Eksponen dan Logaritma

Eksponen dan logaritma adalah dua konsep yang saling berkaitan dan sering muncul dalam pemodelan pertumbuhan penduduk, bunga majemuk, peluruhan zat radioaktif, hingga skala pH dan magnitudo gempa. Simulasi interaktif ini mengajak kamu menggeser slider dan melihat langsung perubahan rumus beserta grafiknya, mulai dari sifat-sifat eksponen, fungsi eksponen, bentuk akar, hingga logaritma dan penerapannya dalam soal cerita. Di bagian akhir tersedia 8 soal pemancing lengkap dengan pembahasan untuk menguji pemahamanmu.

Definisi dan Sifat-Sifat Eksponen

Untuk bilangan real \(a\) dan bilangan bulat positif \(n\): \(a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ faktor}}\). Bilangan \(a\) disebut basis dan \(n\) disebut eksponen. Juga berlaku \(a^{0}=1\ (a\neq0)\) dan \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\).

Contoh: \(2^{3}=2\times2\times2=8\); \(5^{0}=1\); \(3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac19\).

Coba sendiri: pilih sifat, geser nilai, lalu bandingkan batang ruas kiri dan ruas kanan.

Contoh: \(\begin{aligned}\dfrac{(2^{3})^{2}\times 2^{-1}}{2^{2}}&=\dfrac{2^{6}\times2^{-1}}{2^{2}}\\&=2^{6-1-2}\\&=2^{3}=8\end{aligned}\)

Fungsi Eksponen: Pertumbuhan dan Peluruhan

Fungsi eksponen berbentuk \(f(x)=a^{x}\) dengan \(a>0\) dan \(a\neq1\). Jika \(a>1\) grafik naik (pertumbuhan); jika \(0peluruhan). Grafik selalu melalui titik \((0,1)\).

Grafik \(y=a^{x}\)

Pertumbuhan Eksponen

Model: \(N=N_{0}\times a^{t}\) dengan \(a>1\). Contoh: 100 bakteri yang membelah dua tiap jam, \(N=100\times2^{t}\).

Peluruhan Eksponen

Model: \(M=M_{0}\left(\dfrac12\right)^{t/T}\) dengan \(T\) = waktu paruh. Contoh: zat 80 gram dengan \(T=5\) jam.

Contoh: Populasi 200 menjadi dua kali lipat tiap 4 hari. Setelah 12 hari: \(\begin{aligned}N&=200\times2^{12/4}\\&=200\times2^{3}\\&=1600\end{aligned}\)

Bentuk Akar

Hubungan Bilangan Pangkat dan Akar

\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\). Pembilang menjadi pangkat di dalam akar, penyebut menjadi indeks akar.

Contoh: \(8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4\); \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\); \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac13}\).

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan penyebut. Sekawan \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) adalah \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\), karena \((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\).

Contoh: \(\begin{aligned}\dfrac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}&=\dfrac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{7-3}\\&=\sqrt7+\sqrt3\end{aligned}\)

Logaritma

Logaritma adalah kebalikan eksponen: \(a^{x}=b\iff{}^{a}\log b=x\), dengan \(a>0,\ a\neq1,\ b>0\). Contoh: \(2^{3}=8\) maka \({}^{2}\log 8=3\).

Pangkat dan logaritma saling berkebalikan: kurva biru \(y=a^{x}\), kurva merah \(y={}^{a}\log x\), simetris terhadap garis \(y=x\).

Sifat-Sifat Logaritma

Contoh: \(\begin{aligned}{}^{3}\log 18+{}^{3}\log 6-{}^{3}\log 4&={}^{3}\log\dfrac{18\times6}{4}\\&={}^{3}\log 27\\&=3\end{aligned}\)   Sifat lain: \({}^{a}\log a=1\), \({}^{a}\log 1=0\), \(a^{{}^{a}\log b}=b\).

