTP=90^\circ\). $$\begin{aligned}\angle POT&=180^\circ-90^\circ-30^\circ\\&=60^\circ\end{aligned}$$

Contoh 2

Lingkaran berjari-jari 5 cm. Tentukan kedudukan garis yang berjarak 3 cm, 5 cm, dan 7 cm dari pusat.

\(d=3<5\): memotong di dua titik.
\(d=5=r\): menyinggung (satu titik).
\(d=7>5\): tidak memotong lingkaran.

C.2 Panjang Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran

Dari titik P di luar lingkaran dapat ditarik dua garis singgung PT₁ dan PT₂ yang sama panjang. Segitiga OTP siku-siku di T, sehingga:

$$PT=\sqrt{OP^2-r^2}$$

Bangun OT₁PT₂ berbentuk layang-layang, dengan luas \(=2\times\tfrac12\times r\times PT=r\times PT\).

Jari-jari r

Geser titik P (titik merah) ke mana saja di luar lingkaran.

Contoh soal

Contoh 1

Jarak titik P ke pusat O adalah 13 cm dan jari-jari 5 cm. Tentukan panjang garis singgung PT.

$$\begin{aligned}PT&=\sqrt{OP^2-r^2}\\&=\sqrt{13^2-5^2}\\&=\sqrt{144}=12\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 2

Panjang garis singgung PT = 24 cm dan jari-jari 7 cm. Tentukan jarak P ke pusat.

$$\begin{aligned}OP&=\sqrt{PT^2+r^2}\\&=\sqrt{24^2+7^2}\\&=\sqrt{625}=25\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 3: Luas layang-layang

Dari titik P ditarik garis singgung PA dan PB pada lingkaran berpusat O. Jika \(r=6\) cm dan \(OP=10\) cm, tentukan luas layang-layang OAPB.

$$\begin{aligned}PA&=\sqrt{10^2-6^2}=8\text{ cm}\\\text{Luas}&=2\times\tfrac12\times6\times8=48\text{ cm}^2\end{aligned}$$

Contoh 4: Jika OP = 2r

Jika jarak OP sama dengan dua kali jari-jari, tentukan besar sudut apit kedua garis singgung \(\angle APB\).

$$\begin{aligned}\sin\angle OPA&=\frac{OA}{OP}=\frac{r}{2r}=\frac12\\\angle OPA&=30^\circ\\\angle APB&=2\times30^\circ=60^\circ\end{aligned}$$

Kuis cepat: garis singgung

C.3 Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran. Persekutuan dalam: lingkaran berada di sisi berbeda dari garis (garis memotong ruas penghubung pusat). Persekutuan luar: kedua lingkaran berada di sisi yang sama.

Misalkan jari-jari \(R\) dan \(r\), jarak kedua pusat \(d\). Segitiga siku-siku bantu menghasilkan:

$$\text{GPL luar}=\sqrt{d^2-(R-r)^2}\qquad\text{GPL dalam}=\sqrt{d^2-(R+r)^2}$$

Jari-jari lingkaran A (R)

Jari-jari lingkaran B (r)

Jarak pusat A dan B (d)

GPL luar (merah)   GPL dalam (hijau)   Segitiga bantu

Contoh soal

Contoh 1: GPL luar

Dua lingkaran berjari-jari 15 cm dan 3 cm, jarak pusat 20 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luarnya.

$$\begin{aligned}GPL&=\sqrt{d^2-(R-r)^2}\\&=\sqrt{20^2-(15-3)^2}\\&=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 2: GPL dalam

Dua lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm, jarak pusat 17 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

$$\begin{aligned}GPD&=\sqrt{d^2-(R+r)^2}\\&=\sqrt{17^2-(5+3)^2}\\&=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 3: Mencari jarak pusat

Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran 12 cm. Jari-jarinya 9 cm dan 4 cm. Tentukan jarak kedua pusat.

$$\begin{aligned}12^2&=d^2-(9-4)^2\\144&=d^2-25\\d^2&=169\\d&=13\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 4: Banyak garis singgung persekutuan

Lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm, jarak pusat 7 cm. Ada berapa garis singgung persekutuan?

