Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan membantu kita menghitung banyak cara menyusun pengurus, membuat kode akses, memilih delegasi, atau mengatur jadwal tanpa mendaftar satu per satu. Lewat simulasi ini, kamu akan mencoba aturan penjumlahan dan perkalian, diagram pohon, faktorial, permutasi, dan kombinasi, lalu menguji pemahamanmu dengan soal cerita dan soal pemancing.

Matematika Wajib • Kelas XII SMA • Simulasi Interaktif

Aturan penjumlahan & perkalianDiagram pohon & pengisian tempatFaktorialPermutasi (unsur sama & melingkar)KombinasiMemilih permutasi / kombinasi

Cara belajar: baca konsep di tiap tab, geser slider / klik tombol pada kotak bertepi putus-putus, lalu kerjakan kuis dan soal di akhir.

1. Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian

Aturan Penjumlahan (kata kunci: "atau"). Jika pekerjaan dapat diselesaikan dengan cara pertama sebanyak $m$ cara atau cara kedua sebanyak $n$ cara, dan kedua cara itu tidak mungkin terjadi bersamaan, maka banyak seluruh cara adalah $m+n$.

Aturan Perkalian (kata kunci: "dan", "kemudian", "tahap demi tahap"). Jika tahap pertama dapat dilakukan dengan $m$ cara dan untuk setiap cara itu tahap kedua dapat dilakukan dengan $n$ cara, maka banyak seluruh cara adalah $m\times n$.

Simulasi A: Memilih satu kegiatan (penjumlahan)

Dina hanya boleh mengikuti satu kegiatan ekstrakurikuler: satu kegiatan olahraga atau satu kegiatan seni.

Kegiatan olahraga ($m$):

Kegiatan seni ($n$):

Simulasi B: Memadukan pakaian (perkalian)

Satu stel seragam terdiri dari satu atasan dan satu bawahan. Setiap atasan dapat dipadukan dengan semua bawahan.

Banyak atasan ($m$):

Banyak bawahan ($n$):

Contoh Soal

Contoh 1 (penjumlahan)

Perpustakaan memiliki 5 buku Matematika, 4 buku Fisika, dan 3 buku Kimia. Dina meminjam satu buku saja. Berapa banyak pilihan Dina?

$$\begin{aligned}\text{Banyak cara}&=5+4+3\\&=12\end{aligned}$$

Contoh 2 (perkalian)

Kantin menyediakan 4 jenis makanan dan 3 jenis minuman. Paket terdiri dari 1 makanan dan 1 minuman. Berapa banyak paket berbeda?

$$\begin{aligned}\text{Banyak paket}&=4\times3\\&=12\end{aligned}$$

Contoh 3 (gabungan)

Dari kota A ke kota C dapat melalui kota B: A ke B ada 3 jalan, B ke C ada 4 jalan. Selain itu ada 2 jalan tol langsung dari A ke C. Berapa banyak rute dari A ke C?

$$\begin{aligned}\text{Lewat B}&=3\times4=12\\\text{Lewat tol}&=2\\\text{Total rute}&=12+2=14\end{aligned}$$

Di dalam satu rute: tahap demi tahap, jadi dikali. Antar jenis rute: pilih salah satu, jadi dijumlah.

Kuis Cepat: Dijumlah atau Dikali?

2. Diagram Pohon dan Pengisian Tempat

Diagram pohon menggambarkan semua kemungkinan secara bertahap: setiap cabang adalah satu pilihan, dan setiap lintasan dari akar sampai ujung adalah satu hasil. Pengisian tempat adalah cara singkat: gambar kotak untuk tiap tahap, tulis banyak pilihan di tiap kotak, lalu kalikan.

Simulasi C: Diagram pohon menu kantin

Pilihan makanan:

Pilihan minuman:

Tambah tahap 3: kerupuk atau polos

Simulasi D: Pengisian tempat pada kode akses

Kode akses disusun dari angka 0 sampai 9 (ada 10 angka). Atur panjang kode dan syaratnya, lalu lihat kotak-kotak pengisian tempat.

Panjang kode (banyak tempat)2345

Pengulangan angkaBoleh berulangTidak boleh berulang

Syarat tambahanTanpa syaratAngka pertama bukan 0Angka terakhir ganjilPertama bukan 0 dan terakhir ganjil

Contoh Soal

Contoh 1

Berapa banyak bilangan 3 angka yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5 jika angka boleh berulang?

$$\begin{aligned}\text{Ratusan}\times\text{Puluhan}\times\text{Satuan}&=5\times5\times5\\&=125\end{aligned}$$

Contoh 2

Berapa banyak bilangan genap 3 angka berbeda yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5?

