Lingkaran, Elips, dan Garis Singgung Lingkaran

Simulasi ini membahas lingkaran, irisan kerucut, elips, kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran, serta persamaan garis singgung lingkaran. Geser slider pada setiap simulasi untuk mengamati perubahan gambar dan persamaannya, lalu uji pemahamanmu lewat contoh, soal cerita, dan latihan di bagian akhir.

Geser slider pada setiap simulasi, amati perubahan gambar dan persamaannya, lalu coba contoh soal. Pilih subtopik di bawah ini.

1. Lingkaran

Definisi. Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Titik itu disebut pusat, jarak tetapnya disebut jari-jari (r).

Persamaan baku (pusat \((a,b)\), jari-jari \(r\)): \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\] Jika pusat di \(O(0,0)\): \(x^2+y^2=r^2\).
Persamaan umum: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\) dengan pusat \(\left(-\tfrac{A}{2},-\tfrac{B}{2}\right)\) dan \(r=\sqrt{\tfrac{A^2}{4}+\tfrac{B^2}{4}-C}\).

Simulasi: ubah pusat dan jari-jari

Contoh

Contoh 1. Menyusun persamaan dari pusat dan jari-jari

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di \((2,-3)\) dengan \(r=4\). \[\begin{aligned}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-2)^2+(y+3)^2&=16\\x^2-4x+4+y^2+6y+9-16&=0\\x^2+y^2-4x+6y-3&=0\end{aligned}\]

Contoh 2. Mencari pusat dan jari-jari dari bentuk umum

Lingkaran \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\), maka \(A=-6,\ B=4,\ C=-12\). \[\begin{aligned}\text{Pusat}&=\left(-\tfrac{-6}{2},-\tfrac{4}{2}\right)=(3,-2)\\r&=\sqrt{9+4+12}\\&=\sqrt{25}=5\end{aligned}\]

Contoh 3. Lingkaran melalui titik asal

Lingkaran berpusat di \((3,4)\) melalui \(O(0,0)\). \[\begin{aligned}r&=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}\\&=\sqrt{25}=5\\(x-3)^2+(y-4)^2&=25\end{aligned}\]

2. Irisan Kerucut

Irisan kerucut adalah kurva hasil perpotongan bidang datar dengan kerucut. Sudut kemiringan bidang menentukan jenis kurva: lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola. Semuanya dapat didefinisikan dengan satu titik fokus, satu garis direktriks, dan eksentrisitas \(e=\dfrac{\text{jarak ke fokus}}{\text{jarak ke direktriks}}\).

Kurva	Eksentrisitas	Persamaan baku (pusat/puncak di O)	Ciri
Lingkaran	\(e=0\)	\(x^2+y^2=r^2\)	Jarak ke pusat tetap
Elips	\(0\lt e\lt 1\)	\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)	Jumlah jarak ke 2 fokus tetap
Parabola	\(e=1\)	\(y^2=4px\)	Jarak ke fokus = jarak ke direktriks
Hiperbola	\(e\gt 1\)	\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)	Selisih jarak ke 2 fokus tetap

Simulasi: ubah eksentrisitas

Fokus berada di titik hijau, garis hijau putus-putus adalah direktriks. Geser \(e\) dari 0 sampai 2 dan lihat kurvanya berubah.

Contoh

Contoh 1. Parabola

Parabola \(y^2=8x\). Bandingkan dengan \(y^2=4px\): \[\begin{aligned}4p&=8\Rightarrow p=2\\\text{Fokus}&=(p,0)=(2,0)\\\text{Direktriks}&:x=-p=-2\end{aligned}\]

Contoh 2. Hiperbola

Hiperbola \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\), maka \(a=3,\ b=4\). \[\begin{aligned}c&=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5\\\text{Fokus}&=(\pm5,0)\\e&=\tfrac{c}{a}=\tfrac{5}{3}\\\text{Asimtot}&:y=\pm\tfrac{b}{a}x=\pm\tfrac{4}{3}x\end{aligned}\]

Contoh 3. Menentukan jenis kurva dari e

Kurva dengan \(e=\tfrac{3}{4}\) berarti \(0\lt e\lt1\), maka kurvanya elips. Jika \(e=1{,}5\) maka kurvanya hiperbola.

3. Elips

Definisi. Elips adalah himpunan titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu (fokus) selalu tetap, yaitu \(2a\). Jadi untuk titik P pada elips: \(PF_1+PF_2=2a\).