\(R-r=2\) dan \(R+r=8\). Karena \(2<7<8\), kedua lingkaran berpotongan, sehingga hanya ada 2 garis singgung persekutuan, keduanya garis singgung persekutuan luar.

C.4 Soal Cerita Garis Singgung

Soal cerita 1: Jalan menyinggung taman

Sebuah taman berbentuk lingkaran berjari-jari 6 m. Dari gerbang P yang berjarak 10 m dari pusat taman, dibuat jalan lurus yang menyinggung tepi taman di titik T. Berapa panjang jalan itu?

$$\begin{aligned}PT&=\sqrt{10^2-6^2}\\&=\sqrt{64}=8\text{ m}\end{aligned}$$

Soal cerita 2: Sabuk mesin

Dua puli (roda) berjari-jari 7 cm dihubungkan sabuk melilit, dengan jarak pusat 30 cm. Tentukan panjang sabuk (\(\pi=\tfrac{22}{7}\)).

Karena jari-jari sama, bagian lurus sabuk sama dengan jarak pusat (30 cm) dan ada dua bagian. Bagian lengkungnya membentuk satu lingkaran penuh. $$\begin{aligned}\text{Panjang sabuk}&=2\times30+2\pi r\\&=60+2\times\tfrac{22}{7}\times7\\&=60+44=104\text{ cm}\end{aligned}$$

Soal cerita 3: Bola kristal dan lampu

Sebuah lampu P berjarak 25 cm dari pusat bola kristal berjari-jari 15 cm. Sinar yang menyinggung bola terlihat dari lampu ke titik T. Berapa panjang sinar itu?

$$\begin{aligned}PT&=\sqrt{25^2-15^2}\\&=\sqrt{400}=20\text{ cm}\end{aligned}$$

D.1 Sifat-sifat Tali Busur

Sifat 1. Garis dari pusat yang tegak lurus tali busur akan membagi tali busur menjadi dua bagian sama panjang, dan sebaliknya.

Sifat 2. Tali busur yang sama panjang berjarak sama dari pusat. Makin jauh dari pusat, makin pendek tali busurnya.

$$AB=2\sqrt{r^2-d^2}\quad\text{dengan }d=OM$$

Geser titik A dan B. M adalah titik tengah tali busur AB.

Misalkan r = 10 cm. Perhatikan: \(OM\perp AB\) dan \(AM=MB\) selalu terjadi.

Jarak tali busur ke pusat (d)

Putar tali busur ke-2

Bukti Sifat 1

Diketahui M titik pada AB dengan \(OM\perp AB\). Buktikan \(AM=MB\).

Pernyataan	Alasan
\(OA=OB\)	Keduanya jari-jari
\(\angle OMA=\angle OMB=90^\circ\)	Diketahui \(OM\perp AB\)
\(OM=OM\)	Sisi persekutuan
\(\triangle OMA\cong\triangle OMB\)	Sisi miring dan satu sisi siku-siku sama
\(AM=MB\)	Sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga kongruen

Bukti Sifat 2

Jika \(AB=CD\), dengan M dan N titik tengahnya, maka \(AM=CN\). Dengan Pythagoras pada segitiga OAM dan OCN: $$\begin{aligned}OM^2&=r^2-AM^2\\&=r^2-CN^2\\&=ON^2\end{aligned}$$ Jadi \(OM=ON\): kedua tali busur berjarak sama dari pusat. Bukti kebalikannya serupa.

Contoh soal

Contoh 1

Lingkaran berjari-jari 10 cm. Tali busur AB = 16 cm. Tentukan jarak AB ke pusat.

\(AM=\tfrac12AB=8\) cm. $$\begin{aligned}OM&=\sqrt{r^2-AM^2}\\&=\sqrt{100-64}=6\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 2

Jari-jari lingkaran 13 cm dan jarak tali busur AB ke pusat 5 cm. Tentukan panjang AB.

$$\begin{aligned}AM&=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\text{ cm}\\AB&=2\times12=24\text{ cm}\end{aligned}$$

Contoh 3: Dua tali busur sejajar

Pada lingkaran berjari-jari 17 cm terdapat dua tali busur sejajar, panjangnya 16 cm dan 30 cm. Tentukan jarak kedua tali busur jika keduanya terletak pada sisi yang berbeda dari pusat dan jika pada sisi yang sama.

$$\begin{aligned}d_1&=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\text{ cm}\\d_2&=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8\text{ cm}\end{aligned}$$ Sisi berbeda: \(15+8=23\) cm. Sisi sama: \(15-8=7\) cm.

