Integral adalah salah satu konsep paling berguna dalam kalkulus, karena menghubungkan turunan dengan penjumlahan dari banyak bagian kecil. Dengan integral, kita dapat menghitung luas daerah di bawah kurva, jarak tempuh dari kecepatan yang berubah, hingga total biaya produksi dan banyaknya obat yang masuk ke tubuh pasien.
Pada simulasi interaktif ini, kamu akan mempelajari integral tak tentu, integral tentu, dan penerapannya melalui grafik yang dapat diubah-ubah, contoh soal, serta soal cerita. Geser slider, amati perubahan grafiknya, lalu buka pembahasan untuk memeriksa pemahamanmu.
Simulasi Interaktif: Integral
Matematika Tingkat Lanjut – SMA. Geser slider, ubah pilihan, dan buka tombol pembahasan untuk belajar langkah demi langkah.
1. Pengertian Integral
Integral punya dua wajah yang ternyata saling berhubungan:
Kebalikan dari turunan. Jika \(F'(x)=f(x)\), maka \(F\) disebut antiturunan dari \(f\). Contoh: turunan \(x^3\) adalah \(3x^2\), maka antiturunan \(3x^2\) adalah \(x^3\).
Menjumlahkan banyak potongan kecil, misalnya luas banyak persegi panjang tipis, jarak dari banyak kecepatan sesaat, atau total biaya dari banyak biaya tambahan.
Ide besarnya: Teorema Dasar Kalkulus (bagian 3) menyatakan bahwa kedua wajah di atas adalah hal yang sama. Menghitung luas cukup dengan mencari antiturunan!
2. Integral Tak Tentu
Mengapa ada \(+C\)? Karena turunan konstanta adalah 0. Fungsi \(x^2+1\), \(x^2-5\), dan \(x^2\) semuanya memiliki turunan \(2x\).
Perhatikan: semua kurva hanya bergeser naik/turun, sehingga kemiringan di setiap nilai \(x\) sama. Itulah mengapa antiturunan tidak tunggal.
Rumus dan Sifat-Sifat
| Aturan | Rumus |
|---|---|
| Konstanta | \(\int k\,dx = kx + C\) |
| Pangkat | \(\int x^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C,\; n\neq -1\) |
| Pengali konstanta | \(\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx\) |
| Jumlah/selisih | \(\int [f(x)\pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\) |
| Fungsi linear berpangkat | \(\int (ax+b)^n\,dx = \dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C\) |
Contoh Soal
Contoh 1: Integral suku banyak
Tentukan \(\int (4x^3-6x^2+2x-7)\,dx\).
$$\begin{aligned}\int (4x^3-6x^2+2x-7)\,dx &= \dfrac{4}{4}x^4-\dfrac{6}{3}x^3+\dfrac{2}{2}x^2-7x+C\\ &= x^4-2x^3+x^2-7x+C\end{aligned}$$Contoh 2: Bentuk akar dan pecahan
Tentukan \(\int \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)dx\).
$$\begin{aligned}\int \left(x^{1/2}+x^{-2}\right)dx &= \dfrac{x^{3/2}}{3/2}+\dfrac{x^{-1}}{-1}+C\\ &= \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}+C\end{aligned}$$Contoh 3: Fungsi linear berpangkat
Tentukan \(\int (3x-1)^4\,dx\).
$$\begin{aligned}\int (3x-1)^4\,dx &= \dfrac{1}{3\cdot 5}(3x-1)^5+C\\ &= \dfrac{1}{15}(3x-1)^5+C\end{aligned}$$Contoh 4: Mencari fungsi dari turunannya (nilai C ditentukan)
Gradien garis singgung kurva \(y=f(x)\) adalah \(f'(x)=6x-4\), dan kurva melalui titik \((1,\,5)\). Tentukan \(f(x)\).
