Simulasi Interaktif Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Pernah tidak kamu mikir, mengapa satu kartu ATM hanya bisa membuka satu rekening, atau mengapa urutan diskon dan voucher belanja bisa mengubah harga yang harus dibayar? Jawabannya ada di fungsi. Di simulasi interaktif ini kamu akan belajar membedakan fungsi dan bukan fungsi, menentukan domain, kodomain, dan range, mengoperasikan dua fungsi (jumlah, selisih, kali, bagi), menyusun komposisi fungsi (f∘g), mengenali fungsi injektif, surjektif, dan bijektif, sampai mencari fungsi invers (f⁻¹). Jangan cuma dibaca, ya: geser slider, klik panah di diagram, dan perhatikan apa yang berubah. Di bagian akhir ada soal cerita dan 8 soal latihan lengkap dengan pembahasan, jadi coba kerjakan dulu sendiri sebelum membuka jawabannya.

Fungsi dan Bukan Fungsi

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Ingat: satu anggota A tidak boleh punya dua panah, dan tidak boleh tanpa panah.

Lab Diagram Panah. Pilih contoh, atau klik tombol angka di bawah diagram untuk menambah/menghapus panah. Titik merah berarti anggota A bermasalah.

Domain, Kodomain, dan Range

Domain = daerah asal (semua anggota A).
Kodomain = daerah kawan (semua anggota B).
Range = daerah hasil (anggota B yang benar-benar mendapat pasangan). Range selalu bagian dari kodomain.

Contoh: f(x)=2x-1 dengan domain \{1,2,3\}.

\begin{aligned}f(1)&=2(1)-1=1\\f(2)&=2(2)-1=3\\f(3)&=2(3)-1=5\end{aligned}

Jadi range-nya adalah \{1,3,5\}. Coba ulangi di lab: pilih contoh “Fungsi” lalu lihat bagian Range.

Operasi Fungsi dan Komposisi Fungsi

Dua fungsi bisa dijumlah, dikurang, dikali, dan dibagi nilainya. Khusus pembagian, penyebut tidak boleh nol. Komposisi berarti hasil satu fungsi dimasukkan ke fungsi lain: (f\circ g)(x)=f(g(x)), artinya kerjakan g dulu, baru f.

Lab Operasi. Atur f(x)=ax+b dan g(x)=cx+d.

a b c d x

Coba bandingkan tombol f∘g dan g∘f dengan x yang sama. Hasilnya biasanya berbeda, jadi komposisi fungsi tidak komutatif.

Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Injektif (satu-satu): dua anggota A berbeda tidak boleh berpasangan dengan anggota B yang sama.
Surjektif (onto): semua anggota B punya pasangan, jadi Range = Kodomain.
Bijektif: injektif dan surjektif sekaligus. Hanya fungsi bijektif yang punya invers.

Lab Jenis Fungsi. Pilih contoh lalu ubah panahnya sendiri.

Fungsi Invers f⁻¹

Invers membalik kerja fungsi: kalau f(a)=b maka f^{-1}(b)=a. Grafik f⁻¹ adalah pencerminan grafik f terhadap garis y=x.

Lab Invers untuk f(x)=ax+b.

a b x

Soal Cerita 1: Voucher dan Diskon

Rina membeli sepatu seharga x ribu rupiah. Toko memberi diskon d%, dan Rina punya voucher potongan v ribu rupiah. Mana yang lebih hemat: voucher dulu atau diskon dulu?
Misalkan f(x)=x-v (voucher) dan g(x)=\left(1-\frac{d}{100}\right)x (diskon).

Harga x (ribu) Diskon d (%) Voucher v (ribu)

Soal Cerita 2: Konversi Suhu

Rumus mengubah Celsius ke Fahrenheit adalah F=\frac{9}{5}C+32. Untuk mengubah Fahrenheit ke Celsius kita butuh fungsi invers:

\begin{aligned}F&=\frac{9}{5}C+32\\F-32&=\frac{9}{5}C\\C&=\frac{5}{9}(F-32)\end{aligned}

Suhu C (°C) Suhu F (°F)

8 Soal Pemancing

Kerjakan dulu di buku, baru buka pembahasannya.