Penerapan Kontekstual dan Soal Cerita

Eksponen memodelkan pertumbuhan atau peluruhan; logaritma dipakai untuk mencari waktu atau eksponen yang belum diketahui.

1. Bunga Majemuk

Modal ditabung dengan \(M=M_{0}(1+i)^{t}\). Berapa hasilnya, dan kapan modal menjadi dua kali lipat?

2. Peluruhan Zat (Waktu Paruh)

Obat dalam darah meluruh dengan waktu paruh \(T\). Berapa yang tersisa, dan kapan tinggal 10%?

3. Derajat Keasaman (pH)

\(\text{pH}=-\log[H^{+}]\). Misalkan \([H^{+}]=c\times10^{-k}\) M.

8 Soal Pemancing

Kerjakan dulu di buku, lalu buka pembahasannya.

1. Sederhanakan \(\dfrac{2^{5}\times 4^{3}}{8^{2}}\).

Pembahasan

\[\begin{aligned}\frac{2^{5}\times 4^{3}}{8^{2}}&=\frac{2^{5}\times (2^{2})^{3}}{(2^{3})^{2}}\\&=\frac{2^{5}\times 2^{6}}{2^{6}}\\&=2^{5}\\&=32\end{aligned}\]

2. Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(2^{x+1}=8^{x-1}\).

Pembahasan

\[\begin{aligned}2^{x+1}&=(2^{3})^{x-1}\\2^{x+1}&=2^{3x-3}\\x+1&=3x-3\\4&=2x\\x&=2\end{aligned}\]

3. Sebuah koloni berisi 500 bakteri dan menjadi dua kali lipat setiap 3 jam. Berapa banyak bakteri setelah 12 jam?

Pembahasan

\[\begin{aligned}N&=500\times 2^{12/3}\\&=500\times 2^{4}\\&=500\times16\\&=8000\text{ bakteri}\end{aligned}\]

4. Rasionalkan penyebut \(\dfrac{6}{\sqrt5-\sqrt2}\).

Pembahasan

\[\begin{aligned}\frac{6}{\sqrt5-\sqrt2}&=\frac{6}{\sqrt5-\sqrt2}\times\frac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2}\\&=\frac{6(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2}\\&=2(\sqrt5+\sqrt2)\\&=2\sqrt5+2\sqrt2\end{aligned}\]

5. Hitung \({}^{2}\log 12+{}^{2}\log 8-{}^{2}\log 3\).

Pembahasan

\[\begin{aligned}{}^{2}\log 12+{}^{2}\log 8-{}^{2}\log 3&={}^{2}\log\frac{12\times 8}{3}\\&={}^{2}\log 32\\&={}^{2}\log 2^{5}\\&=5\end{aligned}\]

6. Jika \({}^{2}\log 3=p\), nyatakan \({}^{4}\log 18\) dalam \(p\).

Pembahasan

\[\begin{aligned}{}^{4}\log 18&=\frac{{}^{2}\log 18}{{}^{2}\log 4}\\&=\frac{{}^{2}\log 2+{}^{2}\log 3^{2}}{2}\\&=\frac{1+2p}{2}\end{aligned}\]

7. Uang Rp5.000.000 didepositokan dengan bunga majemuk 10% per tahun. Berapa tahun agar uang menjadi dua kali lipat? (log 2 = 0,301; log 1,1 = 0,041)

Pembahasan

\[\begin{aligned}2M_0&=M_0(1{,}1)^{t}\\2&=(1{,}1)^{t}\\t&={}^{1{,}1}\log 2=\frac{\log 2}{\log 1{,}1}\\&=\frac{0{,}301}{0{,}041}\approx 7{,}3\text{ tahun}\end{aligned}\]

8. Larutan memiliki \([H^{+}]=2\times10^{-4}\) M. Tentukan pH-nya. (log 2 = 0,301)

Pembahasan

\[\begin{aligned}\text{pH}&=-\log(2\times10^{-4})\\&=-(\log 2+\log 10^{-4})\\&=-(0{,}301-4)\\&=3{,}699\end{aligned}\]