Simulasi Matematika Interaktif: Barisan dan Deret

Geser, ubah angka, dan lihat sendiri bagaimana pola bilangan bekerja.

1. Apa bedanya barisan dan deret?

BarisanSusunan bilangan yang berurutan dan mengikuti suatu pola. Tiap bilangan disebut suku. Contoh: 3, 5, 7, 9, ...

DeretHasil penjumlahan suku-suku suatu barisan. Contoh: 3 + 5 + 7 + 9 + ...

Lambang yang dipakai: suku pertama \(U_1\), suku kedua \(U_2\), ..., suku ke-\(n\) ditulis \(U_n\). Jumlah \(n\) suku pertama ditulis \(S_n=U_1+U_2+\dots+U_n\).

Coba sendiri: dari barisan menjadi deret

2. Peta materi (klik untuk belajar)

3. Kenali jenisnya (latihan cepat)

Perhatikan pola bilangan di bawah ini. Barisan apakah itu?

Pilih salah satu jawaban di atas.

4. Ringkasan rumus

Materi	Rumus	Keterangan
Barisan aritmetika	\(U_n=a+(n-1)b\)	beda \(b=U_n-U_{n-1}\)
Barisan geometri	\(U_n=a\,r^{n-1}\)	rasio \(r=\dfrac{U_n}{U_{n-1}}\)
Deret aritmetika	\(S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)=\dfrac{n}{2}(a+U_n)\)	\(U_n=S_n-S_{n-1}\)
Deret geometri	\(S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\) untuk \(r\gt 1\) \(S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\) untuk \(r\lt 1\)	jika \(r=1\), maka \(S_n=na\)
Deret geometri tak hingga	\(S_\infty=\dfrac{a}{1-r}\)	hanya jika \(-1\lt r\lt 1\)

5. Cara memakai simulasi ini

1. Pilih tab materi di bagian atas.
2. Baca bagian Ide utama, lalu geser slider atau ketik angka pada kotak simulasi.
3. Tekan Coba di simulasi pada tiap contoh untuk memasukkan angkanya otomatis, lalu tekan Lihat pembahasan.
4. Di tab Latihan ada 8 soal pemancing. Jawab dulu sebelum melihat pembahasan.

Barisan Aritmetika

Perhatikan barisan 3, 7, 11, 15, 19, ... Setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah bilangan yang sama, yaitu 4. Bilangan tetap ini disebut beda (\(b\)). Barisan seperti ini disebut barisan aritmetika.

\(b=U_2-U_1=U_3-U_2=\dots=U_n-U_{n-1}\)

\(U_n=a+(n-1)b\)

• \(a\) adalah suku pertama (\(U_1\)).
• \(b\) adalah beda. Jika \(b\gt 0\) barisan naik, jika \(b\lt 0\) barisan turun, jika \(b=0\) barisan konstan.
• \(n\) adalah nomor suku (bilangan asli: 1, 2, 3, ...).

Mengapa rumusnya memakai \(n-1\)?Dari \(U_1\) menuju \(U_n\) kita hanya melangkah sebanyak \(n-1\) kali, dan tiap langkah menambah \(b\). Contoh: dari \(U_1\) ke \(U_5\) ada 4 langkah, jadi \(U_5=a+4b\).

Simulasi: bangun barisan aritmetikamu

Ubah \(a\), \(b\), dan \(n\). Perhatikan bagaimana ketiganya menentukan seluruh barisan.

Titik-titik \((n,\,U_n)\) selalu berada pada satu garis lurus, karena \(U_n=bn+(a-b)\) adalah fungsi linear dari \(n\).

Alat bantu: mencari \(a\) dan \(b\) dari dua suku

Soal yang paling sering muncul: dua suku diketahui, lalu kita diminta mencari suku lain. Isi nomor suku dan nilainya.

Contoh soal

Barisan Geometri

Perhatikan barisan 2, 6, 18, 54, ... Setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan bilangan yang sama, yaitu 3. Bilangan tetap ini disebut rasio (\(r\)). Barisan seperti ini disebut barisan geometri.

\(r=\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{U_3}{U_2}=\dots=\dfrac{U_n}{U_{n-1}}\)

\(U_n=a\,r^{n-1}\)

• \(a\) adalah suku pertama dan \(r\) adalah rasio.
• Jika \(r\gt 1\), suku-suku membesar (menjauhi 0). Jika \(0\lt r\lt 1\), suku-suku mengecil mendekati 0.
• Jika \(r\lt 0\), tanda suku-suku bergantian positif dan negatif.

Ingat perbedaannyaBarisan aritmetika ditambah bilangan tetap, barisan geometri dikali bilangan tetap. Karena itu pertumbuhan geometri jauh lebih cepat.

Simulasi: bangun barisan geometrimu

Coba \(r\) negatif, \(r\) pecahan antara 0 dan 1, dan \(r\) lebih dari 1. Lihat bentuk batangnya.

Alat bantu: mencari \(a\) dan \(r\) dari dua suku

Isi nomor suku dan nilainya. Nomor suku pertama (\(p\)) harus lebih kecil dari nomor suku kedua (\(q\)).

Contoh soal

Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika: \(S_n=U_1+U_2+\dots+U_n\).

\(S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)\qquad\text{atau}\qquad S_n=\dfrac{n}{2}(a+U_n)\)

Ide Gauss: jumlahkan secara berpasanganTulis deret itu dua kali: sekali dari depan, sekali dibalik. Jumlah tiap kolom selalu sama, yaitu \(a+U_n\). Ada \(n\) kolom, sehingga \(2S_n=n(a+U_n)\). Itulah asal rumus di atas. Lihat tabelnya di simulasi.

