Analisis Data dan Peluang

Peluang hadir dalam banyak situasi sehari-hari, mulai dari hasil lemparan koin, waktu tunggu bus, sampai nilai ujian satu angkatan. Untuk menggambarkannya secara matematis, kita memakai variabel acak beserta distribusinya.

Simulasi interaktif ini mengajak kamu memahami variabel acak diskret dan kontinu, fungsi peluang dan fungsi densitas peluang, serta distribusi seragam, binomial, dan normal beserta nilai harapannya. Geser slider, amati perubahan grafiknya, lalu uji pemahamanmu lewat soal cerita dan 8 soal latihan di bagian akhir.

Variabel acak, fungsi peluang dan densitas, distribusi seragam, binomial, dan normal. Geser slider, tekan tombol, lalu amati sendiri!

1. Variabel Acak

Variabel acak X adalah aturan yang memberi satu bilangan real pada setiap hasil percobaan acak.
Diskret: nilainya dapat dihitung (0, 1, 2, ...). Kontinu: nilainya mengisi seluruh interval pada garis bilangan, biasanya hasil mengukur.

Contoh 1: Dua koinDua koin dilempar. Misalkan X = banyak sisi gambar (G), angka (A). \begin{aligned}S&=\{AA,\,AG,\,GA,\,GG\}\\X(AA)&=0,\quad X(AG)=X(GA)=1,\quad X(GG)=2\\P(X=1)&=\tfrac{2}{4}=\tfrac12\end{aligned} Nilai X hanya 0, 1, 2 sehingga X diskret.

Contoh 2: Tinggi badanY = tinggi badan siswa terpilih. Nilainya bisa 160 cm, 160,3 cm, 160,31 cm, dan seterusnya (tak terhitung dalam interval), jadi Y kontinu.

Simulasi: Lempar 3 koin, X = banyak gambar

Tekan tombol lempar. (G = gambar, A = angka)

Batang hijau = frekuensi relatif hasil simulasi. Titik kuning = peluang teori \tfrac18,\tfrac38,\tfrac38,\tfrac18. Semakin banyak lemparan, batang makin mendekati titik kuning.

Latihan cepat: Diskret atau kontinu?

2. Fungsi Peluang dan Fungsi Densitas Peluang

Variabel acak diskret: fungsi peluang

f(x)=P(X=x), dengan syarat f(x)\ge 0 dan \sum f(x)=1.
Nilai harapan: E(X)=\sum x\cdot f(x).

Contoh 3: Mencari konstanta kf(x)=kx untuk x=1,2,3,4. Tentukan k dan P(X\ge 3). \begin{aligned}\sum f(x)&=1\\k+2k+3k+4k&=1\\10k&=1\\k&=\tfrac1{10}\end{aligned} \begin{aligned}P(X\ge 3)&=f(3)+f(4)\\&=\tfrac{3}{10}+\tfrac{4}{10}=\tfrac{7}{10}\end{aligned}

Simulasi: Kapan f(x) = kx sah?

k =

Variabel acak kontinu: fungsi densitas peluang

f(x)\ge 0 dan \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1 (luas total di bawah kurva = 1).
P(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = luas daerah di bawah kurva. Akibatnya P(X=c)=0.
Nilai harapan: E(X)=\displaystyle\int x\,f(x)\,dx.

Contoh 4f(x)=kx^2 untuk 0\le x\le 3. Tentukan k dan P(1\le X\le 2). \begin{aligned}\int_0^3 kx^2\,dx&=1\\k\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3&=9k=1\\k&=\tfrac19\end{aligned} \begin{aligned}P(1\le X\le 2)&=\int_1^2\tfrac19x^2\,dx=\tfrac{1}{27}\big[x^3\big]_1^2\\&=\tfrac{8-1}{27}=\tfrac{7}{27}\end{aligned}

Simulasi: f(x) = 2x pada [0, 1]

a =

b =

Buat a=b: luasnya nol, itulah alasan P(X=c)=0.

3. Distribusi Seragam

Variabel acak kontinu X berdistribusi seragam pada [a,b] bila setiap bagian interval berpeluang sama (grafiknya persegi panjang). f(x)=\frac{1}{b-a},\ a\le x\le b\qquad F(x)=\begin{cases}0,&x\lt a\\[2pt]\dfrac{x-a}{b-a},&a\le x\le b\\[4pt]1,&x\gt b\end{cases} E(X)=\frac{a+b}{2}\qquad Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12} Versi diskret: dadu adil, f(x)=\tfrac16 untuk x=1,\dots,6, E(X)=3{,}5.

