Soal dan Pembahasan Terkait Waktu Paruh untuk Menentukan perbadingan Massa A dan B Saat T

Soal:

Waktu paruh zat A adalah 3 hari dan waktu paruh zat B adalah 4 hari, jika sewaktu-waktu jumlah zat A sama dengan 2 kali jumlah zat B maka:

1. Saat 10 hari berapa kali lipatkah jumlah A terhadap B?
2. Kapankah kedua zat memiliki jumlah yang sama?

---

Pembahasan untuk pertanyaan a:
Saat 10 hari berapa kali lipatkah jumlah A terhadap B?
Formula untuk menghitung jumlah zat yang tersisa $(N_t)$ pada saat $T$ satuan waktu dengan waktu paruh $t_{1/2}$ dan jumlah zat mula-mula $N_o$ adalah:
\begin{align*}
N_t = N_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{t_{1/2}}}
\end{align*}
Dalam soal dituliskann sewaktu-waktu, ini berarti ada saatnya A akan memiliki jumlah sama dengan 2B, kapankah ini terjadi? Waktu paruh A = 3 hari dan B = 4 hari, maka akan terjadi jika T = 12 hari. 12 ini merupakan KPK dari angka 3 dan 4 (waktu paruh A dan B). Jadi pada saat T = 12 hari ini, jumlah A₁₂ = 2B₁₂.

Untuk menghitung perbandingan A dan B saat 10 hari kita boleh menghitung perbandingan A dan B mula-mula. Ini dapat ditentukan memanfaatkan informasi bahwa saat 12 hari A₁₂ = 2B₁₂ tadi.

\begin{align*}
A_{12} & = A_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{12}{3}}\\
A_{12} & = A_o \left(\frac{1}{2} \right )^4
\end{align*}
\begin{align*}
B_{12} & = B_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{12}{4}}\\
B_{12} & = B_o \left(\frac{1}{2} \right )^3
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{A_{12}}{B_{12}}&=\frac{2}{1}\\
\frac{A_o \left(\frac{1}{2} \right )^4 }{B_o \left(\frac{1}{2} \right )^3 }&=\frac{2}{1}\\
\frac{A_o }{B_o }\left({\frac{1}{2}}\right )^1 &=\frac{2}{1}\\
\frac{A_o }{B_o } &=\frac{4}{1}
\end{align*}
Dari persamaan tadi diperoleh perbandingan jumlah zat mula-mula adalah $A_o=4B_o$

Berikutnya perbandingan A dan B saat 10 hari dapat dihitung.
\begin{align*}
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=\frac{A_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{3}}}{{B_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{4}} }}\\
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=\frac{4B_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{3}}}{{B_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{4}} }}\\
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=4\frac{ \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{3}}}{{ \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{4}} }}\\
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{3}-\frac{10}{4}}\\
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{40-30}{12}}\\
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{10}{12}}\\
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 \times 0,561\\
\frac{A_{10}}{B_{10}}&=2,244 \\
\end{align*}
Jadi pada saat 10 hari jumlah $A = 2,244 \times B$

---

Pembahasan untuk pertanyaan b:
Kapankah kedua zat berjumlah sama?

Ketika zat berjumlah sama jika nilai $A_T = B_T$ dengan kata lain perbandingan keduanya adalah 1 : 1. Ingat pula jumlah zat mula-mula $A_o = 4B_o$.
\begin{align*}
\frac{A_{T}}{B_{T}}&=\frac{A_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{3}}}{{B_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{4}} }}\\
\frac{1}{1}&=\frac{4B_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{3}}}{{B_o \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{4}} }}\\
1&=4\frac{ \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{3}}}{{ \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{4}} }}\\
\frac{1}{4}&= \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{3}-\frac{T}{4}}\\
\frac{1}{4}&= \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{4T-3T}{12}}\\
\left({\frac{1}{2}}\right )^2&= \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{T}{12}}\\
2&=\frac{T}{12}\\
T&=24
\end{align*}
Jadi kedua zat akan memiliki jumlah yang sama ketika $T = 24$ hari.