Pernahkah kamu menghitung biaya taksi online, memperkirakan tinggi gondola bianglala, atau bertanya berapa lama bakteri berkembang hingga jumlahnya berlipat? Semua itu bisa dijawab dengan fungsi. Pada simulasi ini kamu akan menjelajahi fungsi aljabar, trigonometri, dan logaritma dengan menggeser slider dan mengamati perubahan grafiknya secara langsung. Setelah itu, kamu akan menggunakannya untuk memodelkan dan menyelesaikan soal cerita dalam kehidupan sehari-hari. Selamat belajar!
Simulasi interaktif Matematika SMA: fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dan penyelesaian soal cerita.
Geser slider, ubah pilihan, lalu amati bagaimana rumus dan grafik berubah.
Apa itu fungsi?
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap nilai x pada daerah asal (domain) dengan tepat satu nilai y pada daerah hasil (range). Pikirkan fungsi sebagai sebuah mesin: masukan x diproses oleh aturan f, lalu keluar hasil f(x).
Mesin Fungsi
Coba: pilih √x lalu geser x ke nilai negatif. Mesin “macet” karena x tidak berada di domain fungsi. Itulah sebabnya kita selalu memeriksa domain.
Peta materi
Fungsi Aljabar
Linear, kuadrat, akar, dan rasional. Fokus: gradien, titik potong, titik puncak, domain dan range.
Fungsi Trigonometri
Sinus, kosinus, tangen. Fokus: amplitudo, periode, pergeseran, dan garis tengah.
Fungsi Logaritma
Hubungan dengan eksponen, sifat logaritma, dan grafik. Fokus: domain, asimtot, dan invers.
Langkah pemodelan matematika
Dalam soal cerita, kita mengubah situasi nyata menjadi model matematika. Ikuti empat langkah ini:
Apa yang diketahui dan ditanyakan? Tentukan variabel bebas dan variabel terikat.
Pilih jenis fungsi yang cocok, lalu tulis rumusnya.
Hitung dengan model, misalnya mencari nilai fungsi, titik puncak, atau akar.
Kembalikan hasil ke konteks soal. Periksa satuan dan apakah hasilnya masuk akal.
Fungsi Aljabar
1. Fungsi Linear
Bentuk umum
\(f(x)=mx+c\), dengan \(m\) = gradien (kemiringan) dan \(c\) = titik potong sumbu-\(y\).Gradien dua titik: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Simulasi grafik fungsi linear
Amati: ubah m menjadi negatif. Grafik berubah dari naik menjadi turun. Ubah c, maka grafik bergeser naik atau turun tanpa mengubah kemiringannya.
Contoh 1: Menentukan fungsi dari dua titik
Tentukan fungsi linear yang grafiknya melalui titik \((2,3)\) dan \((6,11)\).
\[\begin{aligned} m&=\frac{11-3}{6-2}=\frac{8}{4}=2\\ y-y_1&=m(x-x_1)\\ y-3&=2(x-2)\\ y&=2x-4+3\\ f(x)&=2x-1 \end{aligned}\]Contoh 2: Titik potong dengan sumbu
Tentukan titik potong grafik \(f(x)=-3x+12\) dengan sumbu-\(x\) dan sumbu-\(y\).
\[\begin{aligned} \text{Sumbu-}y\ (x=0):\ f(0)&=-3(0)+12=12\Rightarrow(0,12)\\ \text{Sumbu-}x\ (f(x)=0):\ -3x+12&=0\\ -3x&=-12\\ x&=4\Rightarrow(4,0) \end{aligned}\]2. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum dan unsur-unsurnya
\(f(x)=ax^2+bx+c,\ a\neq 0\)Diskriminan \(D=b^2-4ac\). Sumbu simetri \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Titik puncak \(\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{D}{4a}\right)\).
\(D\gt 0\): memotong sumbu-\(x\) di dua titik. \(D=0\): menyinggung. \(D\lt 0\): tidak memotong.