Contoh 5Berat paket X seragam pada 10 sampai 20 kg. Tentukan P(12\le X\le 17) dan E(X). \begin{aligned}f(x)&=\tfrac1{20-10}=0{,}1\\P(12\le X\le 17)&=(17-12)\times 0{,}1=0{,}5\\E(X)&=\tfrac{10+20}{2}=15\text{ kg}\end{aligned}

Contoh 6Bus datang tiap 30 menit, kamu tiba acak. Waktu tunggu X\sim U[0,30]. Peluang menunggu paling lama 10 menit: P(X\le 10)=F(10)=\tfrac{10-0}{30-0}=\tfrac13

Simulasi: Distribusi seragam [a, b]

a =

b =

p =

q =

4. Distribusi Binomial

Syarat: ada n percobaan bebas, tiap percobaan hanya sukses/gagal, peluang sukses tetap p (gagal q=1-p). X = banyak sukses. P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{\,n-k},\quad k=0,1,\dots,n F(k)=P(X\le k)=\sum_{x=0}^{k}\binom{n}{x}p^x q^{\,n-x} E(X)=np\qquad Var(X)=npq

Contoh 7Dadu dilempar 4 kali. Peluang mata 6 muncul tepat 2 kali? Di sini n=4,\ p=\tfrac16. \begin{aligned}P(X=2)&=\binom42\Big(\tfrac16\Big)^2\Big(\tfrac56\Big)^2\\&=6\cdot\tfrac{25}{1296}=\tfrac{25}{216}\approx 0{,}1157\end{aligned}

Contoh 8Seorang pemanah mengenai sasaran dengan peluang 0,8. Dari 10 tembakan, berapa nilai harapan tembakan yang mengenai sasaran? E(X)=np=10\times 0{,}8=8

Simulasi: Binomial (n, p)

n =

p =

k =

Kuning: X=k. Hijau muda: X\lt k (bersama kuning = F(k)).

5. Distribusi Normal

Grafiknya berbentuk lonceng simetris terhadap \mu. Parameter: rata-rata \mu dan simpangan baku \sigma. f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\qquad E(X)=\mu Baku-kan dengan Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}. Fungsi distribusi: F(x)=P(X\le x)=\Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right).
Aturan empiris: sekitar 68% data di \mu\pm\sigma, 95% di \mu\pm2\sigma, 99,7% di \mu\pm3\sigma.
Bantuan tabel: \Phi(1)=0{,}8413, \Phi(2)=0{,}9772, \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Contoh 9X\sim N(50,\,8^2). Tentukan P(X\lt 58). \begin{aligned}z&=\tfrac{58-50}{8}=1\\P(X\lt 58)&=\Phi(1)=0{,}8413\end{aligned}

Contoh 10Dengan distribusi yang sama, tentukan P(X\gt 66). \begin{aligned}z&=\tfrac{66-50}{8}=2\\P(X\gt 66)&=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228\end{aligned}

Simulasi: Kurva normal N(μ, σ²)

μ =

σ =

a =

b =

6. Penyelesaian Soal Cerita

Langkah umum: (1) tentukan variabel acak X, (2) kenali distribusinya, (3) tuliskan parameter, (4) hitung.

Cerita A: Pasien sembuh (Binomial)Peluang pasien sembuh dengan obat baru adalah 0,9. Dari 5 pasien, berapa peluang paling sedikit 4 sembuh? Berapa harapan yang sembuh?

Lihat penyelesaian

X = banyak pasien sembuh, X\sim B(5;\,0{,}9). \begin{aligned}P(X\ge4)&=P(4)+P(5)\\&=\binom54(0{,}9)^4(0{,}1)+(0{,}9)^5\\&=0{,}32805+0{,}59049=0{,}9185\\E(X)&=5\times0{,}9=4{,}5\end{aligned}

Cerita B: Berat bayi (Normal)Berat bayi lahir N(3{,}2;\,0{,}4^2) kg. Bayi disebut BBLR bila beratnya kurang dari 2,5 kg. Berapa persen bayi BBLR? (\Phi(1{,}75)=0{,}9599)

Lihat penyelesaian

\begin{aligned}z&=\tfrac{2{,}5-3{,}2}{0{,}4}=-1{,}75\\P(X\lt2{,}5)&=\Phi(-1{,}75)=1-\Phi(1{,}75)\\&=1-0{,}9599=0{,}0401\end{aligned}Sekitar 4,01% bayi.

Cerita C: Lampu merah (Seragam)Lampu merah menyala 60 detik. Pengendara tiba acak, waktu tunggu X\sim U[0,60]. Tentukan P(X\gt45) dan rata-rata waktu tunggu.

Lihat penyelesaian

\begin{aligned}P(X\gt45)&=\tfrac{60-45}{60}=\tfrac14\\E(X)&=\tfrac{0+60}{2}=30\text{ detik}\end{aligned}

Cerita D: Permainan dadu (Nilai harapan)Bayar Rp3.000 untuk melempar dadu. Muncul 6: dapat Rp12.000. Muncul 4 atau 5: dapat Rp3.000. Lainnya: tidak dapat apa-apa. Apakah permainan ini adil?