Unsur-unsur elips (sumbu mayor mendatar): pusat \(O\); dua fokus \(F_1,F_2\) pada sumbu mayor; puncak \((\pm a,0)\); sumbu mayor panjang \(2a\); sumbu minor panjang \(2b\); jarak fokus ke pusat \(c=\sqrt{a^2-b^2}\); eksentrisitas \(e=\tfrac{c}{a}\); latus rectum (tali busur lewat fokus, tegak lurus sumbu mayor) panjang \(\tfrac{2b^2}{a}\).

Persamaan elips
Pusat \((0,0)\), mayor mendatar: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), fokus \((\pm c,0)\).
Pusat \((0,0)\), mayor tegak: \(\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1\), fokus \((0,\pm c)\).
Pusat \((h,k)\), mayor mendatar: \(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\).
Selalu \(a\gt b\) dan \(a^2=b^2+c^2\).

Simulasi: ubah elips dan titik P

Geser \(\theta\) untuk memindahkan titik P di sepanjang elips. Perhatikan bahwa \(PF_1+PF_2\) selalu sama.

Contoh

Contoh 1. Unsur elips dari persamaan

Elips \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\): \(a^2=25,\ b^2=9\). \[\begin{aligned}c&=\sqrt{25-9}=4\\\text{Fokus}&=(\pm4,0),\ \text{puncak}=(\pm5,0)\\e&=\tfrac45,\ \text{sumbu mayor}=10,\ \text{minor}=6\\\text{Latus rectum}&=\tfrac{2\cdot9}{5}=\tfrac{18}{5}\end{aligned}\]

Contoh 2. Pusat bukan di titik asal

Elips berpusat di \((1,2)\), sumbu mayor mendatar panjang 10, sumbu minor panjang 6. Maka \(a=5,\ b=3,\ c=4\). \[\begin{aligned}\dfrac{(x-1)^2}{25}+\dfrac{(y-2)^2}{9}&=1\\\text{Fokus}&=(1\pm4,2)=(5,2)\text{ dan }(-3,2)\end{aligned}\]

Contoh 3. Dari fokus dan puncak

Fokus \((0,\pm3)\), puncak \((0,\pm5)\), pusat \(O\). Fokus di sumbu Y, jadi mayor tegak: \(a=5,\ c=3\). \[\begin{aligned}b^2&=a^2-c^2=25-9=16\\\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}&=1\end{aligned}\]

4. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

Titik \(P(x_1,y_1)\) terhadap lingkaran \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Hitung \(K=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2\):
\(K\lt0\): di dalam; \(K=0\): pada lingkaran; \(K\gt0\): di luar.
Garis \(y=mx+n\): substitusi ke lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat, lalu hitung diskriminan \(D\):
\(D\gt0\): memotong di dua titik; \(D=0\): menyinggung; \(D\lt0\): lepas (tidak berpotongan).
Cara lain: bandingkan jarak pusat ke garis \(d\) dengan \(r\).

Simulasi: lingkaran \((x-1)^2+(y-2)^2=16\)

Contoh

Contoh 1. Kedudukan titik

Lingkaran \(x^2+y^2=25\). Periksa \(A(3,4),\ B(1,2),\ C(5,5)\). \[\begin{aligned}A&:\ 9+16-25=0\ \Rightarrow\text{pada lingkaran}\\B&:\ 1+4-25=-20\lt0\Rightarrow\text{di dalam}\\C&:\ 25+25-25=25\gt0\Rightarrow\text{di luar}\end{aligned}\]

Contoh 2. Kedudukan garis (diskriminan)

Garis \(y=x+8\) terhadap \(x^2+y^2=25\). \[\begin{aligned}x^2+(x+8)^2&=25\\2x^2+16x+39&=0\\D&=16^2-4(2)(39)\\&=256-312=-56\lt0\end{aligned}\] Karena \(D\lt0\), garis lepas dari lingkaran. Untuk \(y=x+5\): \(2x^2+10x=0\), \(D=100\gt0\), garis memotong di dua titik.

Contoh 3. Cara jarak pusat ke garis

Garis \(3x+4y-10=0\) terhadap \(x^2+y^2=4\). \[\begin{aligned}d&=\dfrac{|3(0)+4(0)-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\&=\dfrac{10}{5}=2=r\end{aligned}\] Karena \(d=r\), garis menyinggung lingkaran.