Isi dulu tempat yang bersyarat, yaitu satuan (genap: 2 atau 4), baru tempat lainnya.

$$\begin{aligned}\text{Satuan}&=2\text{ cara}\\\text{Ratusan}&=4\text{ cara (sisa angka)}\\\text{Puluhan}&=3\text{ cara}\\\text{Banyak bilangan}&=2\times4\times3=24\end{aligned}$$

Contoh 3

Berapa banyak bilangan ratusan yang dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4 tanpa pengulangan?

$$\begin{aligned}\text{Ratusan (bukan }0)&=4\\\text{Puluhan}&=4\text{ (termasuk }0\text{, tanpa angka ratusan)}\\\text{Satuan}&=3\\\text{Banyak bilangan}&=4\times4\times3=48\end{aligned}$$

3. Faktorial

Definisi. Untuk bilangan asli $n$, $n$ faktorial ditulis $n!$ adalah hasil kali semua bilangan asli dari $n$ turun sampai $1$:

$$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1$$

Didefinisikan juga $0!=1$ dan $1!=1$.

Simulasi E: Menghitung $n!$

Nilai $n$:

Simulasi F: Mengapa $0!=1$?

Gunakan pola $n!=\dfrac{(n+1)!}{n+1}$. Tekan tombol untuk menurunkan nilai $n$ satu per satu.

Simulasi G: Menyederhanakan $\dfrac{a!}{b!}$

$a$ =$b$ =

Contoh Soal

Contoh 1

Hitunglah $\dfrac{8!}{6!}$.

$$\begin{aligned}\frac{8!}{6!}&=\frac{8\times7\times6!}{6!}\\&=8\times7\\&=56\end{aligned}$$

Contoh 2

Hitunglah $\dfrac{10!}{7!\,3!}$.

$$\begin{aligned}\frac{10!}{7!\,3!}&=\frac{10\times9\times8\times7!}{7!\times3\times2\times1}\\&=\frac{720}{6}\\&=120\end{aligned}$$

Contoh 3 (bentuk aljabar)

Tentukan $n$ jika $\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12$.

$$\begin{aligned}\frac{(n+1)!}{(n-1)!}&=\frac{(n+1)\,n\,(n-1)!}{(n-1)!}\\(n+1)\,n&=12\\n^2+n-12&=0\\(n+4)(n-3)&=0\\n&=3\quad(n=-4\text{ ditolak, harus bilangan asli})\end{aligned}$$

4. Permutasi

Permutasi adalah susunan terurut dari unsur-unsur yang urutannya diperhitungkan (susunan $ABC$ berbeda dengan $BAC$). Banyak permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur berbeda:

$$P(n,r)={}_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

4A. Permutasi dari unsur-unsur berbeda

Simulasi H: Susunan pengurus kelas

Dari $n$ calon dipilih pengurus yang masing-masing punya jabatan berbeda. Urutan (jabatan) diperhitungkan.

Banyak calon ($n$):

Banyak jabatan ($r$):

Daftar susunan (singkatan = huruf pertama nama, urut sesuai jabatan):

Contoh 1

Dari 5 finalis lomba pidato ditetapkan juara 1, 2, dan 3. Berapa banyak kemungkinan susunan juara?

$$\begin{aligned}P(5,3)&=\frac{5!}{2!}\\&=5\times4\times3\\&=60\end{aligned}$$

Contoh 2

Lima buku berbeda disusun pada satu rak. Berapa cara menyusunnya? Ini kasus $r=n$, sehingga $P(n,n)=n!$.

$$\begin{aligned}P(5,5)&=\frac{5!}{0!}\\&=5!\\&=120\end{aligned}$$

4B. Permutasi dengan unsur yang sama

Jika dari $n$ unsur terdapat $k_1$ unsur sama jenis pertama, $k_2$ unsur sama jenis kedua, dan seterusnya, maka banyak permutasinya:

$$P=\frac{n!}{k_1!\,k_2!\,k_3!\cdots}$$

Mengapa dibagi? Menukar dua huruf yang sama tidak menghasilkan susunan baru.