Lihat penyelesaian

X = keuntungan bersih (hadiah dikurangi biaya).

Mata dadu	6	4 atau 5	1, 2, 3
x (Rp)	9.000	0	-3.000
f(x)	1/6	2/6	3/6

\begin{aligned}E(X)&=9000\cdot\tfrac16+0\cdot\tfrac26+(-3000)\cdot\tfrac36\\&=1500+0-1500=0\end{aligned}Nilai harapan 0, jadi permainan adil.

7. Soal Pemancing

Coba kerjakan dulu di buku, baru buka pembahasan.

Soal 1Variabel acak diskret X memiliki f(x)=k(x+1), x=0,1,2,3. Tentukan k, P(X\ge2), dan E(X).

Pembahasan

\begin{aligned}\sum f(x)&=1\\k(1+2+3+4)&=1\\k&=\tfrac1{10}\end{aligned}\begin{aligned}P(X\ge2)&=\tfrac{3}{10}+\tfrac4{10}=\tfrac7{10}\\E(X)&=0\cdot\tfrac1{10}+1\cdot\tfrac2{10}+2\cdot\tfrac3{10}+3\cdot\tfrac4{10}\\&=\tfrac{20}{10}=2\end{aligned}

Soal 2Fungsi densitas f(x)=k(2-x) untuk 0\le x\le2. Tentukan k dan P(X\le1).

Pembahasan

\begin{aligned}\int_0^2k(2-x)\,dx&=k\Big[2x-\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^2\\&=k(4-2)=2k=1\\k&=\tfrac12\end{aligned}\begin{aligned}P(X\le1)&=\tfrac12\Big[2x-\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^1\\&=\tfrac12\Big(2-\tfrac12\Big)=\tfrac34\end{aligned}

Soal 3Waktu tunggu antrean X seragam pada 0 sampai 20 menit. Tentukan f(x), P(5\le X\le12), E(X), dan Var(X).

Pembahasan

\begin{aligned}f(x)&=\tfrac1{20},\ 0\le x\le20\\P(5\le X\le12)&=\tfrac{12-5}{20}=0{,}35\\E(X)&=\tfrac{0+20}{2}=10\\Var(X)&=\tfrac{20^2}{12}=\tfrac{100}{3}\approx33{,}33\end{aligned}

Soal 4Peluang seorang siswa lulus uji adalah 0,7. Dari 6 siswa, berapa peluang tepat 4 siswa lulus?

Pembahasan

X\sim B(6;\,0{,}7)\begin{aligned}P(X=4)&=\binom64(0{,}7)^4(0{,}3)^2\\&=15\times0{,}2401\times0{,}09\\&=0{,}3241\end{aligned}

Soal 5Sebuah koin dilempar 5 kali. Tentukan peluang muncul paling sedikit 4 gambar dan E(X).

Pembahasan

\begin{aligned}P(X\ge4)&=\binom54\tfrac1{32}+\binom55\tfrac1{32}\\&=\tfrac{5+1}{32}=\tfrac3{16}=0{,}1875\\E(X)&=5\times\tfrac12=2{,}5\end{aligned}

Soal 6Mesin menghasilkan 4% produk cacat. Dari sampel 150 produk, tentukan nilai harapan produk cacat, variansi, dan simpangan baku.

Pembahasan

\begin{aligned}E(X)&=np=150\times0{,}04=6\\Var(X)&=npq=150\times0{,}04\times0{,}96=5{,}76\\\sigma&=\sqrt{5{,}76}=2{,}4\end{aligned}

Soal 7Nilai ujian X\sim N(70,\,10^2). Tentukan P(60\le X\le90). (\Phi(1)=0{,}8413, \Phi(2)=0{,}9772)

Pembahasan

\begin{aligned}z_1&=\tfrac{60-70}{10}=-1,\quad z_2=\tfrac{90-70}{10}=2\\P&=\Phi(2)-\Phi(-1)\\&=\Phi(2)-\big(1-\Phi(1)\big)\\&=0{,}9772-0{,}1587=0{,}8185\end{aligned}

Soal 8Tinggi 500 siswa berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan simpangan baku 6 cm. Berapa siswa diperkirakan lebih tinggi dari 171 cm? Berapa E(X)?

Pembahasan

\begin{aligned}z&=\tfrac{171-165}{6}=1\\P(X\gt171)&=1-\Phi(1)=0{,}1587\\\text{Banyak siswa}&=0{,}1587\times500\approx79\\E(X)&=\mu=165\text{ cm}\end{aligned}