Soal 1. Diketahui A=\{1,2,3\}, B=\{a,b,c\}, relasi R=\{(1,a),(2,a),(3,b)\}. Apakah R fungsi? Tentukan domain, kodomain, dan range.

Pembahasan

Setiap anggota A punya tepat satu pasangan, jadi R adalah fungsi. Dua anggota A boleh berpasangan dengan a yang sama; yang dilarang adalah satu anggota A punya dua panah.
Domain =\{1,2,3\}, kodomain =\{a,b,c\}, range =\{a,b\} (c tidak mendapat pasangan).

Soal 2. Tentukan domain terbesar f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x-2}}.

Pembahasan

Bentuk akar harus tidak negatif dan penyebut tidak boleh nol, sehingga isi akar harus positif.

\begin{aligned}x-2&\gt 0\\x&\gt 2\end{aligned}

Domain =\{x\mid x\gt 2,\ x\in\mathbb{R}\}.

Soal 3. Jika f(x)=2x+3 dan g(x)=x^2-1, tentukan (f+g)(x) dan (f\cdot g)(2).

Pembahasan

\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\&=(2x+3)+(x^2-1)\\&=x^2+2x+2\\(f\cdot g)(2)&=f(2)\cdot g(2)\\&=(7)(3)=21\end{aligned}

Soal 4. Jika f(x)=3x-2 dan g(x)=x+5, tentukan \left(\frac{f}{g}\right)(x), domainnya, dan nilainya di x=1.

Pembahasan

\begin{aligned}\left(\frac{f}{g}\right)(x)&=\frac{3x-2}{x+5}\\x+5&\text{ tidak sama dengan } 0\Rightarrow x \text{ tidak sama dengan} -5\\\left(\frac{f}{g}\right)(1)&=\frac{3(1)-2}{1+5}=\frac{1}{6}\end{aligned}

Domain: semua bilangan real kecuali -5.

Soal 5. Jika f(x)=2x+1 dan g(x)=x^2-3, tentukan (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), dan (f\circ g)(2). Apakah hasilnya sama?

Pembahasan

\begin{aligned}(f\circ g)(x)&=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1=2x^2-5\\(g\circ f)(x)&=g(2x+1)=(2x+1)^2-3\\&=4x^2+4x-2\\(f\circ g)(2)&=2(2)^2-5=3\end{aligned}

Hasilnya tidak sama, komposisi fungsi tidak komutatif.

Soal 6. Diketahui f(x)=2x-3 dan (f\circ g)(x)=6x+1. Tentukan g(x).

Pembahasan

\begin{aligned}(f\circ g)(x)&=2\,g(x)-3\\2\,g(x)-3&=6x+1\\2\,g(x)&=6x+4\\g(x)&=3x+2\end{aligned}

Soal 7. Fungsi f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2. Apakah f injektif, surjektif, atau bijektif? Bagaimana agar f punya invers?

Pembahasan

Tidak injektif, karena f(2)=f(-2)=4. Tidak surjektif, karena range-nya y\ge 0 sedangkan -1 di kodomain tidak punya pasangan. Jadi f tidak bijektif dan belum punya invers.
Jika domain dan kodomain dibatasi ke \{x\mid x\ge 0\}, f menjadi bijektif dan inversnya f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Soal 8. Tarif taksi online: Rp5.000 ditambah Rp3.000 per km, sehingga f(x)=3000x+5000 dengan x jarak (km). Bu Sari membayar Rp35.000. Berapa km jarak perjalanannya? Tentukan juga f^{-1}(x).

Pembahasan

\begin{aligned}y&=3000x+5000\\3000x&=y-5000\\x&=\frac{y-5000}{3000}\\f^{-1}(x)&=\frac{x-5000}{3000}\\f^{-1}(35000)&=\frac{30000}{3000}=10\end{aligned}

Jarak perjalanan Bu Sari adalah 10 km.