$$\begin{aligned}f(x)&=\int (6x-4)\,dx = 3x^2-4x+C\\ f(1)=5 &\Rightarrow 3-4+C=5\Rightarrow C=6\\ f(x)&=3x^2-4x+6\end{aligned}$$3. Integral Tentu
3.1 Jumlahan Riemann
Untuk menghitung luas di bawah kurva \(y=f(x)\) dari \(x=a\) sampai \(x=b\), bagi daerah menjadi \(n\) persegi panjang tipis dengan lebar \(\Delta x=\dfrac{b-a}{n}\). Jumlah luas persegi panjang disebut jumlahan Riemann:
$$R_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$Titik \(x_i^*\) bisa titik kiri, kanan, atau tengah tiap selang. Makin besar \(n\), makin akurat hasilnya.
3.2 Definisi Integral Tentu
3.3 Sifat-Sifat Integral Tentu
| Sifat | Rumus |
|---|---|
| Batas sama | \(\int_a^a f(x)\,dx=0\) |
| Tukar batas | \(\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\) |
| Pengali konstanta | \(\int_a^b k f(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx\) |
| Jumlah/selisih | \(\int_a^b [f\pm g]\,dx=\int_a^b f\,dx\pm\int_a^b g\,dx\) |
| Penjumlahan selang | \(\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx\) |
Contoh 5: Memakai sifat penjumlahan selang
Diketahui \(\int_1^6 f(x)\,dx=10\) dan \(\int_1^4 f(x)\,dx=3\). Hitung \(\int_4^6 f(x)\,dx\) dan \(\int_6^1 2f(x)\,dx\).
$$\begin{aligned}\int_4^6 f\,dx &= \int_1^6 f\,dx-\int_1^4 f\,dx = 10-3=7\\ \int_6^1 2f\,dx &= -2\int_1^6 f\,dx=-2(10)=-20\end{aligned}$$3.4 Teorema Dasar Kalkulus
Bandingkan dengan Lab 2: untuk \(f(x)=x^2\) pada \([0,3]\), nilai eksaknya \(\left[\tfrac{1}{3}x^3\right]_0^3=9\). Geser \(n\) hingga jumlahan Riemann mendekati 9.
Contoh 6: Menghitung integral tentu
Hitung \(\int_1^3 (2x+3)\,dx\).
$$\begin{aligned}\int_1^3 (2x+3)\,dx &= \Big[x^2+3x\Big]_1^3\\ &= (9+9)-(1+3)\\ &= 18-4=14\end{aligned}$$Contoh 7: Integral dengan pecahan dan akar
Hitung \(\int_1^4 \dfrac{x+2}{\sqrt{x}}\,dx\).
$$\begin{aligned}\int_1^4 \left(x^{1/2}+2x^{-1/2}\right)dx &= \Big[\tfrac{2}{3}x^{3/2}+4x^{1/2}\Big]_1^4\\ &= \left(\tfrac{16}{3}+8\right)-\left(\tfrac{2}{3}+4\right)\\ &= \tfrac{14}{3}+4=\tfrac{26}{3}\end{aligned}$$4. Penerapan: Luas Daerah pada Kurva
Hijau = di atas sumbu-x (positif), merah = di bawah sumbu-x (negatif). Coba a = 0, b = 4: integral tentunya \(\tfrac{4}{3}\) padahal luas totalnya \(4\).
Luas daerah di antara dua kurva
Contoh 8: Luas di antara \(y=x\) dan \(y=x^2\) (gambar di atas)
Titik potong: \(x=x^2\Rightarrow x=0\) atau \(x=1\). Pada \([0,1]\), \(y=x\) berada di atas.
$$\begin{aligned}L &= \int_0^1 (x-x^2)\,dx=\Big[\tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{1}{3}x^3\Big]_0^1\\ &= \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}\ \text{satuan luas}\end{aligned}$$Contoh 9: Luas daerah di bawah sumbu-x
Hitung luas daerah yang dibatasi \(y=x^2-4x+3\) dan sumbu-x pada \([1,3]\). Pada selang ini kurva di bawah sumbu-x.