Simulasi parabola
Amati: titik merah adalah titik puncak, titik hijau adalah titik potong sumbu-x, dan titik oranye adalah titik potong sumbu-y. Coba buat D negatif, maka parabola “melayang” tidak menyentuh sumbu-x.
Contoh 1: Akar dan titik puncak
Tentukan titik potong sumbu dan titik puncak \(f(x)=x^2-4x-5\).
\[\begin{aligned} x^2-4x-5&=0\\ (x-5)(x+1)&=0\\ x&=5\ \text{atau}\ x=-1\\ x_p&=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2(1)}=2\\ y_p&=f(2)=4-8-5=-9 \end{aligned}\] Titik potong sumbu-\(x\): \((-1,0)\) dan \((5,0)\). Titik potong sumbu-\(y\): \((0,-5)\). Titik puncak (minimum): \((2,-9)\).Contoh 2: Menyusun fungsi dari titik puncak
Parabola memiliki titik puncak \((2,-1)\) dan melalui \((0,3)\). Tentukan fungsinya.
\[\begin{aligned} f(x)&=a(x-2)^2-1\\ 3&=a(0-2)^2-1\\ 3&=4a-1\Rightarrow a=1\\ f(x)&=(x-2)^2-1\\ &=x^2-4x+3 \end{aligned}\]Contoh 3: Syarat diskriminan
Tentukan nilai \(k\) agar grafik \(f(x)=x^2+2x+k\) selalu berada di atas sumbu-\(x\).
\[\begin{aligned} D&\lt 0\\ 2^2-4(1)(k)&\lt 0\\ 4-4k&\lt 0\\ k&\gt 1 \end{aligned}\] Karena \(a=1\gt 0\) (terbuka ke atas) dan \(D\lt 0\), grafik tidak menyentuh sumbu-\(x\) jika \(k\gt 1\).3. Fungsi Akar dan Fungsi Rasional
Bentuk yang dipelajari
Fungsi akar: \(f(x)=k\sqrt{x-p}+q\). Domain: \(x\ge p\).Fungsi rasional: \(f(x)=\dfrac{k}{x-p}+q\). Domain: \(x\neq p\). Asimtot tegak \(x=p\), asimtot datar \(y=q\).
Simulasi fungsi akar dan rasional
Contoh: Domain dan range
Tentukan domain dan range dari \(f(x)=2\sqrt{x-3}+1\) dan \(g(x)=\dfrac{3}{x+2}-1\).
\[\begin{aligned} f:\ x-3&\ge 0\Rightarrow x\ge 3\\ \sqrt{x-3}&\ge 0\Rightarrow 2\sqrt{x-3}+1\ge 1\\ D_f&=\{x\mid x\ge 3\},\quad R_f=\{y\mid y\ge 1\} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} g:\ x+2&\neq 0\Rightarrow x\neq -2\\ \frac{3}{x+2}&\neq 0\Rightarrow g(x)\neq -1\\ D_g&=\{x\mid x\neq -2\},\quad R_g=\{y\mid y\neq -1\} \end{aligned}\]Fungsi Trigonometri
1. Lingkaran satuan
Pada lingkaran satuan (jari-jari 1), titik P berkoordinat \((\cos\theta,\ \sin\theta)\). Geser sudut dan lihat bagaimana nilai sinus (oranye) dan kosinus (biru) terbentuk.
Lingkaran satuan
Grafik y = sin θ (merah) dan y = cos θ (biru putus-putus)
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac12\sqrt2\) | \(\frac12\sqrt3\) | \(1\) |
| cos θ | \(1\) | \(\frac12\sqrt3\) | \(\frac12\sqrt2\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| tan θ | \(0\) | \(\frac13\sqrt3\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | tak terdefinisi |
2. Bentuk umum fungsi trigonometri
Bentuk umum
\(y=A\sin B(x-C)+D\) atau \(y=A\cos B(x-C)+D\)Amplitudo \(=|A|\). Periode \(=\dfrac{360^\circ}{B}\) atau \(\dfrac{2\pi}{B}\). Pergeseran fase \(=C\) (ke kanan jika \(C\gt 0\)). Garis tengah \(y=D\).