Kuis cepat: tali busur dan segiempat siklik

D.2 Hubungan Sudut dan Tali Busur

(1) Pada lingkaran yang sama, sudut pusat yang sama menghasilkan tali busur yang sama panjang.

(2) Panjang tali busur dengan sudut pusat \(\theta\): $$AB=2r\sin\frac{\theta}{2}=2r\sin\angle ACB$$

(3) Sudut antara garis singgung dan tali busur sama dengan sudut keliling pada busur di seberangnya.

Geser titik A, B, C, D. Tali busur AB (hijau) dan CD (ungu).

Perhatikan: sudut pusat berbanding lurus dengan busur, tetapi tidak berbanding lurus dengan tali busur.

Geser A, B, dan C. Garis ungu adalah garis singgung di A.

Contoh soal

Contoh 1

Lingkaran berjari-jari 10 cm dan tali busur AB = 10 cm. Tentukan \(\angle AOB\) dan \(\angle ACB\) (C pada busur besar).

Segitiga OAB sama sisi (\(OA=OB=AB=10\)), jadi \(\angle AOB=60^\circ\). $$\angle ACB=\tfrac12\times60^\circ=30^\circ$$ Cek: \(AB=2r\sin30^\circ=2\times10\times\tfrac12=10\) cm.

Contoh 2

Garis g menyinggung lingkaran di A. Sudut antara g dan tali busur AB adalah \(50^\circ\). Tentukan \(\angle ACB\) (C di seberang) dan \(\angle AOB\).

Sudut garis singgung dan tali busur sama dengan sudut keliling di seberangnya: $$\begin{aligned}\angle ACB&=50^\circ\\\angle AOB&=2\times50^\circ=100^\circ\end{aligned}$$

Contoh 3

Pada lingkaran O, \(\angle AOB=\angle COD=70^\circ\) dan \(AB=9\) cm. Tentukan CD.

Sudut pusat sama pada lingkaran yang sama berarti tali busurnya sama panjang, sehingga \(CD=AB=9\) cm.

D.3 Segiempat Tali Busur (Segiempat Siklik)

Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada satu lingkaran.

Teorema 4. Jumlah sudut yang berhadapan \(=180^\circ\): \(\angle A+\angle C=180^\circ\) dan \(\angle B+\angle D=180^\circ\).

Teorema 5. Sudut luar sama besar dengan sudut dalam di hadapannya.

Geser titik A, B, C, D pada lingkaran.

Sudut luar di C   Diagonal

Kebalikannya juga berlaku: jika sudut-sudut berhadapan sebuah segiempat berjumlah \(180^\circ\), segiempat itu pasti siklik. Akibatnya, jajargenjang yang siklik haruslah persegi panjang, dan trapesium yang siklik haruslah trapesium sama kaki.

Contoh soal

Contoh 1

Segiempat ABCD siklik, \(\angle A=(2x+10)^\circ\) dan \(\angle C=(3x-20)^\circ\). Tentukan \(x\), \(\angle A\), dan \(\angle C\).

$$\begin{aligned}\angle A+\angle C&=180^\circ\\(2x+10)+(3x-20)&=180\\5x-10&=180\\x&=38\end{aligned}$$ Jadi \(\angle A=86^\circ\) dan \(\angle C=94^\circ\).

Contoh 2: Sudut luar

ABCD segiempat tali busur. Sisi BC diperpanjang ke E. Jika \(\angle DCE=70^\circ\), tentukan \(\angle BAD\).

Sudut luar \(\angle DCE\) sama dengan sudut dalam yang berhadapan, yaitu \(\angle BAD\). $$\angle BAD=\angle DCE=70^\circ$$ Cek: \(\angle BCD=180^\circ-70^\circ=110^\circ\) dan \(70^\circ+110^\circ=180^\circ\).

