Menyetarakan Persamaan Reaksi Menggunakan Metode Matriks

Senin, 06 April 2020 edit

Mempelajari hal rumit dapat diawali dengan memahami hal yang sederhana. Seperti dalam cara penyetaraan persamaan reaksi kimia. Matriks dalam matematika memiliki kehandalan untuk menyetarakan persamaan reaksi yang sangat rumit. Dengan Microsoft Excel memang sudah disediakan fungsi MINVERSE dan MMULT. Secara manual pun dapat dipelajari. Berikut persamaan reaksi sederhana yang dijadikan model.
Tampilan persamaan Latex di blog ini akan lebih sempurna jika dibuka menggunakan browser Chrome.

Sebelum berlanjut membaca tulisan ini, tulisan ini tidak dianjurkan digunakan dalam penyetaraan persamaan reaksi di jenjang SMA, kecuali bila seseorang menaruh minat yang tinggi untuk pemrograman komputer. Ini contoh kalkulator persamaan reaksi yang dibuat dengan basis matriks.

Jika sangat berminat metode matriks menjadi lebih manjur untuk menentukan koefisien dalam persamaan reaksi agar jumlah atom/unsur setara di kedua ruas.

Walau kurang begitu paham tentang hukum dan sifat matriks, bila membaca penjelasan berikut tetap dapat mengikuti maksudnya.

Prinsipnya kita harus mengubah persamaan reaksi menjadi matriks augmentasi persegi (matriks dengan jumlah baris dan kolom sama). Menentukan matriks identitas hingga diperoleh koefisien setiap zat dalam persamaan reaksi.

Bila dari persamaan yang ada tidak mencukupi untuk membentuk matriks persegi sila beri persamaan tambahan (auxiliary equation).

Pada tutorial ini persamaan reaksi diubah menjadi matriks augmentasi atau di sini sebut saja matriks dan menyelesaikannya dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini bertujuan untuk mengubah matriks menjadi matriks identitasnya. Model matriks identitas adalah matriks persegi yang memiliki angka 1 di sepanjang diagonal utama dan 0 untuk semua entri/komponen lainnya.

Berikut contoh matrik identitas bentuk matriks 3×3.
$ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{bmatrix}$

Beberapa upaya dapat ditempuh untuk menghasilkan matriks identitas ini sehingga diperoleh penyelesaian (dikenal dengan metode eliminasi Gauss-Jordan) yang dapat digunakan untuk menyatakan koefisien zat-zat dalam persamaan reaksi.

Upaya yang dimaksud adalah dengan cara membagi/mengali dengan bilangan tertentu atau menjumlah atau mengurangi dengan bilangan yang tersedia dalam matriks itu sendiri. Dapat pula mengombinasikan berbagai cara yang disebutkan tadi.

Contoh-1
Setarakan persamaan reaksi: Al + O2 →  Al2O3
Pada baris Aux sengaja ditambahkan begitu, karena nyatanya atomnya memang tidak ada, hanya untuk memenuhi syarat hitung matriks saja.

Mengubah persamaan ke dalam bentuk matriks:
Matriks Awal
Matriks Akhir
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1{,}5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

Dalam tulisan ini simbol Bn menyatakan baris n dan Kn menyatakan kolom n. Bn:Kn digunakan menyatakan letak komponen atau elemen matriks agar lebih mudah kenali.