Hubungan suku dan jumlah\(U_n=S_n-S_{n-1}\), karena \(S_n\) memuat satu suku lebih banyak dari \(S_{n-1}\).

Simulasi: jumlahkan suku-suku aritmetika

Jumlah berpasangan (ide Gauss)

Jumlah ditambah satu per satu

Contoh soal

Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri: \(S_n=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}\).

\(S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\ \text{ untuk } r\gt 1\qquad S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\ \text{ untuk } r\lt 1\)

Dari mana rumusnya?Kalikan \(S_n\) dengan \(r\), lalu kurangkan: \[\begin{aligned}S_n&=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}\\ rS_n&=\phantom{a+{}}ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}+ar^n\\ S_n-rS_n&=a-ar^n\\ S_n(1-r)&=a(1-r^n)\end{aligned}\] Hampir semua suku saling menghapus. Jika \(r=1\), semua suku sama dengan \(a\) sehingga \(S_n=na\).

Simulasi: jumlahkan suku-suku geometri

Jumlah ditambah satu per satu

Contoh soal

Deret Geometri Tak Hingga

Bagaimana jika suku-suku deret geometri terus dijumlahkan tanpa berhenti? Ada dua kemungkinan:

KonvergenJika \(-1\lt r\lt 1\), suku-suku makin kecil mendekati 0, sehingga jumlahnya mendekati satu bilangan tertentu. \[S_\infty=\dfrac{a}{1-r}\]

DivergenJika \(r\le -1\) atau \(r\ge 1\), suku-suku tidak mengecil. Jumlahnya membesar tanpa batas atau berayun, sehingga \(S_\infty\) tidak ada.

Rumusnya berasal dari \(S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\). Untuk \(|r|\lt 1\), nilai \(r^n\) mendekati 0 saat \(n\) makin besar, sehingga \(S_n\) mendekati \(\dfrac{a}{1-r}\).

Simulasi: kapan jumlah tak hingga ada?

Geser \(r\) dari \(-1{,}5\) sampai \(1{,}5\). Tekan Putar animasi untuk menambah suku satu per satu.

Ilustrasi: persegi yang dibagi dua terus-menerus

Ambil sebuah persegi dengan luas 1. Ambil setengahnya, lalu setengah dari sisanya, lalu setengah dari sisanya lagi, dan seterusnya. Tekan tombol untuk memotong.

Contoh soal

Menyelesaikan soal cerita

Empat langkah yang selalu bisa dipakai:

1. Kenali jenisnya. Bertambah/berkurang dengan jumlah tetap berarti aritmetika. Dikali/dibagi dengan bilangan tetap berarti geometri.
2. Tuliskan yang diketahui: \(a\), \(b\) atau \(r\), dan \(n\). Perhatikan apakah yang ditanya suku (\(U_n\)) atau jumlah (\(S_n\)).
3. Pilih rumus, lalu masukkan angkanya.
4. Tafsirkan jawaban dengan satuan dan konteks yang benar.

Kata kunci dalam soal	Jenis
"bertambah 3 setiap baris", "naik Rp10.000 tiap bulan"	aritmetika (ada beda \(b\))
"menjadi dua kali lipat", "bunga majemuk 5% per tahun"	geometri (ada rasio \(r\))
"berapa pada hari/baris terakhir"	suku ke-\(n\), yaitu \(U_n\)
"total", "seluruhnya", "jumlah keseluruhan"	jumlah \(n\) suku, yaitu \(S_n\)
"terus-menerus", "sampai berhenti"	deret tak hingga \(S_\infty\)

Cerita 1: Kursi gedung pertunjukan (aritmetika)

Sebuah gedung pertunjukan memiliki kursi di baris paling depan sebanyak \(a\) kursi. Setiap baris di belakangnya bertambah \(b\) kursi dari baris di depannya. Ada \(n\) baris. Berapa kursi pada baris terakhir, dan berapa kursi seluruhnya?

Cerita 2: Bakteri membelah (geometri)

Awalnya ada sejumlah bakteri. Setiap jam, bakteri membelah sehingga banyaknya menjadi beberapa kali lipat dari jam sebelumnya. Berapa banyak bakteri setelah \(T\) jam?

Cerita 3: Bunga tunggal dan bunga majemuk

Rina menabung sejumlah uang di dua bank. Bank A memberi bunga tunggal (bunga dihitung dari modal awal terus). Bank B memberi bunga majemuk (bunga ikut berbunga). Bandingkan saldo keduanya setelah \(t\) tahun.

Cerita 4: Dua tawaran upah (geometri)

Seorang pemilik kebun menawarkan dua pilihan upah untuk bekerja selama beberapa hari. Tawaran A: upah tetap setiap hari. Tawaran B: hari pertama sekian rupiah, lalu setiap hari upahnya dua kali lipat upah hari sebelumnya. Mana yang lebih menguntungkan?

Cerita 5: Bola memantul (deret tak hingga)

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian \(h\) meter. Setiap kali memantul, bola mencapai tinggi \(r\) kali tinggi sebelumnya. Berapa panjang seluruh lintasan bola sampai berhenti?

8 Soal pemancing

Kerjakan di buku catatan dulu, lalu ketik jawaban akhirnya (angka saja) dan tekan Periksa. Pecahan boleh ditulis seperti 1/3. Gunakan Petunjuk jika macet, dan buka Pembahasan setelah mencoba.

Skor: 0 dari 8