Contoh 3: Trapesium sama kaki

Trapesium sama kaki ABCD (AB // DC) terletak pada sebuah lingkaran. Jika \(\angle A=70^\circ\), tentukan \(\angle C\) dan \(\angle D\).

$$\begin{aligned}\angle C&=180^\circ-\angle A=110^\circ\end{aligned}$$ Pada trapesium sama kaki, \(\angle D=\angle C=110^\circ\) dan \(\angle B=\angle A=70^\circ\). Cek: \(\angle B+\angle D=70^\circ+110^\circ=180^\circ\).

Contoh 4: Sudut pada diagonal

ABCD siklik dan \(\angle ACB=38^\circ\). Tentukan \(\angle ADB\).

Kedua sudut menghadap busur AB yang sama, dan C, D berada pada satu sisi: $$\angle ADB=\angle ACB=38^\circ$$

D.4 Pembuktian Teorema Segiempat Siklik dan Perpotongan Tali Busur

Tekan Berikutnya untuk membuktikan bahwa \(\angle A+\angle C=180^\circ\).

Pengayaan: perpotongan dua tali busur

Jika tali busur AB dan CD berpotongan di titik P di dalam lingkaran, maka $$AP\times PB=CP\times PD$$ Karena \(\triangle APC\) dan \(\triangle DPB\) sebangun (sudut keliling yang menghadap busur sama).

Geser titik A, B, C, D. Misalkan r = 10 cm.

Contoh

Tali busur AB dan CD berpotongan di P. Jika \(AP=6\), \(PB=4\), dan \(CP=3\), tentukan PD.

$$\begin{aligned}AP\times PB&=CP\times PD\\6\times4&=3\times PD\\PD&=8\end{aligned}$$

D.5 Soal Cerita Tali Busur

Soal cerita 1: Terowongan

Mulut terowongan berbentuk tembereng lingkaran. Lebar dasarnya (tali busur) 16 m dan tingginya 4 m. Berapa jari-jari lingkaran tersebut?

Jarak pusat ke tali busur \(=r-4\) dan setengah tali busur \(=8\). $$\begin{aligned}r^2&=(r-4)^2+8^2\\r^2&=r^2-8r+16+64\\8r&=80\\r&=10\text{ m}\end{aligned}$$

Soal cerita 2: Jembatan lengkung

Sebuah jembatan lengkung berbentuk busur lingkaran dengan bentang 24 m dan tinggi 4 m. Tentukan jari-jari lengkungannya.

$$\begin{aligned}r^2&=(r-4)^2+12^2\\0&=-8r+16+144\\8r&=160\\r&=20\text{ m}\end{aligned}$$

Soal cerita 3: Pecahan piring

Seorang arkeolog menemukan pecahan piring melingkar. Tali busur pecahannya 24 cm dan tinggi pecahan 8 cm. Berapa diameter piring semula?

$$\begin{aligned}r^2&=(r-8)^2+12^2\\0&=-16r+64+144\\16r&=208\\r&=13\text{ cm}\end{aligned}$$ Diameter \(=2\times13=26\) cm.

8 Soal Pemancing

Kerjakan dulu di buku, isi jawabannya (angka saja), lalu tekan Cek jawaban. Bila masih ragu, buka petunjuk dan pembahasan.

Soal 1 Sudut pusat dan keliling

Titik A, B, C pada lingkaran berpusat O, dengan C pada busur besar AB. Jika \(\angle OAB=20^\circ\), berapa besar \(\angle ACB\) (dalam derajat)?

Petunjuk: segitiga OAB samakaki. Cari dulu \(\angle AOB\).

$$\begin{aligned}\angle OBA&=\angle OAB=20^\circ\quad(OA=OB)\\\angle AOB&=180^\circ-20^\circ-20^\circ=140^\circ\\\angle ACB&=\tfrac12\angle AOB=\tfrac12\times140^\circ=70^\circ\end{aligned}$$ Jawaban: 70

Soal 2 Sudut menghadap diameter

AB adalah diameter lingkaran dan C titik pada lingkaran. Jika \(\angle CAB=28^\circ\), berapa besar \(\angle ABC\) (dalam derajat)?