Nilai maksimum \(=D+|A|\), nilai minimum \(=D-|A|\).
Untuk \(y=A\tan B(x-C)+D\): periode \(=\dfrac{180^\circ}{B}\) dan tidak ada amplitudo.
Simulasi grafik trigonometri
Fungsi
Satuan sumbu-x
Amati: A mengubah tinggi gelombang, B mengubah kerapatan (periode), C menggeser ke kiri atau kanan, dan D menggeser ke atas atau bawah. Coba A negatif, maka grafik terbalik terhadap garis tengah.
Contoh 1: Membaca unsur grafik
Tentukan amplitudo, periode, pergeseran fase, garis tengah, nilai maksimum dan minimum dari \(f(x)=3\sin(2x-60^\circ)+1\).
\[\begin{aligned} f(x)&=3\sin 2(x-30^\circ)+1\\ A=3&\Rightarrow\text{amplitudo}=3\\ B=2&\Rightarrow\text{periode}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\\ C=30^\circ&\Rightarrow\text{bergeser }30^\circ\text{ ke kanan}\\ D=1&\Rightarrow\text{garis tengah }y=1\\ y_{maks}&=1+3=4,\quad y_{min}=1-3=-2 \end{aligned}\]Contoh 2: Menyusun persamaan dari grafik
Grafik fungsi kosinus memiliki nilai maksimum 5, minimum \(-1\), dan periode \(120^\circ\). Tentukan persamaannya.
\[\begin{aligned} A&=\frac{5-(-1)}{2}=3\\ D&=\frac{5+(-1)}{2}=2\\ B&=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3\\ y&=3\cos 3x+2 \end{aligned}\]Contoh 3: Menyelesaikan persamaan trigonometri
Tentukan \(x\) pada \(0^\circ\le x\le 360^\circ\) yang memenuhi \(2\sin x-\sqrt3=0\).
\[\begin{aligned} 2\sin x-\sqrt3&=0\\ \sin x&=\frac12\sqrt3\\ \sin x&=\sin 60^\circ\\ x&=60^\circ\ \text{atau}\ x=180^\circ-60^\circ=120^\circ \end{aligned}\] Himpunan penyelesaian: \(\{60^\circ,\ 120^\circ\}\).Fungsi Logaritma
1. Logaritma adalah kebalikan eksponen
Definisi
\({}^{a}\log b=c\ \Longleftrightarrow\ a^c=b\), dengan \(a\gt 0,\ a\neq 1,\ b\gt 0\).Ubah bentuk eksponen ↔ logaritma
Bilangan pokok a
Sifat-sifat logaritma
\({}^{a}\log (bc)={}^{a}\log b+{}^{a}\log c\)\({}^{a}\log \dfrac{b}{c}={}^{a}\log b-{}^{a}\log c\)
\({}^{a}\log b^n=n\cdot{}^{a}\log b\)
\({}^{a}\log b=\dfrac{{}^{c}\log b}{{}^{c}\log a}\), \({}^{a}\log a=1\), \({}^{a}\log 1=0\)
Contoh 1: Menyederhanakan bentuk logaritma
Hitunglah \({}^{2}\log 24+{}^{2}\log 6-{}^{2}\log 9\).
\[\begin{aligned} {}^{2}\log 24+{}^{2}\log 6-{}^{2}\log 9&={}^{2}\log\frac{24\times 6}{9}\\ &={}^{2}\log 16\\ &={}^{2}\log 2^4=4 \end{aligned}\]2. Grafik fungsi logaritma
Bentuk yang dipelajari
\(f(x)={}^{a}\log (x-p)+q\). Domain \(x\gt p\). Asimtot tegak \(x=p\). Range: semua bilangan real.Jika \(a\gt 1\) grafik naik. Jika \(0\lt a\lt 1\) grafik turun.