Mengubah bentuk matriks menjadi matriks identitas:
1) Agar sel B2:K2 = 1 maka (B2)/2 untuk menghasilkan B2 baru.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}
\begin{array}
a\\
\xrightarrow{B_{2}/2}\\
\\
\end{array}
\begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -1{,}5 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$


2) Agar sel B1:K3 = 0 maka B1 + 2 B3 untuk menghasilkan B1 baru
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -1{,}5 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}
\begin{array}
a\xrightarrow{B_{1} + 2 B_{3}}\\
\\
\\
\end{array}
\begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & -1{,}5 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

3) Agar B2:K3 = 0 maka B2 + 1,5 B3 untuk menghasilkan B2 baru
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & -1{,}5 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}
\begin{array}
a\\
\xrightarrow{B_{2}+ 1{,5}B_{3}}\\
\\
\end{array}
\begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1{,}5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

Pada kolom akhir (2; 1,5; 1) merupakan koefisien setara untuk persamaan reaksi.
2 Al + 1,5 O2 →  1 Al2O3

Bila diperoleh hasil berupa bilangan desimal atau bilangan pecahan maka semua koefisien hasil eliminasi perlu dikalikan dengan bilangan tertentu agar diperoleh bilangan bulat. Pada persamaan setara ini semua koefisien dikali 2.
4 Al + 3 O2 →  2 Al2O3 ... setara.


Contoh-2
Setarakan persamaan reaksi: C3H8 + O2 → CO2 + H2O

Mengubah persamaan ke dalam bentak matriks awal:
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
8 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 2 & -2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

Mengubah bentuk matriks menjadi matriks identitas:
1) Dari matriks awal diubah agar sel B1:K1 = 1 maka (B1)/3 untuk menghasilkan B1 baru berikut.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\
8 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 2 & -2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

2) Dari matriks-1 diubah agar sel B2:K1 = 0 maka B2 - 8B1 untuk menghasilkan B2 baru berikut.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{8}{3} & -2 & 0 \\
0 & 2 & -2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

3) Dari matriks-2 diubah dengan cara menukar posisi B2 dengan B3 sehingga menjadi:
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{8}{3} & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

4) Dari matriks-3 diubah agar sel B2:K2 = 1 maka (B2)/2 untuk menghasilkan B2 baru berikut.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -\dfrac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{8}{3} & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

5) Dari matriks-4 diubah agar sel B3:K3 = 1 maka (B3)/(3/8) untuk menghasilkan B3 baru berikut.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -\dfrac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\dfrac{3}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

6) Dari matriks-5 diubah agar sel B1:K3 = 0 maka B1 + 3B3 untuk menghasilkan B1 baru berikut.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & -\dfrac{1}{4} & 0 \\
0 & 1 & -1 & -\dfrac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\dfrac{3}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

7) Dari matriks-6 diubah agar sel B2:K3 = 0 maka B2 + B3 untuk menghasilkan B2 baru berikut.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & -\dfrac{1}{4} & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\dfrac{5}{4} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\dfrac{3}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

8) Terkhir dari matriks-7 diubah agar membentuk matriks identitas maka:
B1 + 1/4 B4 → B1 ; B2 + 5/4 B4 → B2 ; B3 + 3/4 B4 → B3 dengan hasil akhir berikut.
$ \begin{bmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \\
0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{5}{4} \\
0 & 0 & 1 & 0 & \dfrac{3}{4} \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\end{bmatrix}$

Pada kolom akhir (K5) semua pecahan memiliki penyebut 4, oleh karena itu semua nilai pada K5 dikali 4 sehingga menjadi 1, 5, 3, 4, yang merupakan koefisien setara untuk persamaan reaksi.
C3H8 + 5 O2 → 3 CO2 + 4 H2O ... setara.

Pada contoh kedua tampak rumit dan banyak langkah. Padahal kalau diselesaikan langsung bisa saja jauh lebih ringkas dan praktis. Yang menentukan kecepatan proses adalah kecekatan dalam membuat formula agar elemen/komponen matriks menjadi 1 atau 0.

Contoh persamaan reaksi yang lebih kompleks akan lebih mudah diselesaikan dengan metode matriks ini karena upaya yang dilakukan hanya bagaimana mengubah komponen matriks menjadi matriks identitas saja.

CMIIW.
Bagikan di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

 
Copyright © 2015-2020 Urip dot Info | Disain Template oleh Herdiansyah Dimodivikasi Urip.Info