$$\begin{aligned}L &= \left|\int_1^3 (x^2-4x+3)\,dx\right| = \left|\Big[\tfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x\Big]_1^3\right|\\ &= \left|(9-18+9)-\left(\tfrac{1}{3}-2+3\right)\right|=\left|-\tfrac{4}{3}\right|=\tfrac{4}{3}\end{aligned}$$5. Aplikasi Integral & Soal Cerita
Pola umumnya: laju perubahan diintegralkan menjadi total perubahan. Luas di bawah grafik laju = total yang terkumpul.
5.1 Ekonomi dan Bisnis
Biaya marginal \(MC\) (tambahan biaya tiap unit) diintegralkan menjadi biaya total: \(TC(q)=\int MC\,dq\), dengan konstanta \(C\) = biaya tetap. Hal serupa berlaku untuk pendapatan marginal \(MR\) dan pendapatan total \(R\).
Soal cerita 1 (Bisnis)
Sebuah toko kue memiliki biaya marginal \(MC=2q+10\) (ribu rupiah per kue) dan biaya tetap Rp100 ribu. Berapa biaya total memproduksi 20 kue, dan berapa tambahan biaya jika produksi naik dari 10 menjadi 20 kue?
$$\begin{aligned}TC(q) &= \int (2q+10)\,dq = q^2+10q+100\\ TC(20) &= 400+200+100 = 700\\ \Delta TC &= \int_{10}^{20}(2q+10)\,dq=\Big[q^2+10q\Big]_{10}^{20}=600-200=400\end{aligned}$$Biaya total 20 kue = Rp700 ribu; tambahan biaya = Rp400 ribu.
5.2 Fisika
Kecepatan adalah turunan posisi, jadi perpindahan \(=\int v\,dt\). Karena itu \(a(t)\xrightarrow{\int}v(t)\xrightarrow{\int}s(t)\). Jarak tempuh = integral dari \(|v|\).
Setelah t = 6 s kecepatan negatif: benda berbalik arah. Perpindahan lalu berkurang, tetapi jarak tempuh terus bertambah.
Soal cerita 2 (Fisika)
Sebuah motor mulai bergerak dari \(s=0\) dengan percepatan \(a(t)=6t\) m/s2 dan kecepatan awal 2 m/s. Tentukan posisinya saat \(t=3\) s.
$$\begin{aligned}v(t) &= \int 6t\,dt = 3t^2+C,\; v(0)=2\Rightarrow C=2\\ s(t) &= \int (3t^2+2)\,dt = t^3+2t+C,\; s(0)=0\Rightarrow C=0\\ s(3) &= 27+6 = 33\ \text{m}\end{aligned}$$5.3 Kesehatan
Jika laju masuknya obat ke tubuh adalah \(r(t)\) mg/jam, maka total obat yang masuk selama \(t\) jam adalah \(\int_0^t r(s)\,ds\). Konsep sama dipakai untuk laju infus, laju penyebaran penyakit, dan debit darah.
Soal cerita 3 (Kesehatan)
Pada pasien, laju penyerapan obat adalah \(r(t)=8t-t^2\) mg/jam, \(0\le t\le 8\). Berapa mg obat terserap pada jam ke-2 sampai ke-6, dan berapa total selama 8 jam?
$$\begin{aligned}\int_2^6 (8t-t^2)\,dt &= \Big[4t^2-\tfrac{1}{3}t^3\Big]_2^6\\ &= (144-72)-\left(16-\tfrac{8}{3}\right)=58\tfrac{2}{3}\ \text{mg}\\ \int_0^8 (8t-t^2)\,dt &= 256-\tfrac{512}{3}=\tfrac{256}{3}\approx 85{,}3\ \text{mg}\end{aligned}$$6. Latihan: 8 Soal Pemancing
Coba kerjakan di buku dulu, baru buka pembahasannya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar