Matematika untuk Prasyarat Pokok Bahasan Asam-Basa di SMA

Senin, 24 Desember 2018 edit

Berikut ini adalah bahasan matematika yang sering digunakan dalam pelajaran kimia selama semester kedua kelas 11 SMA.
  1. Aturan operasi bilangan berpangkat (eksponen), pangkat negatif dan positif.
  2. Aturan logaritma. 
  3. Konversi bilangan menjadi bilangan bentuk lain namun nilainya sama.




Sebelum masuk ke pembahasan utama tulisan ini sebaiknya diingat kembali tentang hal berikut. Ini tentang membandingkan bilangan yang lebih besar atau lebih kecil dari yang lain.

$\dfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10^{-1}$
$\dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10^1} = 10^{-1}$

$\dfrac{1}{1000} = 0{,}001 = 10^{-3}$
$\dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$

$\dfrac{1}{100{.}000} = 0{,}00001 = 10^{-5}$
$\dfrac{1}{100{.}000} = \dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}$

Urutan dari bilangan terbesar ke bilangan terkecil: 10–1 > 10–3 > 10–5

Membandingkan besar kecilnya bilangan ini penting, misalnya membandingkan kekuatan asam suatu larutan yang diketahui data Ka (tetapan kesetimbangan asam). Ka semakin besar kekuatan asamnya meningkat. Nilai Ka biasa disajikan dalam bentuk bilangan eskponen atau notasi ilmiah.

Semakin negatif nilai perpangkatan dari 10 berarti nilai suatu bilangan itu semakin kecil. Bila pangkat dari 10 nilainya sama maka yang perlu dipertimbangkan adalah angka depannya seperti berikut.

9×10–5 < 2×10–1

8×10–3 > 1×10–3

(9×10–5) + (2×10–1) → tidak dapat langsung dijumlahkan sebelum bilangan eksponennya diubah ke bentuk yang sama.
(9×10–5) + (20.000×10–5) = 20.009 ×10–5
(9×10–5) + (20.000×10–5) = 2,0009 ×10–1

Bandingkan dengan berikut.
8×10–3 + 1×10–3 = (8 + 1)×10–3
8×10–3 + 1×10–3 = 9×10–3



Eksponensial
Bahasan eksponensial sudah dipelajari pada semester pertama kelas 10 pelajaran matematika. Untuk mengingat kembali beberapa aturan bilangan berpangkat berikut hal yang harus dikuasai. Ini adalah materi prasyarat untuk pokok bahasa asam-basa. Bila tidak menguasai ini biasanya akan banyak mengalami kesulitan.

Bahasan asam-basa memang memerlukan pemahaman konsep yang kuat. Selain itu juga banyak bahasan yang menuntut kemampuan matematika. Hampir sepanjang semester ini akan berkutat pada asam-basa saja. Simak contoh terapan untuk kimia di bawah ini.

Syarat untuk memahami tentang bilangan eksponen siswa harus paham operasi dasar matematika, penjumlahan, pengurangan, pengalian, pembagian.

Pada tulisan berikut A dan B merupakan suatu bilangan nyata.

Bilangan berpangkat positif
$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large{\color{red}A^n = A \times A \times A \times A ... A_n}}$
Contoh:
$\begin{align}
10^5 &= 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
&= 100.000
\end{align}$

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large{\color{red}\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}}}$
Contoh:
$\begin{align}
\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 &= \dfrac{2^3}{5^3} \\
&= \dfrac{2 \times 2 \times 2}{5 \times 5 \times 5}\\
&= \dfrac{8}{125}
\end{align}$

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large{\color{red}A^x . A^y = A^{(x+y)}}}$
Contoh:
$\begin{align}
10^3 . 10^4 &= 10^{(3+4)}\\
&= 10^7
\end{align}$

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large \color{red}{\dfrac{A^x}{A^y} = A^{(x-y)}}}$
Contoh:
$\begin{align}
\dfrac{10^5}{10^2} &= 10^{(5-2)}\\
&= 10^3
\end{align}$

Contoh:
$\begin{align}
\dfrac{10^{-7}}{10^{-5}} &= 10^{(-7-(-5))}\\
&= 10^{(-7+5)}\\
&= 10^{-2}\\
&= \dfrac{1}{10^{2}}\\
&= \dfrac{1}{100}\\
&=0{,}01
\end{align}$

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large \color{red}{A^x \cdot B^x = (AB)^x}}$
Contoh:
$\begin{align}
2^3 \cdot 5^3&= (2 \cdot 5)^3\\
&=10^3\\
&=1000
\end{align}$

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large \color{red}{(A^x)^y = (A)^{(x \cdot y)}}}$
Contoh:
$(10^{-3})^3 = 10^{-3 \cdot 3} = 10^{-9}$

Bilangan berpangkat negatif
$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large{\color{red}A^{-n} = \dfrac{1}{A^n}}}$

Contoh:
$\begin{align}
10^{-5}&=\dfrac{1}{10^5}\\
& = \dfrac{1}{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}\\
& = \dfrac{1}{100{.}000}\\
& = 0{,}00001
\end{align}$