Simulasi grafik logaritma
Bilangan pokok a
Amati: centang invers. Grafik logaritma (merah) dan grafik eksponen (oranye) saling bercermin terhadap garis y = x. Itu tandanya keduanya fungsi invers.
Contoh 2: Sketsa grafik
Tentukan domain, asimtot, dan titik potong sumbu-\(x\) dari \(f(x)={}^{2}\log(x-1)+2\).
\[\begin{aligned} x-1&\gt 0\Rightarrow x\gt 1\\ \text{Asimtot tegak: }&x=1\\ f(x)&=0\\ {}^{2}\log(x-1)&=-2\\ x-1&=2^{-2}=\frac14\\ x&=\frac54 \end{aligned}\] Domain \(\{x\mid x\gt 1\}\), asimtot \(x=1\), memotong sumbu-\(x\) di \(\left(\frac54,0\right)\). Titik bantu: \((2,2)\) dan \((3,3)\).Contoh 3: Persamaan logaritma
Tentukan penyelesaian \({}^{2}\log(x+2)+{}^{2}\log(x-1)=2\).
\[\begin{aligned} {}^{2}\log\big[(x+2)(x-1)\big]&=2\\ (x+2)(x-1)&=2^2=4\\ x^2+x-2&=4\\ x^2+x-6&=0\\ (x+3)(x-2)&=0\\ x&=-3\ \text{atau}\ x=2 \end{aligned}\] Syarat numerus: \(x+2\gt 0\) dan \(x-1\gt 0\), sehingga \(x\gt 1\). Jadi penyelesaiannya hanya \(x=2\).Penyelesaian Soal Cerita (Pemodelan)
Setiap simulasi di bawah memuat satu situasi nyata. Ubah nilai-nilainya, lihat model dan grafiknya, lalu buka penyelesaian lengkapnya.
A. Tarif taksi (fungsi linear)
Sebuah taksi online mengenakan biaya awal tertentu ditambah tarif tetap per kilometer. Berapa biaya perjalanan sejauh x km, dan berapa km paling jauh yang bisa ditempuh dengan sejumlah uang?
Lihat penyelesaian (nilai awal simulasi)
B. Luas kebun maksimum (fungsi kuadrat)
Pak Ahmad memiliki pagar kawat sepanjang 40 m untuk mengelilingi kebun berbentuk persegi panjang. Satu sisi kebun memanfaatkan dinding, sehingga pagar hanya dipasang di tiga sisi. Berapa ukuran kebun agar luasnya maksimum?
Lihat penyelesaian
C. Bianglala (fungsi trigonometri)
Bianglala berjari-jari 20 m, poros berada 22 m di atas tanah, sehingga titik terendahnya 2 m dari tanah. Gondola mulai dari titik terendah dan satu putaran penuh memerlukan waktu T detik. Kapan gondola berada pada ketinggian tertentu?
Lihat penyelesaian (nilai awal: T = 40 s, H = 32 m)
D. Pertumbuhan bakteri (fungsi logaritma)
Bakteri membelah menjadi dua setiap d jam, sehingga jumlahnya \(N(t)=N_0\cdot 2^{t/d}\). Berapa lama sampai jumlahnya menjadi sekian kali lipat? Persoalan mencari pangkat seperti ini diselesaikan dengan logaritma.
Target (kelipatan jumlah awal)
Lihat penyelesaian (nilai awal: d = 3 jam, target 100 kali)
E. Derajat keasaman pH (fungsi logaritma)
Derajat keasaman larutan dirumuskan \(\text{pH}=-\log[\text{H}^+]\), dengan \([\text{H}^+]\) konsentrasi ion hidrogen (mol/L). Geser pH dan lihat konsentrasi ion hidrogennya.