Petunjuk: berapa besar sudut keliling yang menghadap diameter?

$$\begin{aligned}\angle ACB&=90^\circ\quad(\text{menghadap diameter})\\\angle ABC&=180^\circ-90^\circ-28^\circ\\&=62^\circ\end{aligned}$$ Jawaban: 62

Soal 3 Busur dan juring

Sebuah juring bersudut pusat \(45^\circ\) memiliki luas 77 cm². Berapa panjang busur juring itu (cm)? Gunakan \(\pi=\tfrac{22}{7}\).

Petunjuk: cari jari-jari dari luas juring terlebih dahulu.

$$\begin{aligned}\frac{45}{360}\times\frac{22}{7}\times r^2&=77\\\frac18\times\frac{22}{7}r^2&=77\\r^2&=\frac{77\times56}{22}=196\\r&=14\text{ cm}\\\text{Panjang busur}&=\frac18\times2\times\frac{22}{7}\times14=\frac18\times88=11\text{ cm}\end{aligned}$$ Jawaban: 11

Soal 4 Soal cerita: jam dinding

Jarum menit sebuah jam dinding panjangnya 21 cm. Dalam 20 menit, berapa panjang lintasan ujung jarum itu (cm)? Gunakan \(\pi=\tfrac{22}{7}\).

Petunjuk: jarum menit berputar \(6^\circ\) setiap menit.

$$\begin{aligned}\theta&=20\times6^\circ=120^\circ\\\text{Lintasan}&=\frac{120}{360}\times2\times\frac{22}{7}\times21\\&=\frac13\times132=44\text{ cm}\end{aligned}$$ Jawaban: 44

Soal 5 Garis singgung dari titik luar

Dari titik P di luar lingkaran berpusat O ditarik garis singgung PA dan PB (A, B titik singgung). Jika \(OP=17\) cm dan jari-jari 8 cm, berapa luas layang-layang OAPB (cm²)?

Petunjuk: segitiga OAP siku-siku di A. Layang-layang terdiri dari dua segitiga yang kongruen.

$$\begin{aligned}PA&=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\text{ cm}\\\text{Luas}&=2\times\tfrac12\times OA\times PA\\&=8\times15=120\text{ cm}^2\end{aligned}$$ Jawaban: 120

Soal 6 Garis singgung persekutuan

Dua lingkaran berjari-jari 16 cm dan 6 cm, jarak kedua pusat 26 cm. Berapa panjang garis singgung persekutuan luarnya (cm)?

Petunjuk: gunakan selisih jari-jari.

$$\begin{aligned}GPL&=\sqrt{d^2-(R-r)^2}\\&=\sqrt{26^2-(16-6)^2}\\&=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\text{ cm}\end{aligned}$$ Jawaban: 24

Soal 7 Sifat tali busur

Lingkaran berjari-jari 25 cm memiliki dua tali busur sejajar dengan panjang 14 cm dan 48 cm, terletak pada sisi yang berlawanan terhadap pusat. Berapa jarak kedua tali busur itu (cm)?

Petunjuk: hitung jarak masing-masing tali busur ke pusat, lalu jumlahkan.

$$\begin{aligned}d_1&=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24\text{ cm}\quad(\text{tali busur }14)\\d_2&=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7\text{ cm}\quad(\text{tali busur }48)\\\text{Jarak}&=24+7=31\text{ cm}\end{aligned}$$ Jawaban: 31

Soal 8 Segiempat tali busur

ABCD adalah segiempat tali busur dengan \(\angle B=(3x+5)^\circ\) dan \(\angle D=(2x+20)^\circ\). Berapa besar \(\angle B\) (dalam derajat)?

Petunjuk: sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur berjumlah \(180^\circ\).

$$\begin{aligned}\angle B+\angle D&=180^\circ\\(3x+5)+(2x+20)&=180\\5x+25&=180\\x&=31\end{aligned}$$ Jadi \(\angle B=3(31)+5=98^\circ\) (dan \(\angle D=82^\circ\)). Jawaban: 98