Simulasi I: Menyusun huruf (atau pola kode)

Ketik kata / kode (maks. 12 huruf):

Contoh 1

Berapa banyak susunan huruf dari kata KATAK?

$$\begin{aligned}n&=5,\ \text{K}=2,\ \text{A}=2,\ \text{T}=1\\P&=\frac{5!}{2!\,2!}\\&=\frac{120}{4}\\&=30\end{aligned}$$

Contoh 2

Sebuah deret bendera terdiri dari 3 bendera merah, 2 putih, dan 1 biru. Berapa banyak susunan deret berbeda?

$$\begin{aligned}P&=\frac{6!}{3!\,2!\,1!}\\&=\frac{720}{12}\\&=60\end{aligned}$$

4C. Permutasi melingkar (siklis)

Banyak cara menyusun $n$ unsur berbeda dalam lingkaran adalah

$$P_{siklis}=(n-1)!$$

Alasannya: pada susunan melingkar, memutar seluruh susunan tidak menghasilkan susunan baru. Satu susunan melingkar "dihitung" $n$ kali dalam $n!$, sehingga $\dfrac{n!}{n}=(n-1)!$.

Simulasi J: Duduk melingkar

Banyak orang ($n$):

Contoh 1

Lima orang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak susunan duduknya?

$$\begin{aligned}P_{siklis}&=(5-1)!\\&=4!\\&=24\end{aligned}$$

Contoh 2 (dua orang harus berdampingan)

Lima orang duduk melingkar. Dua orang tertentu harus selalu berdampingan. Anggap keduanya satu "blok", sehingga ada 4 unit yang diatur melingkar, lalu kalikan $2!$ untuk urutan di dalam blok.

$$\begin{aligned}\text{Banyak susunan}&=(4-1)!\times2!\\&=6\times2\\&=12\end{aligned}$$

5. Kombinasi

Kombinasi adalah cara memilih $r$ unsur dari $n$ unsur berbeda tanpa memperhatikan urutan (kelompok $\{A,B,C\}$ sama dengan $\{B,A,C\}$).

$$C(n,r)={}_nC_r=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Hubungan dengan permutasi: $C(n,r)=\dfrac{P(n,r)}{r!}$. Sifat: $C(n,r)=C(n,n-r)$.

Simulasi K: Memilih delegasi

Pilih $r$ orang dari $n$ siswa untuk menjadi delegasi lomba. Klik nama siswa untuk memilih.

Banyak siswa ($n$):

Anggota delegasi ($r$):

Semua kemungkinan delegasi (yang sesuai pilihanmu disorot):

Tabel $C(n,r)$ (sel oranye = nilai saat ini):

Contoh Soal

Contoh 1

Dari 10 siswa dipilih 3 orang sebagai tim cerdas cermat. Berapa banyak cara memilihnya?

$$\begin{aligned}C(10,3)&=\frac{10!}{3!\,7!}\\&=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}\\&=120\end{aligned}$$

Contoh 2 (sifat simetri)

Hitunglah $C(10,8)$.

$$\begin{aligned}C(10,8)&=C(10,2)\\&=\frac{10\times9}{2\times1}\\&=45\end{aligned}$$

Contoh 3 (kombinasi bertahap)

Dari 6 siswa putra dan 4 siswa putri dibentuk tim 5 orang yang terdiri dari 3 putra dan 2 putri. Berapa banyak tim yang mungkin?

$$\begin{aligned}\text{Banyak tim}&=C(6,3)\times C(4,2)\\&=20\times6\\&=120\end{aligned}$$

Contoh 4

Enam tim sepak bola bertanding satu putaran (setiap dua tim bertemu sekali). Berapa banyak pertandingan?

$$\begin{aligned}C(6,2)&=\frac{6\times5}{2\times1}\\&=15\end{aligned}$$

6. Memilih: Permutasi atau Kombinasi?

Pertanyaan kunci: "Jika dua orang saling bertukar tempat/jabatan, apakah hasilnya dianggap berbeda?" Ya berarti urutan diperhitungkan, gunakan permutasi. Tidak berarti urutan tidak penting, gunakan kombinasi.

Simulasi L: Bandingkan P dan C

Banyak unsur ($n$):

Diambil ($r$):

Kuis: Permutasi atau Kombinasi?

7. Penyelesaian Masalah Kontekstual (Soal Cerita)

Strategi 4 langkah: (1) tulis yang diketahui dan ditanyakan, (2) tentukan jenis: jumlah, kali, permutasi, atau kombinasi, (3) tulis syarat khusus, isi dulu yang bersyarat, (4) hitung dan periksa kewajaran. Klik tombol untuk membuka langkah satu per satu.

8. Soal Pemancing

Kerjakan dulu di buku coretan. Ketik jawaban (angka saja), klik Cek, lalu buka Pembahasan.