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large{\color{red}\left(\dfrac{A}{B}\right)^{-n} = \dfrac{A^{-n}}{B^{-n}} = \dfrac{B^n}{A^n} = \left(\dfrac{B}{A}\right)^{n}}}$

Contoh:
$\begin{align}
\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} &= \dfrac{3^{-2}}{4^{-2}} \\
&= \dfrac{4^2}{3^2}\\
&= \dfrac{16}{9}
\end{align}$

Pangkat Pecahan atau Akar Bilangan

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large{\color{red}A^{1/2} = \sqrt{A}}}$
Contoh:
$25^{1/2} =  \sqrt{25} = 5$

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\large{\color{red}A^{x/y} = \sqrt[y]{A^x}}} $
Contoh:
$10^{2/3} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100}$

Kadang untuk kebutuhan tertentu diperlukan mengubah bilangan menjadi bentuk eksponen. Biasanya bertujuan mempermudah proses hitung.





Aturan Logaritma
Logaritma ini digunakan dalam penentuan pH atau derajat keasaman suatu larutan, baik larutan bersifat asam atau basa.

Dalam perhitungan pH larutan biasa menggunakan konsentrasi yang sangat rendah oleh karena itu disederhanakan dengan mengganti nilai konsentrasi itu melalui nilai logaritma dari nilai konsentrasi.

Rumus umum pH = –log [H+]
Ini akan dipelajari lebih detil pada pokok bahasan asam-basa nanti.

Logaritma yang umum digunakan dalam pokok bahasan asam basa menggunakan bilang berbasis 10.

102 = 100
Logaritma ini boleh diilutrasikan dengan kalimat:
10 pangkat berapa yang nilai 100?

Bila ditulis secara matematis menjadi:
log10 100 = .....?

Lebih singkat lagi boleh ditulis:
log 100 = ....

Dan tentu saja jawabnya adalah 2.

Ingat ya, logaritma dalam penentuan pH menggunakan bilangan basis 10 namun bilangan basisnya tidak dituliskan.

Logaritma perkalian:
$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\color{red}log (A \cdot B) = log A + log B}$
Contoh:
log (2×5) = log 2 + log 5

Logaritma pembagian:
$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\color{red}log (\dfrac{A}{B}) = log A – log B}$
Contoh:
log (3/4) = log 3 – log 4

Logaritma perpangkatan:
$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\color{red}log (A^x) = x \cdot log A}$
Contoh:
log (102) = 2×log 10 = 2×1 = 2

$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\color{red}log \left (\dfrac {1}{10^x}\right) = -x}$
Contoh:
log (1/(104) = –4

Logaritma 1:
$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\color{red}log (1) = 0}$

Logaritma 10:
$\bbox[palegreen,5px,border:2px solid green]{\color{red}log (10) = 1}$


Pada pelajaran kimia, nilai logaritma suatu bilangan (untuk hitungan pH) kadang dinyatakan dalam bentuk persamaan logaritma saja. Kadang dinyatakan dalam bentuk angka. Angka ini adalah hasil hitung baik menggunakan kalkulator maupun secara manual.

Untuk nilai logaritma yang dinyatakan dalam bentuk angka biasanya diberikan data berupa nilai logaritma setiap bilangan. Bila tidak biasa diperlukan kalkulator untuk menghitungnya.

Kunci dapat menghitung pH secara teori dengan menggunakan aturan logaritma. Selain itu syaratnya tahu atau hafal nilai logaritma setiap bilangan prima. Dengan tahu nilai log bilangan prima dapat dihitung bilangan lain selain bilangan prima itu.

log 2 = 0,301; log 3 = 0,477; log 5 = 0,699; log 7 = 0,845; log 11 = 1,041; log 13 = 1,114; log 17 = 1,230; dan seterusnya.

Berikut ini contohnya penggunaannya.

Misal diketahui nilai:
log 2 = 0,301
log 3 = 0,477
log 5 = 0,699

log 4 = log (22 )
log 4 = 2×log (2)
log 4 = 2×0,301
log 4 = 0,602

log 6 = log (2×3 )
log 6 = log (2) + log (3)
log 6 = 0,301 + 0,477
log 6 = 0,778

log 12 = log (22×3 )
log 12 = log (22) + log (3)
log 12 = 2×0,301 + 0,477
log 12 = 0,602 + 0,477
log 12 = 1,079

log (0,6) = log (3/5 )
log (0,6) = log (3) – log (5)
log (0,6= 0,477 – 0,699
log (0,6= –0,222

log (2×10–5) = log 2 + log (10–5)
log (2×10–5) = log 2 + (–5).log (10)
log (2×10–5) = 0,301 + (–5).1
log (2×10–5) = 0,301 – 5
log (2×10–5) = –4,699

Kadang untuk mempercepat penentuan nilai taksiran logaritma, digunakan nilai log 2 = 0,3; log 3 = 0,5; log 5 = 0,7.