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

(1) Titik singgung \((x_1,y_1)\) diketahui.
Pusat O: \(x_1x+y_1y=r^2\). Pusat \((a,b)\): \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\).
(2) Gradien \(m\) diketahui.
Pusat O: \(y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\). Pusat \((a,b)\): \(y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}\). Ada dua garis singgung. Sejajar garis gradien \(m_1\) berarti \(m=m_1\); tegak lurus berarti \(m=-\tfrac{1}{m_1}\).
(3) Titik \(P\) di luar lingkaran.
Buat garis polar \((x_P-a)(x-a)+(y_P-b)(y-b)=r^2\), cari titik potongnya dengan lingkaran (itulah titik singgung), lalu pakai rumus (1). Cara lain: misal \(y-y_P=m(x-x_P)\), lalu syarat \(d=r\).

Simulasi

Contoh

Contoh 1. Titik singgung sudah ditentukan

(a) Singgung \(x^2+y^2=25\) di \((3,4)\): \[\begin{aligned}x_1x+y_1y&=r^2\\3x+4y&=25\end{aligned}\] (b) Singgung \((x-1)^2+(y+2)^2=25\) di \((4,2)\) (cek: \(9+16=25\)): \[\begin{aligned}(4-1)(x-1)+(2+2)(y+2)&=25\\3x-3+4y+8&=25\\3x+4y&=20\end{aligned}\]

Contoh 2. Gradien m diketahui

(a) Singgung \(x^2+y^2=20\) dengan \(m=2\): \[\begin{aligned}y&=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\\&=2x\pm\sqrt{20\cdot5}\\y&=2x\pm10\end{aligned}\] (b) Singgung \((x-2)^2+(y+1)^2=25\) dengan \(m=\tfrac34\): \[\begin{aligned}y+1&=\tfrac34(x-2)\pm5\sqrt{1+\tfrac{9}{16}}\\y+1&=\tfrac34x-\tfrac32\pm\tfrac{25}{4}\\3x-4y+15&=0\ \text{ atau }\ 3x-4y-35=0\end{aligned}\]

Contoh 3. Titik di luar lingkaran

Garis singgung dari \(P(7,1)\) ke \(x^2+y^2=25\). Cek: \(49+1-25\gt0\), titik di luar. \[\begin{aligned}\text{Polar}&:7x+y=25\Rightarrow y=25-7x\\x^2+(25-7x)^2&=25\\50x^2-350x+600&=0\\x^2-7x+12&=0\Rightarrow x=3\text{ atau }4\end{aligned}\] Titik singgung \((3,4)\) dan \((4,-3)\). Garis singgungnya \(3x+4y=25\) dan \(4x-3y=25\).
Alternatif untuk \(P(0,10)\) pada \(x^2+y^2=25\): misal \(y=mx+10\), syarat \(\dfrac{10}{\sqrt{1+m^2}}=5\Rightarrow m^2=3\), sehingga \(y=\pm\sqrt3\,x+10\).

6. Soal Cerita (Kontekstual)

Soal 1. Jangkauan menara pemancar. Sebuah menara pemancar di titik \(O(0,0)\) (satuan km) menjangkau radius 10 km. Pak Budi tinggal di \((6,8)\). Sebuah jalan lurus berpersamaan \(x-y+12=0\). (a) Apakah rumah Pak Budi terjangkau? (b) Apakah jalan itu memasuki area jangkauan?

Lihat pembahasan

Area jangkauan: \(x^2+y^2=100\). \[\begin{aligned}\text{(a) }K&=6^2+8^2-100=0\end{aligned}\] Rumah tepat pada batas jangkauan (sinyal masih sampai, tetapi lemah). \[\begin{aligned}\text{(b) }d&=\dfrac{|0-0+12|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\&=\dfrac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\approx8{,}49\lt10\end{aligned}\] Karena \(d\lt r\), jalan memotong lingkaran sehingga memasuki area jangkauan.

Soal 2. Lintasan jogging berbentuk elips. Taman memiliki lintasan elips dengan panjang 100 m dan lebar 60 m. Pusat taman dijadikan titik asal, panjang searah sumbu X. Dua tiang lampu dipasang di kedua fokus. (a) Berapa jarak kedua tiang? (b) Seorang pelari di titik \((30,24)\). Buktikan ia di lintasan dan hitung jumlah jaraknya ke kedua tiang.

