Rumus-rumus untuk Pembuatan Model 3D Orbital Atom

Sekadar catatan ketika belajar membuat model 3D orbital atom. Untuk membuat model 3D orbital atom diperlukan rumus-rumus seperti di bawah ini. Rumus-rumus ini merupakan fungsi gelombang orbital atom didasarkan pada solusi persamaan Schrödinger untuk atom hidrogen. Persamaan ini adalah dasar dalam mekanika kuantum untuk menggambarkan perilaku elektron dalam atom. Rumus-rumus ini digunakan dengan hitungan dengan kode tertentu, tidak dihitung secara manual tentunya. Rumus-rumus ini diadopsi dari beberapa sumber baik buku maupun referensi online. 

1. Fungsi Gelombang (\(\psi_{n,l,m}\))

$\psi_{n,l,m}(r, \theta, \phi) = R_{n,l}(r) \cdot Y_{l,m}(\theta, \phi)$

• \(\psi_{n,l,m}\): Fungsi gelombang yang menggambarkan keadaan kuantum elektron dalam atom.
• \(n\): Bilangan kuantum utama, menentukan tingkat energi dan ukuran orbital.
• \(l\): Bilangan kuantum azimuth, menentukan bentuk orbital.
• \(m\): Bilangan kuantum magnetik, menentukan orientasi orbital.
• \(r\): Jarak radial dari inti atom.
• \(\theta\): Sudut polar dalam koordinat bola.
• \(\phi\): Sudut azimut dalam koordinat bola.
• \(R_{n,l}(r)\): Bagian radial dari fungsi gelombang.
• \(Y_{l,m}(\theta, \phi)\): Bagian angular dari fungsi gelombang.

2. Bagian Radial (\(R_{n,l}(r)\))

\[ R_{n,l}(r) = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na_0}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]}} \cdot e^{-\frac{Zr}{na_0}} \cdot \left(\frac{2Zr}{na_0}\right)^l \cdot L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2Zr}{na_0}\right) \]

• \(Z\): Nomor atom, jumlah proton dalam inti.
• \(a_0\): Radius Bohr, jarak rata-rata antara elektron dan inti dalam atom hidrogen.
• \(L_{n-l-1}^{2l+1}\): Polinomial Laguerre yang terkait, menggambarkan bagian radial dari fungsi gelombang.

3. Bagian Angular (\(Y_{l,m}(\theta, \phi)\))

\[ Y_{l,m}(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_{l,m}(\cos \theta) \cdot e^{im\phi} \]

• \(P_{l,m}(\cos \theta)\): Polinomial Legendre yang terkait, menggambarkan bagian angular dari fungsi gelombang.
• \(e^{im\phi}\): Fase kompleks yang bergantung pada sudut azimut.

4. Probabilitas Distribusi Elektron

\[ |\psi_{n,l,m}(r, \theta, \phi)|^2 = |R_{n,l}(r)|^2 \cdot |Y_{l,m}(\theta, \phi)|^2 \]

• \(|\psi_{n,l,m}|^2\): Probabilitas menemukan elektron pada posisi tertentu dalam ruang.

5. Contoh Fungsi Gelombang

1. Orbital 1s (\(n=1, l=0, m=0\))
   \[ \psi_{1,0,0}(r, \theta, \phi) = \sqrt{\frac{Z^3}{\pi a_0^3}} \cdot e^{-\frac{Zr}{a_0}} \] \[ |\psi_{1,0,0}|^2 = \frac{Z^3}{\pi a_0^3} \cdot e^{-\frac{2Zr}{a_0}} \]
2. Orbital 2pz (\(n=2, l=1, m=0\))
   \[ \psi_{2,1,0}(r, \theta, \phi) = \sqrt{\frac{Z^5}{32\pi a_0^5}} \cdot r \cdot e^{-\frac{Zr}{2a_0}} \cdot \cos \theta \] \[ |\psi_{2,1,0}|^2 = \frac{Z^5}{32\pi a_0^5} \cdot r^2 \cdot e^{-\frac{Zr}{a_0}} \cdot \cos^2 \theta \]
3. Orbital 3dz² (\(n=3, l=2, m=0\))
   \[ \psi_{3,2,0}(r, \theta, \phi) = \sqrt{\frac{2Z^7}{729\pi a_0^7}} \cdot r^2 \cdot e^{-\frac{Zr}{3a_0}} \cdot (3\cos^2 \theta - 1) \] \[ |\psi_{3,2,0}|^2 = \frac{2Z^7}{729\pi a_0^7} \cdot r^4 \cdot e^{-\frac{2Zr}{3a_0}} \cdot (3\cos^2 \theta - 1)^2 \]

6. Normalisasi

\[ \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} |\psi_{n,l,m}(r, \theta, \phi)|^2 \, r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = 1 \]

Integral ini memastikan bahwa total probabilitas menemukan elektron di seluruh ruang adalah 1, yang merupakan syarat normalisasi untuk fungsi gelombang.