Contoh penerapan nomor 1:
Diketahui larutan asam monovalen dengan konsentrasi H+ sebesar 1,8×10–5 molar. Hitunglah pH larutan tersebut bila diketahui log 2 = 0,3; log 3 = 0,5. pH = –log [H+]

Perhitungan contoh penerapan nomor 1:
pH = –log [ H+]
pH = –log (1,8×10–5)
pH = –(log (18×10–1×10–5))
pH = –(log (2×3×3×10–6))
pH = –(log 2 + log 3 + log 3 + log 10–6)
pH = –(0,3 + (0,5) + (0,5) + (–6))
pH = –(1,3 – 6)
pH = –(–4,7)
 pH = 4,7


Contoh penerapan nomor 2:
Larutan garam (berasal dari asam kuat dengan basa lemah) dapat mengalami hidrolisis dengan konsentrasi 0,1 M. Bila [H+] = $\sqrt{\dfrac{K_w \times [garam]}{K_b}}$,  pH = –log [H+] dan nilai Kw = 1×10–14, Kb = 1×10–5 pH larutan garam tersebut adalah.....
A. 1 – log 5
B. 1 + log 5
C. 5 – log 1
D. 9 + log 1
E. 9 + log 5

Pembahasan contoh penerapan nomor 2:
Soal ini tidak meminta hasil akhir berupa angka, namun hanya berupa persamaan.
[garam] = 0,1 M = 1×10–1 M

[H+] = $\sqrt{\dfrac{K_w \times [garam]}{K_b}}$
[H+] = $\sqrt{\dfrac{(1 \times 10^{-14})\times (1 \times 10^{-1})}{1 \times 10^{-5}}}$
[H+] = $\sqrt{\dfrac{1 \times 10^{-15}}{1 \times 10^{-5}}}$
[H+] = $\sqrt{1 \times 10^{-10}}$
[H+] = $1 \times 10^{-5}$ M

pH = –log (1×10–5)
pH = –log (1) + –log(10–5)
pH = –log 1 + –(–5)
pH = –log 1 + 5
pH = 5 – log 1

Walau kita tahu nilai log 1 adalah nol sehingga pH bisa saja ditulis = 5, namun karena dalam soal tersedia pilihan seperti itu maka jelas jawaban yang tepat adalah C.

Biasanya diperlukan kecekatan dalam menentukan hasil akhir berdasar aturan logaritma yang berlaku. Termasuk mengubah bilangan agar sesuai dengan alternatif jawaban yang tersedia.


Contoh penerapan konversi pH ke dalam konsentrasi
Konsentrasi ion hidrogen dalam larutan yang pH-nya = 3 – log 2 adalah … .
A. 2 × 10–2 M
B. 3 × 10–3 M
C. 2 × 10–3 M
D. 0,0001 M
E. 0,003 M

Pembahasan contoh penerapan konversi pH ke dalam konsentrasi
pH = – log [H+]
pH = 3 – log 2
–log [H+] = 3 – log 2
log [H+] = –(3 – log 2)
log [H+] = –3 + log 2
log [H+=  log 2 + (–3)
log [H+=  log 2 + log 10–3
log [H+] = log (2 × 10–3)
[H+] =  2 × 10–3 M

Jawaban yang tepat C.


Contoh penyesuaian hasil hitung berdasarkan alternatif yang tersedia pada soal
Jika diketahui Ka CH3COOH = 10–5, maka pH larutan Ca(CH3COO)2 0,1 M adalah .....
  1. 5
  2. 5 – log 1,4
  3. 9
  4. 9 – log 1,4
  5. 9 + log 1,4
Soal ini bila dihitung dengan menggunakan rumus $pH = \dfrac{1}{2} (14 + pK_a + \log [garam])$ hasilnya tentu tidak tersedia di jawaban.

Perlu dilakukan operasi logaritma lebih dahulu.
$\begin{align}
pH &= \dfrac{1}{2} (14 + pK_a + \log [garam])\\
&= \dfrac{1}{2}(14 +5 + \log (2 \times 10^{-1})\\
&= \dfrac{1}{2}(19 + \log 2 + log 10^{-1})\\
&= \dfrac{1}{2}(19 + \log 2 - 1)\\
&= \dfrac{1}{2}(18 + \log 2)\\
 &= 9  + \dfrac{1}{2}\log 2\\
\end{align}$

Ingat bahwa $\log A^x = x \log A ~\text{dan}~  x \log A = \log A^x $ maka hasil hitung akhir itu dapat pula diubah bentuk menjadi
$\begin{align}
pH &= 9  + \dfrac{1}{2}\log 2\\
 &= 9 + \log 2^{1/2}\\
 &= 9 + \log \sqrt{2}\\
 &= 9 + \log 1,4\\
\end{align}$
Jadi untuk soal ini jawaban yang tepat adalah E.

Tulisan ini akan diperbaharui bila diperlukan penjelasan lebih lanjut.
Bagikan di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

 
Copyright © 2015-2019 Urip dot Info | Disain Template oleh Herdiansyah Dimodivikasi Urip.Info