Lihat pembahasan

\(2a=100\Rightarrow a=50\), \(2b=60\Rightarrow b=30\). \[\begin{aligned}c&=\sqrt{50^2-30^2}=40\\\text{Jarak tiang}&=2c=80\text{ m}\\\dfrac{x^2}{2500}+\dfrac{y^2}{900}&=1\end{aligned}\] Uji \((30,24)\): \(\dfrac{900}{2500}+\dfrac{576}{900}=0{,}36+0{,}64=1\), jadi pelari di lintasan. Menurut definisi elips, jumlah jarak ke kedua fokus \(=2a=100\) m.

Soal 3. Pagar kolam. Sebuah kolam melingkar memiliki persamaan \((x-2)^2+(y-1)^2=25\) (satuan meter). Pagar lurus dipasang menyinggung kolam di titik \((5,5)\). Tentukan persamaan garis pagar tersebut.

Lihat pembahasan

Cek titik: \(3^2+4^2=25\), jadi titik berada pada lingkaran. \[\begin{aligned}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\3(x-2)+4(y-1)&=25\\3x+4y-10&=25\\3x+4y-35&=0\end{aligned}\]

7. Latihan: 8 Soal Pemancing

Coba kerjakan sendiri di buku, baru buka pembahasannya.

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2+y^2+8x-6y+9=0\).

Pembahasan

\[\begin{aligned}\text{Pusat}&=\left(-\tfrac82,-\tfrac{-6}{2}\right)=(-4,3)\\r&=\sqrt{16+9-9}=\sqrt{16}=4\end{aligned}\]

2. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di \((2,1)\) dan menyinggung garis \(3x+4y+5=0\).

Pembahasan

Jari-jari = jarak pusat ke garis. \[\begin{aligned}r&=\dfrac{|3(2)+4(1)+5|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{15}{5}=3\\(x-2)^2+(y-1)^2&=9\end{aligned}\]

3. Elips \(9x^2+25y^2=225\). Tentukan fokus, eksentrisitas, dan panjang latus rectum.

Pembahasan

\[\begin{aligned}\tfrac{x^2}{25}+\tfrac{y^2}{9}&=1\Rightarrow a=5,\ b=3\\c&=\sqrt{25-9}=4\\\text{Fokus}&=(\pm4,0)\\e&=\tfrac45\\\text{Latus rectum}&=\tfrac{2b^2}{a}=\tfrac{18}{5}\end{aligned}\]

4. Tentukan persamaan elips berpusat di O dengan fokus \((0,\pm4)\) dan panjang sumbu minor 6.

Pembahasan

\[\begin{aligned}c&=4,\ 2b=6\Rightarrow b=3\\a^2&=b^2+c^2=9+16=25\\\tfrac{x^2}{9}+\tfrac{y^2}{25}&=1\end{aligned}\] Fokus di sumbu Y, sehingga \(a^2\) berada di bawah \(y^2\).

5. Tentukan kedudukan titik \(A(5,-1)\) terhadap lingkaran \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\).

Pembahasan

\[\begin{aligned}K&=25+1-20-6-12\\&=-12\lt0\end{aligned}\] Titik A berada di dalam lingkaran.

6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=10\) yang sejajar garis \(y=3x+1\).

Pembahasan

Sejajar berarti \(m=3\). \[\begin{aligned}y&=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\\&=3x\pm\sqrt{10\cdot10}\\y&=3x\pm10\end{aligned}\]

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2-2x-4y-20=0\) di titik \((4,6)\).

Pembahasan

Pusat \((1,2)\), \(r^2=1+4+20=25\). Titik \((4,6)\) pada lingkaran karena \(3^2+4^2=25\). \[\begin{aligned}(4-1)(x-1)+(6-2)(y-2)&=25\\3x-3+4y-8&=25\\3x+4y&=36\end{aligned}\]

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=25\) yang ditarik dari titik \((1,7)\).

Pembahasan

Titik di luar lingkaran (\(1+49\gt25\)). Garis polar: \[\begin{aligned}x+7y&=25\Rightarrow x=25-7y\\(25-7y)^2+y^2&=25\\50y^2-350y+600&=0\\y^2-7y+12&=0\Rightarrow y=3\text{ atau }4\end{aligned}\] Titik singgung \((4,3)\) dan \((-3,4)\). Garis singgung: \(4x+3y=25\) dan \(-3x+4y=25\).