Lihat penyelesaian contoh
Larutan A memiliki \([\text{H}^+]=10^{-3}\) mol/L, larutan B memiliki pH 5. Tentukan pH A, dan berapa kali lebih asam A dibanding B?
\[\begin{aligned} \text{pH}_A&=-\log 10^{-3}=3\\ [\text{H}^+]_B&=10^{-5}\\ \frac{[\text{H}^+]_A}{[\text{H}^+]_B}&=\frac{10^{-3}}{10^{-5}}=10^{2}=100 \end{aligned}\] Larutan A memiliki pH 3 dan 100 kali lebih asam daripada B. Selisih satu satuan pH berarti perbedaan sepuluh kali lipat.Soal Pemancing dan Pembahasan
Kerjakan dulu di buku coretan, lalu buka pembahasan untuk mencocokkan jawabanmu.
Soal 1Fungsi linear
Sebuah percobaan mencatat suhu air saat dipanaskan. Pada menit ke-2 suhunya 30°C dan pada menit ke-6 suhunya 50°C. Suhu naik secara linear. (a) Tentukan model T(t). (b) Pada menit ke berapa air mencapai 100°C?
Pembahasan
Soal 2Fungsi kuadrat
Sebuah bola ditendang ke atas. Tingginya dinyatakan \(h(t)=-5t^2+20t\) (meter) dengan \(t\) dalam detik. (a) Kapan bola mencapai tinggi maksimum dan berapa tingginya? (b) Kapan bola kembali ke tanah?
Pembahasan
Soal 3Fungsi kuadrat
Keuntungan harian sebuah toko kue dinyatakan \(P(x)=-2x^2+80x-600\) (dalam ribu rupiah), dengan \(x\) banyak kue yang terjual (dalam lusin). (a) Berapa lusin agar keuntungan maksimum dan berapa keuntungannya? (b) Pada penjualan berapa lusin toko mulai untung (titik impas)?
Pembahasan
Soal 4Fungsi rasional
Sebuah mobil menempuh jarak 120 km. Waktu tempuhnya \(t(v)=\dfrac{120}{v}\) jam, dengan \(v\) kecepatan rata-rata (km/jam). (a) Berapa waktu tempuh jika \(v=60\)? (b) Berapa kecepatan agar waktu tempuh 1,5 jam? (c) Mengapa \(v\) tidak boleh 0?
Pembahasan
Soal 5Fungsi trigonometri
Kedalaman air di sebuah pelabuhan dinyatakan \(d(t)=5+2\sin(30^\circ t)\) meter, dengan \(t\) dalam jam. (a) Tentukan periode, kedalaman maksimum, dan minimum. (b) Pada \(0\le t\le 12\), kapan kedalaman air 6 m?
Pembahasan
Soal 6Fungsi trigonometri
Sebuah bianglala berjari-jari 10 m, titik terendahnya 2 m di atas tanah, dan satu putaran penuh memerlukan 20 detik. Gondola mulai bergerak dari titik terendah. (a) Tentukan model tinggi gondola \(h(t)\). (b) Berapa tinggi gondola pada \(t=5\) detik? (c) Kapan gondola pertama kali berada pada ketinggian 17 m?
Pembahasan
Soal 7Fungsi logaritma
Tingkat intensitas bunyi dirumuskan \(L=10\log\dfrac{I}{I_0}\) dB. Satu mesin pabrik menghasilkan bunyi 80 dB. (a) Berapa dB jika 10 mesin identik dinyalakan bersamaan? (b) Berapa dB jika hanya 2 mesin (gunakan \(\log 2=0{,}3\))?
Pembahasan
Soal 8Fungsi logaritma
Uang Rp10.000.000 ditabung dengan bunga majemuk 10% per tahun, sehingga \(M(t)=10.000.000\,(1{,}1)^t\). Dalam berapa tahun uang menjadi dua kali lipat? (Gunakan \(\log 2=0{,}301\) dan \(\log 1{,}1=0{,}0414\).)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar